空间向量知识点归纳总结(经典)知识讲解

1、uuuOB运算律：加法交换律：加法结合律：(ab)数乘分配律：(ab)uumOBR)ba(bc)b空间向量与立体几何知识点归纳总结.知识要点.1 .空间向量的概念：在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量.注：(1)向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量.(2)向量具有平移不变性2 .空间向量的运算.定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)运算法那么：三角形法那么、平行四边形法那么、平行六面体法那么3 .共线向量.(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共o、b(b?0),a/b存在实数入使a=心.线向量或平行

2、向量,a平行于b,记作a/b(2)共线向量定理：空间任意两个向量a(3)三点共线：A、B、C三点共线<=>ABAC<=>OCxOAyOB其收y1)(4)与a共线的单位向量为4 .共面向量(1)定义：一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量.说明：空间任意的两向量都是共面的.(2)共面向量定理：如果两个向量a,b不共线,p与向量a,b共面的条件是存在实数rr1rx,y使pxaybo(3)四点共面：假设A、B、C、P四点共面<=>APxAByAC1)rp,存<=>OPxOAyOBzOC(其中xyzrrr5 .空间向量根本定理：如果三个向量a,b,

3、c不共面,那么对空间任一向量rrJr在一个唯一的有序实数组x,y,z,使pxaybzco一,一rlrrJrrJr一假设三向量a,b,c不共面,我们把a,b,c叫做空间的一个基底,a,b,c叫做基向量,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.推论：设o,a,b,c是不共面的四点,那么对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数uuuuuruuiruuirX,y,z,使OPxOAyOBzOC.6 .空间向量的直角坐标系：(1)空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中,对空间任一点a,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使OAxiyizk,有序实数组(x,y,z)叫作向量A在空间直角

4、坐标系Oxyz中的坐标,记作A(x,y,z),x叫横坐标,y叫纵坐标,z叫竖坐标.注：点A(x,y,z)关于x轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称,什么坐标不变,其余的分坐标均相反.在y轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz中的点设为(0,y,z)(2)假设空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1,这个基底叫单位正交基底,rrr用i,j,k表示.空间中任一向量axiyjzk=(x,y,z)(3)空间向量的直角坐标运算律：rrrr假设a(句也自),b(WEh),那么ab(a匕且b?©bs),rrrab(a1De?b?

5、,%b?),a(a,a2,as)(R),rraba1bla2b2a3b3,rra/bai匕但bza0(R),rraba1bla2b233b30.uuu假设A(x1,y1,zJ,B(x2,y2,z2),那么AB仇玉,丫24).一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.定比分点公式：假设人(为,丫1,乙),Bmz),appB,那么点P坐标为xx2y1V2Xz21,1,1(xx1,yy1,zz1)dx%设P(x,y,z)那么z),显然,当P为AB中点时,为P(XiX2yiV2Z1Z2ABC中,P(XiX2A(xi,yi,zi),B(X2,y2Z),C(X3,y

6、3,Z3),三角形重心p坐标X3yiV2V3ZiZ2Z3ABC的五心:内心P：内切圆的圆心,角平分线的交点.ABAC、AP尸二J5二p单位向量ABAC外心P:外接圆的圆心,中垂线的交点.P.PBPC垂心P：高的交点：PAPBPAPCPBPC重心P：中线的交点,三等分点中位线比AP移项,内积为0,那么垂直i-ABAC中央：正三角形的所有心的合一.4模长公式：假设a(ai,a2,a3),b(bhh),那么|a|aa42a22rr.(5)夹角公式：cos(ab)222b2b3rrabr-|a|b|aRa2b2a3b3；22222.aia?a3bb?20b3ABC中AB?AC0<=>A为锐

7、角AB?AC0<=>A为钝角,钝角(6)两点间的距离公式：假设A(Xi,yi,Zi),BNyzZ),uuinuuiur那么|AB|VABJ(X2Xi)2(y2yi)2匕乙)2,或dA,B'.(X2%)2(y2%)2(Z24)27.uuuOA0作a空间向量的数量积.i空间向量的夹角及其表示：两非零向量ruuma,OBr1a,b一,rr,显然有a,b叫做向b,a2向量的模：设OAa,ra,b,在空间任取一点o,作-r与b的夹角,记作a,br；右a,b；且规定rr一,那么称a与b互相垂直,记作：ab.那么有向线段戕的长度做向量a的长度或模,记作：向r3向量的数量积：向量a,b,r

8、rJ,r,r,rb,即ab|a|b|cosa,b,r.那么|a|r|b|cosrrra,b叫做a,b的数量积,记(4)_ra(5)空间向量数量积的性质：r,r,rrre|a|cosa,e.a空间向量数量积运算律：rrrrrrrrrrababab.abba交换律.r,r、r,rrrabcabac分配律.不满足乘法结合率：abcabc二.空间向量与立体几何1.线线平行两线的方向向量平行1-1线面平行线的方向向量与面的法向量垂直1-2面面平行两面的法向量平行2线线垂直共面与异面两线的方向向量垂直2-1线面垂直线与面的法向量平行2-2面面垂直两面的法向量垂直3线线夹角共面与异面0O,90O两线的方向向

9、量同,三的夹角或夹角的补角,coscosn1,n23-1线面夹角0O,90°：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量而与面的法向量n的夹角,假设为锐角角即可,假设为钝角,那么取其补角；再求其余角,即是线面的夹角sincosAP,n3-2面面夹角二面角00,1800:假设两面的法向量一进一出,那么二面角等于两法向量n1,n2的夹角；法向量同进同出,那么二面角等于法向量的夹角的补角.coscosn1,n2uuu4.点面距离h:求点PX0,y0到平面的距离：在平面上去一点Qx,y,得向量PQ.；;计算平面的法向量n;.PQIn:转化为点面距离4-1线面距离线面平行:转化为点面距离4-2面面距离

10、面面平行【典型例题】1 .根本运算与根本知识例1.平行六面体ABCDabcd,化简以下向量表达式,标出化简结果的向量uuruuuruuruuruuur（1） ABBC;2ABADAA;uuruuur1uuuu1uuuuuuruurABADCC；一ABADAA.23例2.对空间任一点O和不共线的三点A,B,C,问满足向量式:uuuOPuuuuuruuurxOAyOBzOC其中xyz1的四点P,A,B,C是否共面?uuuuuur假设向量a分别与向量ab,ac垂直,且|士|=6,求向量a的坐标.例3空间三点A(0,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5)求以向量aB,aC为一组邻边的平行四边形的

11、面积S;2 .基底法(如何找,转化为基底运算)3 .坐标法(如何建立空间直角坐标系,找坐标)4 .几何法编号03晚自习测试；17,18题例4.如图,在空间四边形OAB叶,OA8,AB6,AC4,BC5,OAC45o,OAB60o,求OA与BC的夹角的余弦值OA说明：由图形知向量的夹角易出错,如例5.长方体ABCDA1B1c1D1中,ABBC交点,又AFBE,求长方体的高BBi.uuuuuuruuruuur、一OA,AC135o易错与成OA,AC45°,切记!4,E为ACi与BQ的交点,F为BCi与BC的【模拟试题】1.空间四边形ABCD,连结AC,BD,设M,G分别是BC,CD的中点

12、,化简以下各表达uuuuuuruuir式,并标出化筒结果向量：(1)ABBCCD;uuuiuuruuruuur1uuuuuurAB-(BDBC)；(3)AG-(ABAC).2.平行四边形uuruuuuuruuruurABuC%从凯AC外一点.引向量.OEkOAOFkOBQGkOC,OHkOD.(1)求证：四点E,F,G,H共面;(2)平面AC/平面EG.113.如图正方体ABCDABC1D1中,BEiD1F1-AB,求BE1与DF1所成角的余弦.45.平行六面体ABCDABCD中,AB4,AD3,AA5,BAD900,BAADAA600,求AC的长.3.1.解:(1)(2)uuuAB(3)如图

13、,uuuABuuuABuuuuBMuuirAG2.解：uiurEGuuirkOCuuuk(OBuuiriEFI参考答案uuiruuiruuuruuirBCCDACCD1uuruur-(BDBC)UUuuuuurMGAG；明1uur2(AB证实：uumuurAC)ULUlABuuirAG四边形OGOE,uuuuuurkOAk(OCuuuOAuuurEHuuuuuuODOA)uuuOA)uiurOFe,f,g,h解：共面；uuruuuruuurEFOFOEADuur1BCuuurAM1uur-BD.2uuuuMG.ABCD是平行四边形,.UULTuuuruuukACk(ABAD)uurOEuuuu

14、OHuiurOEuuurk(OBuuuuuuOA)kAB,又uuirACuuurEGuuuruuuABAD,uuukAC,/.EF/AB,EG/AC.所以,平面AC平面EG.C-0解：不妨设正方体棱长为贝UB1,1,0,E11,3,1,41,建立空间直角坐标系O1D.,xyzuuur二BE11uuuuu(0,4,1)'DF1uuuu二BE1uuuuDF1UULUUUUUBE1DF117414uuuruuincos；BE,DF1;)1516121617,17o17uujr4.分析：(1)QABuujr(2,1,3),AC(1,3,2),cosBACuuruuiruuuuuir./BAC=60,S|AB|AC|sin60o7事rruuu(2)设a=(X,y,z),贝(JaAB2xy3z0,ru1rr-222aACx3y2z0,|a|,