基本不等式的证明

1、3.4基本不等式(a0，b0)3.4.1基本不等式的证明学习目标：1.理解基本不等式的内容及证明(重点)2.能运用基本不等式证明简单的不等式(重点)3.能用基本不等式求解简单的最大(小)值问题(难点)自 主 预 习探 新 知1算术平均数与几何平均数对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数2基本不等式如果a，b是正数，那么(当且仅当ab时取“”)，我们把不等式(a0，b0)称为基本不等式思考如何证明不等式(a0，b0)?提示ab2()2()22()20，当且仅当ab时，等号成立，ab2，当且仅当ab时，等号成立基础自测1思考辨析(1)对任意a，bR，都有ab2成立()

2、(2)不等式a244a成立的条件是a2.()答案(1)(2)2若两个正数a，b的算术平均数为2，几何平均数为2，则a_，b_.解析由题意可知a2，b2.答案22合 作 探 究攻 重 难用基本不等式证明不等式已知a，b，c为不全相等的正数(1)求证：abc；(2)求证：abc. 【导学号：57452095】思路探究(1)利用ab2，ac2，bc2求证；(2)利用b2；c2；a2求证解(1)a0，b0，c0，ab2，ac2，bc2.又a，b，c为不全相等的正数，abc.又a，b，c互不相等，故等号不能同时取到，所以abc.(2)a，b，c，均大于0，b22a，当且仅当b时等号成立c22b，当且仅当

3、c时等号成立a22c，当且仅当a时等号成立相加得bca2a2b2c，abc.规律方法利用基本不等式证明不等式的条件要求：(1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果.(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到.跟踪训练1已知a，b，c(0，)，且abc1.求证：9.证明法一：a，b，c(0，)，且abc1，332229.当且仅当abc时等号成立法二：a，b，c(0，)，且abc1，(abc)332229，当且仅当abc时等号成立.应用基本不等式应注意的问题探究问题1不等式“x22”成立吗？为

4、什么？提示不成立如当x0时，x0，显然不成立2当x0时，能否应用基本不等式求解，x的范围是多少？提示可以，当x0，x22.当且仅当x，即x1时等号成立，x(，23当x0时，如何求“x”的最小值？提示x(x1)121211，当且仅当x1，即x0时等号成立求函数y(x1)的最小值，并求相应的x值思路探究解y(x1)5，x1，x10，y25459.当且仅当x1，即x1时，等号成立函数y(x1)的最小值为9，此时x1.母题探究：1.(变条件)本例条件改为当x1时，求y的最大值，并求相应x的值解y(x1)5x1，x10，y(x1)5451，y1，当且仅当x1，即x3时，等号成立函数y(x1时，求y的最大

5、值，并求相应x的值解y，x1，x10，y，当且仅当x1，即x0时，等号成立y(x1)的最大值为，此时x0.规律方法1基本不等式使用的条件为“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可在解题过程中，为了达到使用基本不等式的条件，往往需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个应用基本不等式的情境2应用基本不等式求函数最值，常见类型如下：(1)构造积为定值，利用基本不等式求最值；(2)构造和为定值，利用基本不等式求最值提醒：利用基本不等式求最值，千万不要忽视等号成立的条件当 堂 达 标固 双 基1a12(a0)中等号成立的条件是_解析等号成立的条件是两项相等，即a1.答案a12函数f(x)2x(x0)有最小值为_解析2x28，当且仅当x2时等号成立答案83已知x0，则函数f(x)7x的最大值为_解析因为x0，则函数f(x)7x7721，当且仅当x即x3时取等号答案14设ba0，且ab1，则四个数，2ab，a2b2，b中最大的是_解析ba0，a2b22ab.又ab1，b.又bb(