高数答案(下)习题册答案第六版下册同济大学数学系编

1、第八章多元函数的微分法及其应用§1多元函数概念一、设f( , )x2y2 ,(,)x2y2 ,求:f(, ),2 .x yx yx y y答案： f (x, y), y 2 )( x 2y2 )2y 4x42x 2 y 22 y 4二、求下列函数的定义域：1、 f ( x, y)x 2 (1y)( x, y) | y 2x 21;1 x2y 22、zy( x, y) | yx , x0;arcsinx三、求下列极限：1 、limx 2 sin y（ 0）x 2y 2( x , y) ( 0,0 )2 、lim(1y )3 x(e6)( x, y)(, 2)x四、证明极限limx2 y

2、不存在 .42( x , y )( 0,0 ) xy证明：当沿着x 轴趋于（ 0，0）时，极限为零，当沿着yx 2趋于（0，0）时，极限为1 ,2二者不相等，所以极限不存在xy sin1,( x, y)(0,0)五、证明函数 f ( x, y)x 2y 2在整个 xoy 面上连续。0,( x, y)(0,0)证明：当 ( x, y)(0,0) 时， f ( x, y)为初等函数，连续。当 ( x, y)(0,0) 时，limxy s i n10f (0,0)，所以函数在（ 0，0）也连续。所以函数( x , y) ( 0,0 )x 2y2在整个 xoy 面上连续。六、设 zxy2f ( xy)

3、 且当y=0时 zx2，求f(x)及z的表达式.解： f(x)= x2x ，zx 22 y22 xyyy§2偏导数zz1、设 z= xyxex,验证xyxyzxy证明： zyyyyyexyex,zxex， xzyzxyxy xex xyzxxyxy:zx2y 2在点（3,1 ,1）处切线与 y 轴正向夹角 ()、求空间曲线1222y423、设f (x, y)xy( y 1) 2 arcsinx ,求 f x (x,1)( 1)yzu， u， u4、设ux y,求xyzuzzuzzu1z1yyxy，ln xxln x解：yyy2 xzyx5、设 ux2y2z2，证明 :2 u2 u2

4、u2x 2y2z2u6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由f (x, y)xsin1y 2, x2y20x2x 2y20,0lim f ( x, y) 0f ( 0,0)连续；f x (0,0)lims i n1不存在，f y (0,0) lim 000x 0x 0x 2y0 y0y 07、设函数 f(x,y) 在点（ a,b）处的偏导数存在，求lim f (ax,b) f (ax,b)x0x（ 2fx(a,b)）§3全微分1、单选题（ 1）二元函数 f(x,y) 在点 (x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的_(A) 必要条件而非充分条件（B）充分条

5、件而非必要条件（C）充分必要条件（ D）既非充分又非必要条件（2）对于二元函数 f(x,y) ，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是_(A) 偏导数不连续，则全微分必不存在（ B）偏导数连续，则全微分必存在（C）全微分存在，则偏导数必连续（D）全微分存在，而偏导数不一定存在2、求下列函数的全微分：yy1）ze xdz e x (2）zsin( xy 2 )解： dzyy3）ux z解： duzy2dx1 dy)xxcos( xy 2 ) ( y 2 dx2xydy)y1yyx z1 x z ln xdyyx z ln xdzdxzz23、设zy cos( x2 y) ， 求dz(0, )4解：

6、 dzy sin( x2 y) dx (cos( x 2 y)2 y sin( x2 y) )dydz | (0,) =dxdy4421 (、设f ( x, y, z)z求： df (1,2,1)2dx 4dy5dz)4x2y2255、讨论函数f (x, y)(x2y2 )sin1y 2, (x, y)(0,0)x2在（ 0， 0）点处0,(x, y)(0,0)的连续性 、偏导数、可微性解：lim( x 2y2 ) sin10f (0,0)所以 f ( x, y) 在（0，0）点处连续。( x , y )(0,0)x 2y 2f x (0,0)limf ( x,0)f (0,0), f y (

7、0,0)limf (0, y)f (0,0)x0y0( x, y) ( 0,0 )( x, y ) (0,0)f (x,y)00，所以可微。(x)2(y) 2§4多元复合函数的求导法则1、 设zuv ,usin t ,vet ，求dz解：dz = cost.(sin t)etdt1etlnsin t(sin t) etetdtz , z2、 设z(xy)2 x 3y , ，求xyz( 2x3y) x(y2 x ) 3 y 13x(y2x ) 3yl nx (y) ,y3、 设zxn f (y2 ) ，f可微，证明 x z2 yznzxxy4、 设zf ( x 2y 2 ,2xy) ，

8、其中 f 具有二阶连续偏导数，求2 z ，2 z ，2 zx2x yy 2解：z2xf12 yf2,x2 zz2 yf12 xf2,2x( f11( 2 y)f12 2x)2 f22 y( f 21 (2 y)f 22 2 x)yxy= 2 f14 xyf114(x2y2 ) f124xyf222 z2 f14x2 f118xyf124 y 2 f 22,2 z2 f14 y2 f118xyf124x2 f22x2y25、 设zf (xy, y ) g( x ) ，其中 f具有二阶连续偏导数、g 具有二阶连续导数，求2 zxyx yzf1yyf21解：2g ，xxy2 zf1y( f11 x

9、f121 )12 f2y2 ( f12 x f221 )12 gx3 gx yxxxxyy6、 设uF ( x, y, z) ， zf ( x, y) ， ydu( x) ，求解： dudxF1F2( x)F3 ( f xf y( x) 。dxu x 2 y7、设zz(u,v) ，且变换2 z2 z2 z=0化为2 z0，v x ay可把方程 62x yy 2xu v其中 z 具有二阶连续偏导数，求常数a 的值(a3)证明：zzzz2 zaz2 z2 z2 z2uxuvyuvx 2u 2u vv22 z 42 z4a2 za 22 u2 z22z (a 2)2 za2uy 2u 2u vv 2

10、x yu 2u vv2得： (105a)2 z( 6aa 2 )2 u0a=3uvv 2/ (1,1)a , f2/ (1,1)8、设函数 f(x,y) 具有连续的一阶偏导数， f(1,1)=1, f1b又， ( x)fx, f x, f (x, x)求(1). 和/(1)(1) ,(a+ab+ab2+b3)dy§5隐函数的求导公式1、 设y ln yxy ，求dxdy1解：令 F (x, y)y ln yxy ， Fx1, Fyln y,dxln y2、 设zz( x, y) 由方程 x 2y 2z2yf ( z ) 确定，其中f 可微，证明y( x 2y2z2 )z2xy z2

11、xzxy3、 设zz( x, y) 由方程xey z所确定，其中f 可微，求2 zzx yzzzz2 zzxx(1z),y1 z ,xyx(1z) 34、 设x2y 2z21(dyx ，dz0 )zx2y 2，求 dy ， dzdxdxdxy dx5、 设zz( x, y) 由方程 F (xy, yz, xz)0 所确定，F可微，求z ,zxy解：令 F (x, y, z)F ( xy, yz, xz)，则zFxF1 yzF3,zFyF1 xF2xFzF2xF3yFzF2xF36、设zf ( x, y) 由方程 zxyez xy0 所确定，求dz(dzdxdy )7、设 z=z(x,y)由方程

12、3xyx cos( yz)z3y 所确定，求z ,z,xyz3xy.y ln 3c o syz(),zx.3 xy ln 3xz sin( yz) 1x3z2xy s i nyz()y3z 2xy sin( yz)1、求螺旋线解：切线方程为§6微分法在几何中的应用x2 cost, y2 sin t , z 3t 在对应于t处的切线及法平面方程34x2 y2z4223法平面方程2( x2 )2( y2)3( z3 ) 0x2y 2z242、 求曲线50z2x2y 2在（ 3， 4， 5）处的切线及法平面方程解：切线方程为x3y4z5，法平面方程：4 x3y 04302x23y2z23、

13、 求曲面9在（ 1， -1， 2）处的切平面及法线方程解：切平面方程为2( x1)3( y1)2(z2)0及法线方程x1y1z22324、 设f (u,v)可微，证明由方程f (axbz, aybz)0所确定的曲面在任一点处的切平面与一定向量平行证明：令 F ( x, y, z)f (axbz,aybz) ，则Fxf 1 a, Fyf2 a, Fzbf 1bf 2 , n( f1 a, f 2 a, bf 1bf 2 )n(b, b, a)0，所以在（x0 , y0 , z0）处的切平面与定向量（b,b, a ）平行。22225、 证明曲面x3y 3z 3a 3(a0）上任意一点处的切平面在三

14、个坐标轴上的截距的平方和为 a22222111证明：令F ( x, y, z)x 3y 3z3a 3，则 Fx2 x 3 , F y2y 3 , Fz2z 3 ,333111在任一点x0 , y0 , z0处的切平面方程为x03 ( xx0 )y03 ( yy0 )z03 ( zz0 )0121212a 2在在三个坐标轴上的截距分别为x03 a 3 , y03 a 3 , z03 a 3 , 在三个坐标轴上的截距的平方和为证明曲面 zxf ( y ) 上任意一点M ( x0 , y0 , z0 ), ( x00) 处的切平面都通过原点xt k F (x, y, z)7、设 F(x,y,z)具有

15、连续偏导数，且对任意实数t, 总有F (tx, ty,tz)k 为自然数，试证：曲面F(x,y,z)=0 上任意一点的切平面都相交于一定点证明 ： F (tx,ty,tz)t k F ( x, y, z)两边对 t求导，并令 t=1xF xyFyzFzkF ( x, y, z)设是曲面上任意一点，则过这点的切平面为：Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) + F y ( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) + Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) =0此平面过原点（ 0，0，0）§7方向导数与梯度1、 设函数f (x, y)x2xyy 2，

16、1）求该函数在点（1， 3）处的梯度。2）在点（ 1， 3）处沿着方向l的方向导数，并求方向导数达到最大和最小的方向解：梯度为g r a d(1f,3)i5 j ,f(1,3)cos5sin,方向导数达到最大值的方向为s(1,5)，方向导数达l到最小值的方向为s(1,5) 。2、 求函数uxy 2yz2zx2在（ 1，2，-1 ）处沿方向角为6009001500的方向导数，并求在该点处方向导数达到最大值的方向及最大方向导数的值。解：方向导数为u(1,2, 1)133 ，该点处方向导数达到最大值的方向即为梯度的方向l2gradu(1,2,1)2i5 j3k，此时最大值为u(1,2, 1)38l3

17、、 求函数uxy2 z3在（ 1， 1， -1）处沿曲线xt, yt 2 , zt3在（ 1， 1， 1）处的切线正方向（对应于t 增大的方向）的方向导数。解：uy2 z3,u2xyz3,u3xy2z2， s(1,2,3) ，该函数在点（1， 1， -1）处的方xyz向导数为u(1,1, 1)4，l144、求函数uln( y 2z2x 2 ) 在（1，1，-1）处的梯度。u2xu2 yu2z解：xx2y2z2,x2y2z2,x2y2z2，yz222gradu (1,1, 1)ijk333§8 多元函数的极值及求法1、求函数 f ( x, y)3x23 y 22x2 y 2 的极值。答

18、案：（ 1， 1）极小值点33x2y 22 求函数 f ( x, y)2 ln x18 ln y 的极值答案：极小值f (1,3)1018 ln 33. 函数 f (x, y) 2x2 ax xy 2 2y 在点（1，1）处取得极值，求常数a (-5)4、求函数zx 2y 21在条件 x y3 0 下的条件极值解： F ( x, y, )x 2y21( x y3)Fx0(2,2)，极小值为11F y03325、欲造一个无盖的长方体容器，已知底部造价为3 元/ 平方，侧面造价均为1 元/平方，现想用36 元造一个容积最大的容器，求它的尺寸。（长和宽 2 米，高 3 米）6、 在球面x2y 2z2

19、5r 2（ x0, y0, z0 ）上求一点，使函数f (x, y, z)ln xln y3ln z达到极大值， 并求此时的极大值。 利用此极大值证明 a,b,c有 abc327( abc )552222 )证明：令 L ln xln y3ln z(xyz5r令L0,L0,L0， x 2y 2z 25r 2解得驻点 xyr, z3r 。所以函数xyzf (x, y, z)ln xln y3ln z在 xyr , z3r 处达到极大值。极大值为ln( 33r 5 ) 。即 xyz333r 5x2 y 2 (z2 ) 327( r 2 )527( x 2y 2z2)5，令27( abc)5。5x

20、2a, y 2b, z2c, 得 abc 3、求椭球面 x2y 25z21被平面 x+y+z=0 截得的椭圆的长半轴与短半轴的732长度解：F x2y2z21x 2y 2z2 1)2()(2x y z3Fx2x21 x203Fy2 y1 y203 2F y2z 2 1z20x， y2， z2x 2y 222(3 1)212(1 1)z132xz0y1(x 2y2z2 )d 211113长半轴1113，短半轴1113666第八章自测题一、 选择题：（每题2分，共14 分）f (x, y)xy 2,(x, y)(0,0),1、设有二元函数x 2y4则0,(x, y)(0,0),A 、limf (x

21、, y) 存在；(x, y)(0,0)B、limf (x, y) 不存在；( x, y)(0 ,0)C、limf (x, y) 存在，且 f (x, y) 在(0,0)处不连续；( x, y)(0 ,0)D、limf (x, y) 存在，且 f ( x, y) 在(0,0)处连续。(x, y)(0,0)2、函数f ( x, y) 在 P0 ( x0 , y0 ) 各一阶偏导数存在且连续是f ( x, y) 在 P0 ( x0 , y0 ) 连续的A 、必要条件；B、充分条件；C、充要条件；D、既非必要也非充分条件。3、函数f ( x, y)xy,xy,在 (0,0) 点处xy0,xyA、极限值

22、为1；B 、极限值为 -1；C、连续；D 、无极限。4、zf ( x, y) 在 P0 (x0 , y0 ) 处 f x ( x, y) ， f y ( x, y) 存在是函数在该点可微分的 （ A）必要条件；（ B）充分条件；（ C）充要条件；（ D）既非必要亦非充分条件。5、点O( 0,0)是函数zxy 2的（ A）极小值点；（ B ）驻点但非极值点；（ C）极大值点；（ D）最大值点。6、曲面ezzxy3 在点P(2,1,0)处的切平面方程是（ A）2x y 40 ；（ B）2x y z4 ；（ C）x 2 y 40 ；（ D）2x y 5 07、已知函数uf (t, x, y), x( s, t), y(s,t ) 均有一阶连续