正余弦定理高考真题.

1、高一(下)数学(必修五)第一章解三角形urr【解析】p/q(ac)(ca)b(ba)(C)万(D)wb2a2c2ab,利用余弦定理可得正弦定理、余弦定理高考真题(06湖北卷)若ABC的内角A满足sin2A|,则sinAcosAA.WB.WC.5D.|2cosCi,即cosC-C,故选择答案Bo23【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。解：由sin2A=2sinAcosA0,可知A这锐角，所以sinA+cosA0,又(sinAcosA)21sin2A：,故选A2、(06安徽卷)如果ABiCi的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三

2、个4、(06辽宁卷)已知等腰ABC的腰为底的倍，则顶角A的正切值是内角的正弦值，则A.ABiCi和A2B2C2都是锐角三角形B. ABC和A2B2C2都是钝角三角形C. ABiCi是钝角三角形，A2B2C2是锐角三角形D.ABiCi是锐角三角形，A2B2C2是钝角三角形解：ABiCi的三个内角的余弦值均大于0,则ABiCi是锐角三角形，若4B2C2sinA2cosAsin(A)A25A是锐角三角形，由sinB2cosBsin(-B),得B?万B1，那么，sinC2cosCisin(-Ci)C2-CiAB2C2一,所以A2B2C2是钝角三角形。故选Do23、(06辽宁卷)VABC的三内角A,B,

3、C所对边的长分别为a,b,c设向量urr4道-»，1,p(ac,b),q(ba,ca),右p/q,则角C的大小为解：依题意，结合图形可得tan-2_J5i5,故tanAA2tan22Aitan一2_J5_i5_J5i(*27'i55、(06全国卷I)ABC的内角A、c成等比数列，且c2a,则cosB解：ABC中,a、-2YaccosB2acB、C的对边分别为a、b、c,b、c成等比数列,2a,贝Ub=<2a,6、06山东卷)在gBC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=-,a=向,b=i,3则c=(A)1(B)2(C)V31(D)近1解：由正弦te理得sinB=5

4、,又ab,所以AB,故B=30,所以C=90,故c=2,选B7、 (06四川卷)设a,b,c分别是ABC的三个内角A,B,C所对的边，则a2bbc是A2B的(A)充要条件(B)充分而不必要条件(C)必要而充分条件(D)既不充分又不必要条件解析：设a,b,c分别是ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a2bbc,贝Usin2AsinB(slnBslnC),贝U1-00s2a1-c0S2BsinBsinC,22.1,.(cos2Bcos2A)sinBsinC,sin(BA)sin(AB)sinBsinC,又sin(AB)sinC,.sin(AB)sinB,ABB,A2B,若AABC中，A2B,由上

5、可知，每一步都可以逆推回去，得到a2bbc,所以a2bbc是A2B的充要条件，选A.8、 (06北京卷)在ABC中，若sinA:sinB:sinC5:7:8,贝UB的大小是解：sinA:sinB:sinC5:7:8abc=578设a=5k,b=7k,c=8k,由余弦定理可解得B的大小为一.39、 （06湖北卷）在ABC中，已知a",b=4,A=30,则sinB=4J.2解：由正弦定理易得结论sinB=o210、 (06江苏卷)在gBC中，已知BC=12,A=60,B=45°,则AC=【思路点拨】本题主要考查解三角形的基本知识【正确解答】由正弦定理得，解得AC4Vsin450

6、sin60o【解后反思】解三角形：已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运用余弦定理11、(06全国II)已知ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1,BC=4,则边BC上的中线AD的长为解析：由ABC的三个内角A、B、C成等差数列可得A+C=2B而A+B+C=可得B-3AD为边BC上的中线可知BD=2,由余弦定理定理可得AD本题主要考察等差中项和余弦定理，涉及三角形的内角和定理，难度中等。12、(06上海春)在ABC中，已知BC8,AC5,三角形面积为12,则cos2c.1II-3解：由二角形面积公式，得一BCCAsinC20sinC12,即sinC.252-77于是cos2

7、C12sinC从而应填一.252513、（06湖南卷）如图3,D是直角4ABC斜边BC上一点,AB=AD,记/CAD=,ZABC=.(1)证明sincos20；若ac=/3dc,求的值.sincos2,sin(2-)“里C+2B+C,.2Asin2-2Atan+sin=三乙二+sin一222BC2cos21cos(B+C),11+cosA17=+-(1cosA)=+-=1+cos(B+C)21cosA33解：（1）.如图(2)因为Svabc=J2,又SVABC11c2"2=一bcsinA=bc?即sinDCsin3,Qcos2ABC中,_ACsin(,则bc=3。将a=2,cosA=

8、-,c=V代入余弦定理：a2=b2+c22bccosA中得，3，b4_2_b-6b+9=0由正弦定理得解得b=-314、由（1）得sin即2.3sin2sinsinDCsincos23dcsinsin、3sin15、（06江西卷）如图，已知4ABC是边长为1的正M、N分别是边AB、AC上的点，线段sin3cos2.3(12sin2),ABC的中心G,A三角形,经过MNCM0.解彳导sin近或sin2(1)(2)（06江西卷）在锐角4ABC中，角AB,C所对的边分别为a,b,c,解:已知s1nA等,(1)求tan2B?Csin2(2)右a2,S»AABC钾值；五,求b的值.解：（1）因

9、为锐角4ABC中，A+B+C=,sinA呼,所以cosA=；,2、设MGA=()33试将AAGM、AAGN的面积（分别记为求丫=:的最大值与最小值Si与S2）表不为的函数（1）因为G是边长为1的正三角形ABC的中心,所以AG*%*MAG=针由正弦定理-GM=GA得GMsinsin()666sin(H)6sin则Si1-=1GM?GA?sin=2sin12sin(H)6,同理可求得S2=sinAsin(180o45o由正弦定理知BCACsinB12sin(6,、1(2)y=/S11442sinsin2(+一)6+sin2(ACABsinCsinB16、因为§，所以当）或2=一时，y取得

10、取大值ymax=2403当=3时，y取得最小值ymin=216(06全国卷BCcosA2cos2I）ABC的三个内角为A、B、C,求当A为何值时,取得最大值，并求出这个最大值。18、.解:由A+B+C=兀,得旦2G=2-A，所以有cosB+C=sin?.-B+C.-A.°AAAcosA+2cos-2-=cosA+2sin'=12sin2万+2sin=2a万2)2+2310C)(cosCsinC)210sinA当sinA=1,即Aj时,cosA+2cosB+C取得最大值为32232217、r-(06全国II)在ABC中，B45,ACa,cosC"，求5(1)BC?（2

11、）若点D是AB的中点，求中线CD勺长度。解：（1）由cosC得sinC551AB12由余弦定理知CDBD2BC22BDBCcosB.118213/2二253（06四川卷）向量m1,.3已知A,B,C是三角形rur,ncosA,sinA,且mABC三内角,rn1(I)求角A；(H)若L而已3,求tanBcosBsinB解：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。urr一):mn1/.1,v3cosA,sinA1即3sinAcosA12sinA£cosA21sinA一62;0A612sinBcosB(n)由题知一2

12、2-cosBsinBcosBtanB而tanB0.tan2B2或tanB1使cos2BtanBA一66整理得sin2BsinBcosB2cos2B0sin2B0,舍去/.tanB2tanAtanB.tanCtanABtanAB1tanAtanB2385312311【分析】：QAB时,A450,C750,由正弦定理得:19、（06天津卷）如图，在ABC中，AC2,BCasinAcsinCBCsin45oAB,3sin75o.62'（1）求AB的值;(2)求sin2AC的值.本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基础知识,1ccosC-.4BC3.3,21、

13、（07北京文12理11）在ABC中，若tanA1o解析：在AABC中，若tanA-,C150,A3考察基本运算能力及分析解决问题的能力.满分12分.则根据正弦定理AB力=?。（I）解：由余弦定理,_2_22_3_ABACBC2AC.BC.cosC41221-2.422、（07湖南理12）在4ABC中，角A,B,那么，AB.2,(H)解：由cosC3,且0C，得sinC，1cos2C4由正弦定理,巧,解得sinA型维sinAAB;148【解析】由正弦定理得cosB-13721-3所以,cosA由倍角公式sin2Asin2AcosA23、（07湖南文12）在ABC中，角且cos2A,2.92sin

14、A,16若a1,c.3,C一3故sin2A.c3.7sin2AcosCcos2AsinC20、（07重庆理5）在ABC中，AB瓜A450,C75°，则BC=(A.3.3B.2C.2D.331一,C150°,BC1,贝UAB31.1为锐角，sinA,BC1,.10C所对的边分别为a,b,c,若a1,A、B、C所对的边分别为ab、c,【解析】由正弦定理得，工sinA里贬鼻，所以a二sinAsinCc32624、(07重庆文13)在MBC中，AB=1,BC=2,B=60,贝叭C=【分析】：由余弦定理得：AC21222212cos60o3,AC石26、(07广东理16)已知ABC顶

15、点的直角坐标分别为A(3,4),B(0,0),C(c,0).27、(07海南宁夏理17)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B24、(07北京文理13)2002年在北京召开的国际数学家大会，会标.是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为，那么cos2的值等于解析：图中小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,.每一个直角三角形的面积是6,设直角三角形的两条直角边长分别为a,b,则a2b2251,ab62两条直角边的长分别为3,4,设直角三角形中较小的

16、锐角为，cos9=-,cos2芹2cos20-1=o52525、(07福建理17)在ABC中，tanA工，tanB-.45(I)求角C的大小；(H)若4ABC最大边的边长为折，求最小边的边长.本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分.解：(I)QC冗(AB),tanCtan(AB)451.1-453又Q0C兀)C冗.4(H)QC-,AB边最大，即AB标.4又QtanAtanB,A,B0-,角A最小，BC边为最小边.“sinA1(tanA-,a冗由cosA4且A0,一,2A2-2sinAcosA1,得sinA近.由-AB-BC-得：BCA

17、Bgsin-A五.17sinCsinAsinC所以，最小边BC拆.(1)若c5,求sin/A的值;(2)若/A是钝角，求c的取值范围.uuuuuruuu解析：(1)AB(3,4),AC(c3,4),右c=5,贝UAC(2,4),.cosAcos髭摊片，sin=岑；2)若/A为钝角，则3c9160解得c卷，c的取值范围是c03在同一水平面内的两个测点C与D.现测得BCD,BDC,CDs,并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB.29、(07全国卷1理17)设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为解：在ABCD中，CBD冗由正弦定理得_2a,b,c,a2bsinA.sinCBD(I)求B的大小

18、;所以BCCDsinBDCsinCBDssinsin()(H)求cosAsinC的取值范围.解:(I)由a2bsinA,根据正弦定理得sinA在RtABC中,12sinBsinA,所以sinB一2ABBCtanACBstansinsin()(H)cosAsinCcosAsincosAsinuuuruuuruuuuuur28、(07湖北理16)已知ABC的面积为3,且满足0ABAC6,设AB和AC的夹角为A1A.AcosAcosAsinA223sin(I)求的取值范围；(II)求函数f()2sin2J3cos2的最大值与最小值.4本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的

19、性质等基本知识，考查推理和运算能力.解：(I)设4ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c,则由1bcsin3,0<bccos06,可得0&cot<1,.242(H)f()2sin2石cos21cos2V3cos242(1sin2)V3cos2sin273cos212sin2-1.322-,2，-2<2sin2-1<3.423633即当口时，f()max3；当时，f(濡2.124由MBC为锐角三角形知，;232B,-230、由此有今XsinA-R所以，cosAsinC的取值范围为(07全国卷2理17)在4ABC中，已知内角(1)求函数yf(x)的解析式和定义域

20、;(2)求y的最大值.解：(1)4ABC的内角和ABC，由A,-,边BC273.设内20,C0得0B一应用正弦定理，知AC里sinBsinA2.3.sinx4sinx,sin一AB2aa210匹，由已知，AB120,/B1AB2105°60°45°,ABBCsinCsinA4sin在ABaBi中，由余弦定理,因为yABBCAC,B1B；AB2ABf2A1B2gA1B2gc°s45°202(10.,2)222010.222200.所以y24sinx4sin一x2.3B1B21072.(2)因为y4sinxc°sxsinx22.3因此，乙

21、船的速度的大小为1亲603072（海里/小时）.4.3sinx2.3-x所以，当x-,即x-日寸，y取得最大值6M.31、（07山东理20）如图，甲月&以每小时30啦海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于Ai处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的Bi处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟至U达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10，2海里，问乙船每小时航行多少海里?解法一：如图，连结AA230x2型6010.5,NAA2B1,又AA2B2180°12060,AA2B2是等边三角形,AB1,由已

22、知A2B2答：乙船每小时航行解法二：如图,由已知AB2c°s105c°s(45、.5(1.3)4sin105°sin(45°连结060)°、60)色B1,20AA230衣-01072,zB1A1A260c°s45c°s60sin45sin60在A2ABi中，由余弦定理,A2B2A2B；AA；2AlB1gAA2gD°s105°(10.2)2202210.2A1B110(1M).由正弦定理sinZA2B1105°,-0ccOsin45c°s60205(1飞)4100(42%/3).A1B1

23、20手in/B1A1A2r-4B210(1.3)/AA2B145°,即/BA2B160o45o15°,cos15osin1050解:由题意,得cosBI，B为锐角,在ABiA中，由已知AB210夜,由余弦定理,_3九sinAsin(冗BC)sin-BB22A1B12A2B；2A2B1gA2B22cos15o102(1.3)2(10W)2210(1、3)10.2可200.旦民10.2,乙船的速度的大小为*6030、2海里/小时.答：乙船每小时航行30.2海里.32、（07山东文17）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,tanC34、(n（07天津文17）在4ABC中,）求sinB的值;acgsinB已知ACBC本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、理等的知识，考查基本运算能力.满分12分.正弦定(1)求cosC;uuuuuu5It(2)若CBgDA5,且ab9,求c.2解：(1)QtanC3asnC3后cosC111又QsinCcosC1解得cosC-8(I)解：在zABC中，sinA71cos2AJ1由正弦定理，XsinA解：因为cosA-5q.所以sinB-sinB,所以角A为钝角,cosB.1sin2B,21，QtanC0,C是锐角.cosCuu