第五节：逻辑与推理论证的学习

1、第第5 5章章 逻辑与推理论证的学习逻辑与推理论证的学习内容提要n一、逻辑用语与学习心理一、逻辑用语与学习心理n二、推理、证明与学习心理二、推理、证明与学习心理n逻辑用语：逻辑用语：可用来准确、简洁地表述数学内容和可用来准确、简洁地表述数学内容和数学定理，同时在各种交流活动中，逻辑用语可数学定理，同时在各种交流活动中，逻辑用语可用来严密地表述对各种问题的思考结果用来严密地表述对各种问题的思考结果n推理：推理：是从一个或者一些已知的命题得出新命题是从一个或者一些已知的命题得出新命题的思维过程或思维形式其中已知的命题是前提，的思维过程或思维形式其中已知的命题是前提，得出的新命题是结论得出的新命题是

2、结论n论证：论证：是用某些理由去支持或反驳某个观点的过是用某些理由去支持或反驳某个观点的过程或语言形式，通常由论题、论点、论据和论证程或语言形式，通常由论题、论点、论据和论证方式构成方式构成n中学阶段，数学课程标准对逻辑用语与推理论中学阶段，数学课程标准对逻辑用语与推理论证学习的基本要求是：证学习的基本要求是：n逻辑基础：逻辑基础：命题及命题的关系、命题与命题的命题及命题的关系、命题与命题的条件、逻辑联结词、逻辑量词条件、逻辑联结词、逻辑量词n推理：推理：合情推理、演绎推理及两者之间的辩证合情推理、演绎推理及两者之间的辩证关系关系n论证的基本方法：论证的基本方法：直接证明、间接证明、数学直接证

3、明、间接证明、数学归纳法归纳法一、逻辑用语与学习心理一、逻辑用语与学习心理n（一）判断学习（一）判断学习n1 1、判断的意义、判断的意义 判断判断是人们对事物情况有所肯定或否定的比概念高一级的是人们对事物情况有所肯定或否定的比概念高一级的思维形式思维形式n例如例如:2:2是自然数是自然数,1,1是质数是质数,A=B,1+2=9,A=B,1+2=9,正数大于零正数大于零, , n判断具有两个基本特征判断具有两个基本特征: :（1 1）一定要）一定要“有所断定有所断定”. .不能作出肯定或否定的思维形式不能作出肯定或否定的思维形式, ,就不能称为判断就不能称为判断. .n如，如，“小于小于9 9吗

4、吗”,“1+2=3,“1+2=3吗吗”等都不是判断等都不是判断. .（2 2）判断有真假之分）判断有真假之分. .判断是对客观事物有所断定的一种思判断是对客观事物有所断定的一种思维形式，是对客观事物情况的反映，而不是客观事物本身。维形式，是对客观事物情况的反映，而不是客观事物本身。n如实反映事物情况的判断，叫如实反映事物情况的判断，叫真判断真判断；n不符合事物情况的判断，叫不符合事物情况的判断，叫假判断假判断n例如，例如，“正数大于零正数大于零”是真判断，是真判断，“两个无理数两个无理数之和是无理数之和是无理数”是假判断是假判断n判断一般是用陈述句来表达的，它往往是概念与判断一般是用陈述句来表

5、达的，它往往是概念与概念的联合而疑问句、感叹句、祈使句一般不概念的联合而疑问句、感叹句、祈使句一般不能表达任何肯定或否定的内容，因此不能成为一能表达任何肯定或否定的内容，因此不能成为一个判断个判断 n2 2、判断的分类、判断的分类: :判断有简单判断和复合判判断有简单判断和复合判断断n（1 1）简单判断）简单判断n在一个判断中，如果只包含结构最简单的判断，在一个判断中，如果只包含结构最简单的判断，不包含其他的判断，叫做不包含其他的判断，叫做简单判断简单判断简单判断又简单判断又分为分为关系判断关系判断和和性质判断。性质判断。n关系判断关系判断就是断定客观对象间某种关系的判就是断定客观对象间某种关

6、系的判断断. .关系判断是由关系判断是由关系者项关系者项、关系项关系项和和量项量项三部分三部分组成的组成的. .n性质判断性质判断是直接对事物的性质有所是直接对事物的性质有所肯定肯定或或否否定定。n这里重点讨论性质判断这里重点讨论性质判断n性质判断的定义性质判断的定义n性质判断是直接对事物的性质有所肯定或否定。性质判断是直接对事物的性质有所肯定或否定。n传统逻辑亦把它称为直言判断传统逻辑亦把它称为直言判断. .如如“所有等边三角所有等边三角形都是相似的形都是相似的”，“有些一元二次方程没有实数有些一元二次方程没有实数根根”. .n性质判断的结构性质判断的结构n性质判断是由性质判断是由主项、谓项

7、、量项、联项主项、谓项、量项、联项四部分组四部分组成。成。n性质判断的结构：性质判断的结构：n主项主项表示被判断的对象，通常用符号表示被判断的对象，通常用符号“S”S”表示。表示。 n谓项谓项表示被判断对象的性质，通常用符号表示被判断对象的性质，通常用符号“P”P”表示。表示。 n量项量项表示判断中主项的数量（数量或范围的概念），表示判断中主项的数量（数量或范围的概念），反映判断量的差别反映判断量的差别( (常用所有、一切、有些、有的、凡、常用所有、一切、有些、有的、凡、每一个等表示每一个等表示) )。n量项一般又可分为三种：量项一般又可分为三种：n全称量项全称量项它是一个全称量词，表示在一个

8、判断中对主它是一个全称量词，表示在一个判断中对主项的全部外延作了断定，常用项的全部外延作了断定，常用“所有所有”、“一切一切”、“凡凡”、“每一个每一个”等来表示；等来表示；n特称量项特称量项-它表示在一个判断中只对主项的部分外延作它表示在一个判断中只对主项的部分外延作了断定，通常用了断定，通常用“有的有的”、“有些有些”等来表示等来表示；n单称量项单称量项-它表示在一个判断中对主项的一个特定外延它表示在一个判断中对主项的一个特定外延作了断定（所断定的主项只是某一个个别对象），作了断定（所断定的主项只是某一个个别对象），一般用一般用“这个这个”、“那个那个”、“某个某个”等来表示。等来表示。n

9、联项联项也称联结项，表示判断中主、谓项之间的关系，也称联结项，表示判断中主、谓项之间的关系，反映判断质的差别反映判断质的差别( (常用有、是、没有、都是、不是等表常用有、是、没有、都是、不是等表示示) )，联项可分为肯定联项（是）或否定联项（不是）联项可分为肯定联项（是）或否定联项（不是）. .在在肯定判断表达中，量项与联项有时可以省略肯定判断表达中，量项与联项有时可以省略. .如，如，( (一切一切) )负数负数( (是是) )没有对数；没有对数；( (凡凡) )对顶角对顶角( (都是都是) )相等相等n注意：注意：性质判断本身不包含其它判断成分，它实际上只性质判断本身不包含其它判断成分，它

10、实际上只是断定了是断定了“S”S”与与“P”P”这两个概念之间的外延关系，所以这两个概念之间的外延关系，所以它属于简单判断。它属于简单判断。 n例如：例如：n所有所有 等边三角形等边三角形 都是都是 相似的相似的n n量项量项 主项主项 联项联项 谓项谓项n n有些有些 一元二次方程一元二次方程 没有没有 实数根实数根n性质判断的结构性质判断的结构：( (判断判断)=()=(量项量项)+( S)+( S：主项：主项)+()+(联项联项)+( P)+( P：谓项：谓项) )n（二）命题知识（二）命题知识n1 1、命题的含义、命题的含义n中学阶段要求学生：中学阶段要求学生：n（1 1）了解逻辑联结

11、词）了解逻辑联结词“或或”、“且且”、“非非”的含义，并能正确地使用它们；的含义，并能正确地使用它们；n（2 2）了解）了解全称量词全称量词和和存在量词存在量词的意义，并能正的意义，并能正确地对含有量词的命题作出否定。确地对含有量词的命题作出否定。n在逻辑联结词与量词的学习中，学生最大的困难在逻辑联结词与量词的学习中，学生最大的困难是理解是理解“否定否定”、运用、运用“否定否定”。n命题命题表达判断的陈述语句称为命题。表达判断的陈述语句称为命题。n数学命题数学命题表示数学判断或数学关系的陈述称表示数学判断或数学关系的陈述称为数学命题。为数学命题。n数学中的定义、公理、定理、法则、性质、有些数学

12、中的定义、公理、定理、法则、性质、有些习题（结果正确，但未作为定理或公式使用的数习题（结果正确，但未作为定理或公式使用的数学结论）都是命题。学结论）都是命题。n命题既可用语言叙述，也可用符号进行表示命题既可用语言叙述，也可用符号进行表示n常用的逻辑联结词有常用的逻辑联结词有“非非”、“或或”、“且且”、“蕴含蕴含”、“等值等值”等；等；n常用的常用的全称量词全称量词有有“任意任意”、“所有所有”、“每一每一个个”等；数学上用符号等；数学上用符号“ ”“ ”表示。表示。n常用的常用的存在量词存在量词有有“存在存在”、“某一个某一个”、“至至少有一个少有一个”等。数学上用符号等。数学上用符号“ ”

13、“ ”表示。表示。n涉及量词的命题必须指出量词的作用与范围。涉及量词的命题必须指出量词的作用与范围。n命题也有真命题与假命题之分，结构上一般由条命题也有真命题与假命题之分，结构上一般由条件件( (前提前提) )和结论两部分组成。条件是已知事项和结论两部分组成。条件是已知事项, ,结论是由条件推出的事项。根据命题结构差异结论是由条件推出的事项。根据命题结构差异, ,往往把数学命题也分为简单命题与复合命题两种往往把数学命题也分为简单命题与复合命题两种类型类型 n简单命题简单命题是指结构最简单的命题是指结构最简单的命题, ,从其表达的从其表达的形式结构上分析形式结构上分析, ,它是不能再分解为其它命

14、题的命它是不能再分解为其它命题的命题题. .n数学命题数学命题（广义的）（广义的）主要来自定义、公理、主要来自定义、公理、定理、法则、性质、有些习题。定理、法则、性质、有些习题。n（1 1）数学有一类语句的表达没有真假可言，如：）数学有一类语句的表达没有真假可言，如：含有变量含有变量x x的的“ ” “ ” 就是没有判断就是没有判断真假的句子。真假的句子。n（2 2）命题也有真假之分。）命题也有真假之分。123xx 和n2.2.命题种类命题种类n联言命题联言命题联结词联结词“且且”用来联结两个命题用来联结两个命题A A、B B ，得，得到新命题到新命题“A A且且B”B”称为联言命题，记作称为

15、联言命题，记作 为真命为真命题当且仅当题当且仅当A A和和B B都为真命题。都为真命题。n选言命题选言命题联结词联结词“或或”用来联结两个命题用来联结两个命题A A、B B，得到，得到新命题新命题“A A或或B”B”称为选言命题，记作称为选言命题，记作AVBAVB，AVBAVB为真命题当为真命题当且仅当且仅当A A和和B B中至少有一个为真命题。中至少有一个为真命题。n负命题负命题设设A A是一个命题，联结词是一个命题，联结词“非非”是对命题是对命题B B作否作否定，得到命题定，得到命题“非非A”A”或或“不是不是A”A”，成为，成为A A的负命题（不的负命题（不能称为否命题）记作能称为否命题

16、）记作 。A A为真命题当且仅当为真命题当且仅当 为假命为假命题。题。AA,A B A Bn定义定义揭示概念内涵的陈述称为定义数学定揭示概念内涵的陈述称为定义数学定义中的条件是所指概念的充分必要条件义中的条件是所指概念的充分必要条件n公理公理作为一个数学体系论证出发点的一组真作为一个数学体系论证出发点的一组真命题，它们经实践检验命题，它们经实践检验( (非逻辑论证非逻辑论证) )为正确，它为正确，它们之间无矛盾性、彼此独立们之间无矛盾性、彼此独立( (不可互推不可互推) )、具有完、具有完全性全性( (不可缺少不可缺少) )，则称这组真命题为这个数学体，则称这组真命题为这个数学体系的公理系的公

17、理. . n例如平面几何的一组公理：过两点可作一直线；例如平面几何的一组公理：过两点可作一直线；由一点和一线段可以作圆；直角彼此相等；由一点和一线段可以作圆；直角彼此相等； n定理定理根据已知概念和真命题，经逻辑论证而根据已知概念和真命题，经逻辑论证而得到的真命题叫做定理得到的真命题叫做定理. .n推论推论由某定理直接产生的结果叫做该定理的由某定理直接产生的结果叫做该定理的推论，一般附在该定理后面推论，一般附在该定理后面n性质性质事物事物本身所具有的与他事物不同的本身所具有的与他事物不同的特征特征. .n3、命题的运算、命题的运算n命题真值的概念命题真值的概念: : n对于命题对于命题A A、

18、B B，如果，如果A A是一个真命题，我们就说是一个真命题，我们就说A A的真值等于的真值等于1 1，记成，记成A=1A=1；如果；如果B B是一个假命题，我是一个假命题，我们就说们就说B B的真值等于的真值等于O O，记成，记成B=0B=0一个命题只有或一个命题只有或真或假，而不能既真又假真或假，而不能既真又假因此，一个命题的真因此，一个命题的真值只能是值只能是1 1或或0 0，不能既为，不能既为1 1，又为，又为0 0，或非，或非1 1又非又非0 0n复合命题复合命题由于所采用的逻辑联结词不同，可分由于所采用的逻辑联结词不同，可分为下列为下列五种形式五种形式：n（1 1）否定式（非）否定式

19、（非）给定一个命题给定一个命题A,A,用联结词用联结词“非非”组组成一个复合命题成一个复合命题“非非A”A”或或“不是不是A”A”，称为，称为A A的负命题的负命题（不能称为否命题），记作（不能称为否命题），记作 ，读作，读作“非非A”A”（也可记（也可记作作 ），其真值表如下：），其真值表如下：n A （A,B的否定式）的否定式） 1 0 0 1AAAn( () )析取式（或）析取式（或）n 给定两个命题给定两个命题A A与与B B，用联结词，用联结词“或或”组成一个复合命题组成一个复合命题“A A或或B”B”，称为选言命题，记作，称为选言命题，记作A BA B，其真值由下表来，其真值由下表

20、来定义：定义： A B AVB（A,B的析取式）的析取式） 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0n（3 3）合取式（与）合取式（与）n两个命题A,B用逻辑联结词“且”联结起来的新命题“A且B”称为命题的合取式，也称为联言命题。记作“ ”，其真值可用下面的真值表来定义：AB A B （A,B的合取式）的合取式） 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0ABn（4 4）蕴含式）蕴含式n 给定两个命题给定两个命题A A与与B B，用连接词，用连接词“若若，则，则”组成一个复合命题组成一个复合命题“若若A A则则B”B”，记作，记作 ，其真值可用下面的真值表来定义：其真值可用下面的真值

21、表来定义：n AB A B （A,B的蕴含式）的蕴含式） 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1AB注意点：注意点：n1.1.在蕴涵式的真值定义中，前两行与日常生活经在蕴涵式的真值定义中，前两行与日常生活经验相符，容易被接受验相符，容易被接受. .但是但是“前件假前件假，后件真后件真，则，则蕴涵式真蕴涵式真”的规定却与人们的直觉相悖，不易被的规定却与人们的直觉相悖，不易被人理解人理解. .我们通过一个例子说明其定义的合理性我们通过一个例子说明其定义的合理性. .n案例：案例：幻灯片幻灯片 4141n2.“2.“若若1+2=31+2=3，则雪是白的，则雪是白的”在逻辑学上是真命题，在逻辑

22、学上是真命题，但不能作为数学上的真命题。但不能作为数学上的真命题。（5 5）等值式）等值式给定两个命题给定两个命题A A与与B B，用联结词，用联结词“等值等值”组成一个组成一个复复合命题合命题“A A等值等值B”B”，记作，记作“A B”A B”，其真值可，其真值可用下用下面的真值表来定义：面的真值表来定义： A BA B（A,B的等值式）的等值式） 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1n注：注：n等价式与逻辑等价是不一样的：等价式是由等价式与逻辑等价是不一样的：等价式是由p,qp,q构成的新命题构成的新命题 ；n而逻辑等价是指两个命题而逻辑等价是指两个命题p,qp,q间的关系：即

23、间的关系：即两个命题的两个命题的真值表是完全相同真值表是完全相同的。的。qp 命题的四种形式及关系命题的四种形式及关系 p q 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1pqqp pq qp pq 注：从表中可以看出，互为逆否关系的两个命题是注：从表中可以看出，互为逆否关系的两个命题是等价的。等价的。命题的四种形式及关系命题的四种形式及关系 原命题原命题 逆命题逆命题 否命题否命题 逆否命题逆否命题 互互 逆逆互互否否互互否否 逆逆 否否 互互 为为 互互 逆逆n（三）学习心理（三）学习心理n1 1、命题知识学

24、习心理、命题知识学习心理n命题知识涉及命题知识涉及语言成分和逻辑成分语言成分和逻辑成分，两个方面中，两个方面中只要一方面有欠缺，就会影响命题知识的学只要一方面有欠缺，就会影响命题知识的学习此外，日常经验的影响有时也会妨碍对命题习此外，日常经验的影响有时也会妨碍对命题的理解下面是从教学中总结出的一些命题学习的理解下面是从教学中总结出的一些命题学习的心理问题的心理问题n（1 1）对公理的误解）对公理的误解n在基础教育阶段，为照顾学生的接受能力，往往用一些可在基础教育阶段，为照顾学生的接受能力，往往用一些可证明的命题作为学习论证的出发点或基本事实，这样可以证明的命题作为学习论证的出发点或基本事实，这

25、样可以减轻学生的负担，不必要对可证明的命题都进行证明但减轻学生的负担，不必要对可证明的命题都进行证明但是，是，这就容易造成误解，认为在论证时作为出发点的真命这就容易造成误解，认为在论证时作为出发点的真命题都是公理，甚至有时教师也会产生误解题都是公理，甚至有时教师也会产生误解作为论证出发作为论证出发点的一组真命题要成为公理，它们必须是非逻辑论证而经点的一组真命题要成为公理，它们必须是非逻辑论证而经实践检验为正确的，同时应当满足：实践检验为正确的，同时应当满足：公理之间不能有矛盾，公理之间不能有矛盾，由公理导出由公理导出( (逻辑导出逻辑导出) )的定理之间也不能有矛盾；公理是的定理之间也不能有矛

26、盾；公理是彼此独立的，即公理不能被其他公理推出；公理还须具有彼此独立的，即公理不能被其他公理推出；公理还须具有完全性，即这个系统中，一切命题的真假都是可以确定完全性，即这个系统中，一切命题的真假都是可以确定的的n（2 2）区分命题中关系困难）区分命题中关系困难n命题学习中，需要区别出命题的条件和命题的结命题学习中，需要区别出命题的条件和命题的结论，从而把握命题的各种形式对于那些条件或论，从而把握命题的各种形式对于那些条件或结论并不十分明显的命题，学生往往抓不住问题结论并不十分明显的命题，学生往往抓不住问题的关键点，难以作出正确区分的关键点，难以作出正确区分n幻灯片幻灯片 4444n（3）实际经

27、验与命题理论存在差异）实际经验与命题理论存在差异n实际学习中，学生能够表面地掌握命题的四种形实际学习中，学生能够表面地掌握命题的四种形式，并且知道原命题的真假不能决定逆命题和否式，并且知道原命题的真假不能决定逆命题和否命题的真假、原命题和逆否命题是等价的。但是命题的真假、原命题和逆否命题是等价的。但是对实际命题关系进行判断时，学生往往不考虑数对实际命题关系进行判断时，学生往往不考虑数学原理，仅依赖现实感觉作选择。学原理，仅依赖现实感觉作选择。n幻灯片幻灯片 44n（4）“命题的否命题命题的否命题”与与“命题的否定命题的否定”的混的混淆淆n命题的否定命题的否定是对命题是对命题整体结论的否整体结论

28、的否，而，而否命题否命题是对命是对命题中题中条件条件和和结论结论的否，是命题中部分的否的否，是命题中部分的否( (条件及结条件及结论关系不变论关系不变) )，与命题结论的真假无关，与命题结论的真假无关n例如，给出原命题例如，给出原命题“末位是末位是5 5的整数可以被的整数可以被5 5整除整除”，要求写出否命题和命题的否定要求写出否命题和命题的否定n该命题的否命题为该命题的否命题为“若整数末位不是若整数末位不是5 5，则整数不能，则整数不能被被5 5整除整除”，而该命题的命题否定为，而该命题的命题否定为“并非末位是并非末位是5 5的的整数都能被整数都能被5 5整除整除”或者或者“存在末位是存在末

29、位是5 5的整数，不被的整数，不被5 5整除整除”（四）逻辑联结词与量词学习心理（四）逻辑联结词与量词学习心理n在逻辑联结词与量词的学习中，学生最大的困难在逻辑联结词与量词的学习中，学生最大的困难是理解是理解“否定否定”、运用、运用“否定否定”n复合命题复合命题否定的数学形式是否定的数学形式是n特点有两点特点有两点: :一是否定每一个命题，二是改变联结一是否定每一个命题，二是改变联结词词n量词命题量词命题否定的数学形式是否定的数学形式是n特点有两点特点有两点: :一是转换量词，二是否定命题一是转换量词，二是否定命题 ()() (), ()() ()pqpqpqpq , n实际学习中，对否定涉及

30、的两个根本特点是学实际学习中，对否定涉及的两个根本特点是学生往往只兼顾一面，而忽视生往往只兼顾一面，而忽视“两面俱到，造成逻两面俱到，造成逻辑上的错误辑上的错误 例如，下列一些错误：例如，下列一些错误：n错误错误“6 6是偶数且是是偶数且是3 3的倍数的倍数”的否定为的否定为“6 6是奇是奇数且数且6 6不是不是3 3的倍数的倍数”( (是个复合命题是个复合命题) )n正确的否定为：正确的否定为：“6 6是奇数或是奇数或6 6不是不是3 3的倍的倍数数”n错误错误 命题命题“每个每个人的寿命都是有限的人的寿命都是有限的”的否定的否定为为“每个人的寿命都是无限的每个人的寿命都是无限的”n正确的否

31、定为：正确的否定为：“有些有些人的寿命是无限的人的寿命是无限的”n逻辑联结词和逻辑量词中各因素的关系比较复杂，逻辑联结词和逻辑量词中各因素的关系比较复杂，学生学习中很容易出错误学生学习中很容易出错误n教学中应把握住两点：教学中应把握住两点：n一是在逻辑概念引入时，要注意选用日常生活中一是在逻辑概念引入时，要注意选用日常生活中的逻辑用语的例子，理解逻辑的意义，弄清逻辑的逻辑用语的例子，理解逻辑的意义，弄清逻辑关系；关系；n二是要有足量的逻辑基本训练，学生通过反复训二是要有足量的逻辑基本训练，学生通过反复训练，反复思考，辨明逻辑要义，才能熟练把握各练，反复思考，辨明逻辑要义，才能熟练把握各种逻辑关

32、系种逻辑关系（五）逆命题的制造（五）逆命题的制造n一个真命题的逆命题，只有经过论证后才知其真一个真命题的逆命题，只有经过论证后才知其真假若一个定理的逆命题是真的，就得到原定理的逆假若一个定理的逆命题是真的，就得到原定理的逆定理为研究一个定理的逆定理这就要研究逆命题定理为研究一个定理的逆定理这就要研究逆命题的制造方法的制造方法n当命题的条件和结论都是一个简单命题时，这时只当命题的条件和结论都是一个简单命题时，这时只要将它们互换位置就可以得到原命题唯一的一个逆命要将它们互换位置就可以得到原命题唯一的一个逆命题题n例如，命题例如，命题“对顶角相等对顶角相等”，它的逆命题是，它的逆命题是“相等的相等的

33、角是对顶角角是对顶角”这个逆命题显然是不正确的这个逆命题显然是不正确的n当命题的条件和结论不只是一个简单命题时，将命当命题的条件和结论不只是一个简单命题时，将命题的条件和结论中的简单命题任意进行交换位置，就题的条件和结论中的简单命题任意进行交换位置，就可得到多个逆命题当相同个数简单命题交换时，所可得到多个逆命题当相同个数简单命题交换时，所得逆命题的正确性较大，对其研究才有意义得逆命题的正确性较大，对其研究才有意义n例例1 1：对原定理：对原定理“在圆内，弦的垂直平分线必过圆心在圆内，弦的垂直平分线必过圆心且平分该弦所对的弧且平分该弦所对的弧”，不难得到它的五个逆定理：，不难得到它的五个逆定理：

34、n在圆内，过圆心且平分弦的直线必垂直该弦且平分该在圆内，过圆心且平分弦的直线必垂直该弦且平分该弦所对的弧；弦所对的弧；n在圆内，平分弦和这弦所对弧的直线必过圆心且垂直在圆内，平分弦和这弦所对弧的直线必过圆心且垂直该弦；该弦；n在圆内，过圆心且垂直弦的直线必平分该弦和该弦所在圆内，过圆心且垂直弦的直线必平分该弦和该弦所对的弧；对的弧；n在圆内，垂直弦且平分该弦所对弧的直线必过圆心且在圆内，垂直弦且平分该弦所对弧的直线必过圆心且平分该弦；平分该弦；n在圆内，过圆心且平分弦所对弧的直线必垂直平分该在圆内，过圆心且平分弦所对弧的直线必垂直平分该弦弦（六）命题的同一原理（六）命题的同一原理n前面已经提到

35、，互为逆否的两个命题等效，互逆或互前面已经提到，互为逆否的两个命题等效，互逆或互否的两个命题不一定等效，但在某些特殊的情况下，否的两个命题不一定等效，但在某些特殊的情况下，一个命题与它的逆命题一个命题与它的逆命题( (或否命题或否命题) )等效等效n例例2 2原命题：对顶角相等原命题：对顶角相等n逆命题：相等的角是对顶角逆命题：相等的角是对顶角( (不真不真) )n例例3 3原命题：等腰三角形顶角的平分线是底边上的中原命题：等腰三角形顶角的平分线是底边上的中线线n逆命题：等腰三角形底边上的中线是顶角的平分线逆命题：等腰三角形底边上的中线是顶角的平分线( (真真) )n我们注意到，例我们注意到，

36、例3 3中原命题的条件与结论所含事项都中原命题的条件与结论所含事项都是唯一存在的，而且所指的是同一对象，而例是唯一存在的，而且所指的是同一对象，而例2 2却没却没有这种特性有这种特性n可见，两个互逆命题，如果条件和结论中所含事可见，两个互逆命题，如果条件和结论中所含事项都是唯一存在的，且它们所指的是同一概念时，项都是唯一存在的，且它们所指的是同一概念时，那么，当其中一个命题正确时，另一个命题也是那么，当其中一个命题正确时，另一个命题也是正确的，这叫做正确的，这叫做同一原理同一原理即符合同一原理的两即符合同一原理的两个互逆命题是等效的，它们是同一法论证的逻辑个互逆命题是等效的，它们是同一法论证的

37、逻辑根据因此，一个定理，如果条件和结论中所含根据因此，一个定理，如果条件和结论中所含事项都唯一存在，且所指同一概念时，根据同一事项都唯一存在，且所指同一概念时，根据同一原理，便可按照逆命题的制造法，直接写出它的原理，便可按照逆命题的制造法，直接写出它的逆命题而断言其成立例如，对于上述例逆命题而断言其成立例如，对于上述例1 1，由同，由同一原理，便可直接得到它的五个逆定理一原理，便可直接得到它的五个逆定理n例例1 1小红的爸爸对小红作了一个许诺：如果小红数小红的爸爸对小红作了一个许诺：如果小红数学得满分（学得满分（p p）；那么他替她）；那么他替她买一件连衣裙买一件连衣裙（q q），），于是，就有四种可能发生于是，就有四种可能发生. .n（1 1）小红数学得满分，爸爸买了一件连衣裙（）小红数学得满分，爸爸买了一件连衣裙（p p真真q q真）真）真真n（2 2）小红数学得满分，但爸爸没有买连衣裙（）小红数学得满分，但爸爸没有买连衣裙（p p真真q q假）假）假假n（3 3）小红数学没有得满分，爸爸仍然买了条连衣）小红数学没有得满分，爸爸仍然买了条连衣裙（裙（p p假假q q真）真）真真n（4 4）小红数学没有得满分