一维优化方法（课堂PPT）

1、1l结构设计：结构设计：要在满足强度要求等条件下，要在满足强度要求等条件下，使所用的材料的总重量最轻：使所用的材料的总重量最轻：l资源分配：资源分配：要使各用户利用有限资源产要使各用户利用有限资源产生的总效益最大；生的总效益最大；l安排运输方案：安排运输方案：要在满足物质需求和装要在满足物质需求和装载条件下使运输费用最低：载条件下使运输费用最低：l编制生产计划：编制生产计划：要按照产品工艺流程和要按照产品工艺流程和顾客需求，尽量降低人力、设备、原材顾客需求，尽量降低人力、设备、原材料等成本使总利润最高。料等成本使总利润最高。2l最优化设计的目的：最优化设计的目的：l 机械设计师追求其设计的方案

2、是机械设计师追求其设计的方案是l 尺寸最小尺寸最小（材料消耗最少或重量最轻）（材料消耗最少或重量最轻）l 成本最低成本最低（ 运输、资源分配、安排生产等）运输、资源分配、安排生产等）l 性能最好性能最好（零件、部件、产品）（零件、部件、产品）l每一产品设计、制造过程中，都含有很多因素每一产品设计、制造过程中，都含有很多因素如何优化。如何优化。l因此，最优化理论和技术必将在社会的诸多方因此，最优化理论和技术必将在社会的诸多方面起着越来越大的作用。面起着越来越大的作用。3l目前，科研院所、大型企业在设计中均把目前，科研院所、大型企业在设计中均把优化思想融入其中，例如：优化思想融入其中，例如：l1、

3、汽车行业、汽车行业（排气量优化问题，车型等）（排气量优化问题，车型等）l2、航空航天、航空航天（电子吊舱（电子吊舱TTC环控制系统环控制系统的优化设计、卫星、安全等问题的优化设计、卫星、安全等问题45l1什么是最优化设计什么是最优化设计l 是根据给定的设计要求，在现有的工程技是根据给定的设计要求，在现有的工程技术条件下，应用专业理论和数学规划的理论及术条件下，应用专业理论和数学规划的理论及方法，在计算机上进行的半自动或自动设计，方法，在计算机上进行的半自动或自动设计，以选出在现有工程条件下的最好设计方案的一以选出在现有工程条件下的最好设计方案的一种现代设计方法。种现代设计方法。l设计原则：设计

4、原则：是优化设计是优化设计l设计方法：设计方法：是采用最优化数学方法是采用最优化数学方法l设计手段：设计手段：一是靠经验的积累，凭主观作出判一是靠经验的积累，凭主观作出判断；二是做试验选方案，比较优劣定决策；三断；二是做试验选方案，比较优劣定决策；三是建立数学模型，求解最优策略。（电子计算是建立数学模型，求解最优策略。（电子计算机及计算程序）这种方法应该是符合时代潮流机及计算程序）这种方法应该是符合时代潮流和形势发展需要。和形势发展需要。6l目前国内外设计方法目前国内外设计方法l常规设计：常规设计：用人工手算几种方法选其较好者用人工手算几种方法选其较好者l计算机辅助优化设计：用近代的优化数学方

5、法计算机辅助优化设计：用近代的优化数学方法 和理论编制计算机程序，用计算机辅助计算千和理论编制计算机程序，用计算机辅助计算千万种方案，有规律最速得其最优方案。万种方案，有规律最速得其最优方案。l国际情况：国际情况：先进国家以采用后种方法为主先进国家以采用后种方法为主l国内情况：国内情况：两种方法并行，但趋向国际情况，两种方法并行，但趋向国际情况，目前国内大型企业（如汽车、航空、航天和科目前国内大型企业（如汽车、航空、航天和科研院所）均采用计算机辅助优化设计研院所）均采用计算机辅助优化设计7l2、最优化设计工作包含内容、最优化设计工作包含内容l （1）将设计问题的物理模型转化为数学模型，）将设计

6、问题的物理模型转化为数学模型，建立数学模型时要选取建立数学模型时要选取设计变量设计变量、列出、列出目标函目标函数数，给出，给出约束条件约束条件，目标函数是设计问题所要，目标函数是设计问题所要求的最优化指标与设计变量之间的函数关系式。求的最优化指标与设计变量之间的函数关系式。l（2）采用最适当的最优化方法，求解数学模）采用最适当的最优化方法，求解数学模型。可归结为在给定的条件（例如约束条件）型。可归结为在给定的条件（例如约束条件）下求目标函数的极值或最优化值问题。下求目标函数的极值或最优化值问题。8l3、优化设计的步骤及计算过程、优化设计的步骤及计算过程l （1）优化设计的步骤）优化设计的步骤l

7、 A.根据设计问题建立数学模型根据设计问题建立数学模型,既将实际问既将实际问题表达为数学规划问题题表达为数学规划问题l 选取设计变量选取设计变量,确定目标函数确定目标函数,建立约束条件建立约束条件l B 根据数学模型选择寻优方法（优化算法）根据数学模型选择寻优方法（优化算法）l C 编制程序编制程序l D 利用计算机计算利用计算机计算,选出最优方案选出最优方案l E 对选出的最优方案进行分析和判断对选出的最优方案进行分析和判断,首先看看是否符合工程实际首先看看是否符合工程实际,然后进行参然后进行参数分析数分析.9l(2) 计算过程计算过程l 各种工程设计问题的优化设计原理大体上各种工程设计问题

8、的优化设计原理大体上相似如下图相似如下图:文件编辑整理初始设计方案已知数据约束条件数学模型评比寻优方法人工监控10lA 初始设计方案初始设计方案lB 数学模型数学模型lC 评比评比lD 寻优方法寻优方法lE 人工监控人工监控(打印中间结果等打印中间结果等)lF 文件编辑整理文件编辑整理11l1、设计变量：、设计变量：在设计过程中进行选择并在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立参数（变量）最终必须确定的各项独立参数（变量）l 如结构的总体尺寸、零件的几何尺寸、如结构的总体尺寸、零件的几何尺寸、物理特性等物理特性等lA:表示表示 N维设计变量可表示为维设计变量可表示为XnTnRXxxxX,.

9、,2112lB维数维数：设计变量的数目称为最优化设计维数：设计变量的数目称为最优化设计维数lC：Rn表示设计变量存在的空间表示设计变量存在的空间l 既以既以n个独立变量为坐标轴组成的个独立变量为坐标轴组成的n维向量维向量空间是一个空间是一个n 维实空间维实空间lD设计空间：设计空间：每一个分量都是互相独立的，所每一个分量都是互相独立的，所有各个分量构成了一个空间，即各设计变量的有各个分量构成了一个空间，即各设计变量的坐标轴所描述的空间称之为设计空间坐标轴所描述的空间称之为设计空间lE超越空间：超越空间： n3时是用图很难表达的空间为时是用图很难表达的空间为13l例例:某车间生产甲、乙两种产品。

10、生产甲种产某车间生产甲、乙两种产品。生产甲种产品每件需要用材料品每件需要用材料9kg、3个工时、个工时、4kw电，电，可获利可获利60元。生产乙种产品每件需要用材料元。生产乙种产品每件需要用材料4kg、10个工时、个工时、5kw电，可获利电，可获利120元。若元。若每天能供应材料每天能供应材料360kg、有、有300个工时、能供个工时、能供200kw电，问每天生产甲、乙两种产品各多电，问每天生产甲、乙两种产品各多少件，才能够获得最大的利润。少件，才能够获得最大的利润。14l选择设计变量:l分别以生产甲乙两种产品数为nTRXxxX21,15l2目标函数：设计中预期要达到的目标目标函数：设计中预期

11、要达到的目标l如（重量最轻、或尺寸最小，性能最好等）如（重量最轻、或尺寸最小，性能最好等） l目标函数应表示为各设计变量的函数目标函数应表示为各设计变量的函数la单目标函数单目标函数:最优化问题仅有一个单目标函数最优化问题仅有一个单目标函数lb多目标函数：在同一设计中有多个目标函数多目标函数：在同一设计中有多个目标函数l 对于多目标函数可以独立地列出几个目标函对于多目标函数可以独立地列出几个目标函 数式数式lC综合目标函数：把几个目标函数综合到一起综合目标函数：把几个目标函数综合到一起),.,()(21nxxxFXF16l目标函数可以通过等值线（面）在设计空间中目标函数可以通过等值线（面）在设

12、计空间中表示出来。表示出来。以二维为例，如图以二维为例，如图在设计平面上的点在设计平面上的点X(1) ,X(2), X(3)存在有存在有：1)3()2()1()()()(cXFXFXF17l例例:某车间生产甲、乙两种产品。生产甲种产某车间生产甲、乙两种产品。生产甲种产品每件需要用材料品每件需要用材料9kg、3个工时、个工时、4kw电，电，可获利可获利60元。生产乙种产品每件需要用材料元。生产乙种产品每件需要用材料4kg、10个工时、个工时、5kw电，可获利电，可获利120元。若元。若每天能供应材料每天能供应材料360kg、有、有300个工时、能供个工时、能供200kw电，问每天生产甲、乙两种产

13、品各多电，问每天生产甲、乙两种产品各多少件，才能够获得最大的利润。少件，才能够获得最大的利润。18xxxxf212112060,19l3约束条件：在设计中对设计变量取值的限制约束条件：在设计中对设计变量取值的限制条件条件l（1）边界约束或区域约束）边界约束或区域约束l（2）性能约束）性能约束l（3）显约束和隐约束）显约束和隐约束l（4）约束的表达式形式：按表达式约束分为）约束的表达式形式：按表达式约束分为等式和不等式约束等式和不等式约束pvXhmuXgvu, 10)(, 10)(20l约束函数的约束函数的几何意义几何意义是它将设计空间一分为二，是它将设计空间一分为二，形成了可行域和不可行域。形

14、成了可行域和不可行域。如图，优化设计点应当落在可行域内，即：nRDX21l例例:某车间生产甲、乙两种产品。生产甲种产某车间生产甲、乙两种产品。生产甲种产品每件需要用材料品每件需要用材料9kg、3个工时、个工时、4kw电，电，可获利可获利60元。生产乙种产品每件需要用材料元。生产乙种产品每件需要用材料4kg、10个工时、个工时、5kw电，可获利电，可获利120元。若元。若每天能供应材料每天能供应材料360kg、有、有300个工时、能供个工时、能供200kw电，问每天生产甲、乙两种产品各多电，问每天生产甲、乙两种产品各多少件，才能够获得最大的利润。少件，才能够获得最大的利润。22002005430

15、01033604921212121xxxxxxxx23l4数学模型：数学模型：首先把工程问题用数学方法来描述，建立一个数学首先把工程问题用数学方法来描述，建立一个数学模型。机械优化设计的数学模型已模式化了，可写模型。机械优化设计的数学模型已模式化了，可写成：成：最优方案最优方案)(,.,*2*1*XFxxxXTx最优值最优值qvXhpuXgtsRDXXFvun,.2 , 10)(,.2 , 10)(. .)(min 求24l例例:某车间生产甲、乙两种产品。生产甲种产某车间生产甲、乙两种产品。生产甲种产品每件需要用材料品每件需要用材料9kg、3个工时、个工时、4kw电，电，可获利可获利60元。生

16、产乙种产品每件需要用材料元。生产乙种产品每件需要用材料4kg、10个工时、个工时、5kw电，可获利电，可获利120元。若元。若每天能供应材料每天能供应材料360kg、有、有300个工时、能供个工时、能供200kw电，问每天生产甲、乙两种产品各多电，问每天生产甲、乙两种产品各多少件，才能够获得最大的利润。少件，才能够获得最大的利润。25xxxxf212112060,00200543001033604921212121xxxxxxxx26l5连续变量连续变量l6离散变量离散变量l7约束优化与非约束优化约束优化与非约束优化l8线性优化与非线性优化线性优化与非线性优化l例要用薄钢板制造一体积为例要用薄

17、钢板制造一体积为 的货箱的货箱,由于运输装卸要求其长度不小于由于运输装卸要求其长度不小于4m,问为了问为了使耗费的钢板最少并减轻重量使耗费的钢板最少并减轻重量,应如何选取应如何选取货箱的长、宽、和高？货箱的长、宽、和高？l解：解：m2527l9可行域与可行设计点可行域与可行设计点l非可行域与非可行设计点非可行域与非可行设计点l例如：例如：44)(min12221xxxxfRn21 Txxx00010224132212211xgxgxxgxxgxxxx28l将约束函数值为零时所得的曲线所包围的图形，将约束函数值为零时所得的曲线所包围的图形，在此图形内取点为可行设计点，在图形外取点在此图形内取点为

18、可行设计点，在图形外取点为非可行设计点。既满足约束条件所形成的图为非可行设计点。既满足约束条件所形成的图形内取点。形内取点。l10 局部最优和全局最优局部最优和全局最优l 目标函数不是单峰函数时，有若干个极小点目标函数不是单峰函数时，有若干个极小点l 对应有函数值称为局部最优解，其中函数对应有函数值称为局部最优解，其中函数值最小的点称为全域最优解值最小的点称为全域最优解29l数学基础：数学基础：l梯度梯度lHessian 海赛矩阵海赛矩阵l函数的凸集与凸函数函数的凸集与凸函数l在优化设计中应注意局部区域的极小点并不一在优化设计中应注意局部区域的极小点并不一定就是整个可行域的最优点（最大值或最小

19、定就是整个可行域的最优点（最大值或最小值）。在整个可行域中对任一值）。在整个可行域中对任一x都有都有l时，时，x就是全域最优点或整体最优点，如果就是全域最优点或整体最优点，如果x是是局部可行域中有极小值时，称局部或相对最优局部可行域中有极小值时，称局部或相对最优点，函数的凸性表现为单峰性。点，函数的凸性表现为单峰性。 xfxf30l结论：多元函数若有连续的二阶偏导数，且结论：多元函数若有连续的二阶偏导数，且H（X）正定。如果正定。如果F是是D内的凸函数，且存在极内的凸函数，且存在极小点小点X，那么那么X必为必为F在在D上的全局极小点，且上的全局极小点，且是唯一的，如是凸函数，驻点就是极小点是唯

20、一的，如是凸函数，驻点就是极小点l优化中常用。优化中常用。31l根据设计变量的类型可分为根据设计变量的类型可分为n连续变量优化方法连续变量优化方法n离散变量优化方法离散变量优化方法l在连续变量优化方法中，又可分为：在连续变量优化方法中，又可分为：n非线性无约束优化方法非线性无约束优化方法n直接算法直接算法n梯度算法梯度算法n非线性约束优化方法非线性约束优化方法n直接算法直接算法n间接算法间接算法32l 直接搜索法：通过函数值的计算和直接搜索法：通过函数值的计算和比较，确定搜索的方向和步长。如：黄比较，确定搜索的方向和步长。如：黄金分割法、二次插值、复合形法等。金分割法、二次插值、复合形法等。l

21、 间接搜索法：利用函数的一阶或二间接搜索法：利用函数的一阶或二阶偏导数矩阵确定搜索方向和步长。如阶偏导数矩阵确定搜索方向和步长。如梯度法、牛顿法等。梯度法、牛顿法等。33l最优化设计的任务：一是找到最优解，最优化设计的任务：一是找到最优解，二是如何提高求优过程的效率。二是如何提高求优过程的效率。 对对n维的非线性目标函数，用常规的解法求极维的非线性目标函数，用常规的解法求极值，往往是很困难的。有效的办法使用值，往往是很困难的。有效的办法使用迭代算迭代算法法。34l特点：按照一定的逻辑结构进行反复的数值计特点：按照一定的逻辑结构进行反复的数值计算，寻求函数值不断下降的设计点，直到最后算，寻求函数

22、值不断下降的设计点，直到最后获得足够精度的近似解时就截断计算。获得足够精度的近似解时就截断计算。l一、迭代过程一、迭代过程:从一个选定的初始点从一个选定的初始点X出发出发,沿沿某种优化方法所规定的方向某种优化方法所规定的方向S,确定适当的步长确定适当的步长a.产生一个新的设计点产生一个新的设计点.l l l满足满足l a-第第k步迭代计算的步长步迭代计算的步长)()()()1( : kkkkSXX即 xxkkff)(135l二、迭代计算的终止条件二、迭代计算的终止条件l 1.点距准则点距准则:l 相邻两迭代点之间的距离已达到充分小相邻两迭代点之间的距离已达到充分小既：既：l 1)()1(kkX

23、X36如果如果F(X(k+1)1可采用相对可采用相对来判断。判别式：来判断。判别式： 21xxkkFF3)()()1()()()(kkkXFXFXF37l3.梯度准则梯度准则l 目标函数在迭代点的梯度已达到充分小目标函数在迭代点的梯度已达到充分小 既：既：41XKF44531411010；一般取判断精度38l三、变量的坐标变换三、变量的坐标变换l 原因：变量间的数值大小相差极大，无法用原因：变量间的数值大小相差极大，无法用统一步长寻优，为此采用坐标变换便于寻优的统一步长寻优，为此采用坐标变换便于寻优的统一步长。统一步长。l设计变量的标准化处理，是将设计变量值用变设计变量的标准化处理，是将设计变

24、量值用变量区间内的相对坐标来表示，将设计变量的真量区间内的相对坐标来表示，将设计变量的真实值化为变量区间的相对值，使变量的变化范实值化为变量区间的相对值，使变量的变化范围均在围均在01区间内。区间内。39l坐标变换：坐标变换：lXtr-变量的真实坐标值变量的真实坐标值lXr-变量的标准坐标值变量的标准坐标值lA-变量变化的下限变量变化的下限lB-变量变化的上限变量变化的上限nixABAxxriiiitrri,.2 , 1 ) 10 ( 40 对于一维目标函数 f ( x ),寻找它的最优点x 和最优值 x （k+1)= x （k ) + （k ) S （k ) S-方向矢量：由某种优化方法规定

25、 -步长 min f （ x （k+1) ） = f （x （k ) + （k ) S （k ) ）1. 确定搜索区间2.求最优步长 ，使目标函数达到最小。xff*41有两种方法：进退法有两种方法：进退法 外推法外推法进退法：分为三步进退法：分为三步a. 试探计算试探计算 初选一个初始点初选一个初始点 和初始步长和初始步长 前进点前进点并计算函数值并计算函数值 f f（x x 1 1）= y= y1 1 f f（x x2 2）= y= y2 2（1 1）当）当y y2 2 y y y1 1时，则极小点必在时，则极小点必在x x 1 1左方，应再做左方，应再做后退运算后退运算x1hxx012h0

26、42b. y y2 2 y y1 1 ( (前进计算）前进计算）令令 并前进步长倍增如（给定并前进步长倍增如（给定，让让=2=2）计算第三个前进点（新点计算第三个前进点（新点 ）x x 3 3 = x = x 2 2+h+h x x 3 3 = x = x 2 2+ +h h0 0 = = （ x x 1 1 + + h h0 0 ）+2+2h h0 0 = x = x 1 1 +3+3 h h0 0计算计算 f f（x x 3 3）= y= y3 3比较比较f f（x x 3 3），）， f f（x x 2 2）既比较既比较y y2 2 ，y y3 3的大小的大小此时又有两种情况：此时又有两

27、种情况： hh0hh243（1 1） y y2 2 y y3 3 则应继续做则应继续做前进计算，对各点作如下置换：前进计算，对各点作如下置换：l并再次将前进步长倍增，并再次将前进步长倍增， 计算新点及其函数计算新点及其函数值值l x x 3 3 = x = x 2 2+h f+h f（x x 3 3）= y= y3 3l重复上述过程，直到函数出现大重复上述过程，直到函数出现大小小大的情况大的情况为止。为止。yxx2121y yxx3232y hh246C. y y2 2 y y1 1 ( (后退运算）后退运算） 若在步骤（若在步骤（2 2）中，）中， y y2 2 y y1 1 ，则应做后退运

28、算，将步长则应做后退运算，将步长改变为负值改变为负值 h h （h h0 0）置换点号使它自右向左置换点号使它自右向左反向排列。反向排列。yxxyxxyxx323221211313yyy 47l再将后退步长加倍再将后退步长加倍l计算第三后退点（新点）及其函数值计算第三后退点（新点）及其函数值l x x 3 3 = x = x 2 2+h f+h f（x x 3 3）= y= y3 3比较函数值比较函数值f f（x x 3 3），）， f f（x x 2 2）既比较既比较y y2 2 ，y y3 3的大小的大小此时又有两种情况此时又有两种情况hh248（1 1） y y2 2 y y3 3 则应

29、继续做后退则应继续做后退计算，对各点作如下置换：计算，对各点作如下置换：l并再次将并再次将后退后退步长倍增，步长倍增， 计算新点及其函数计算新点及其函数值值l x x 3 3 = x = x 2 2+h f+h f（x x 3 3）= y= y3 3l重复上述过程，直到函数值出现大重复上述过程，直到函数值出现大小小大的情大的情况为止。况为止。取其左右两端点为区间取其左右两端点为区间 x x k k，x x 1 1 a,ba,bhh2yxx2121y yxx3232y 50l例：试用进退法确定函数例：试用进退法确定函数l的一维优化初始搜索区间的一维优化初始搜索区间 a a ， bbl初始点初始点

30、x x 1 1 =0，初始进退距，初始进退距h 0 0 =1 962xxfx51l格点法是一种思路极为简单的一维求优法格点法是一种思路极为简单的一维求优法l设函数设函数f(x)的初始搜索区间的初始搜索区间 a a ， bb，在此区间在此区间内取内取n个内等分点个内等分点x x 1 1，x x 2 2 x x n n ，并计算函数值并计算函数值ly y 1 1，y y 2 2 y y n n l并比较取出最小并比较取出最小y y m m= =minmin（y y i i i=1i=1，2n)2n)l并取并取x x m m左右两相邻点左右两相邻点x x m-1 m-1 ，x x m+1 m+1 为

31、为新区间新区间l判断判断x m+1 m+1- -x x m-1 m-1 精度值精度值 , 成立成立l则则: : x x m m x x* * y y m m y y* * l不不成立成立(x x m-1 m-1 ，x x m+1 m+1 ) )作为新的初始区间继续进作为新的初始区间继续进行行. .52l速度取决于区间缩短率速度取决于区间缩短率l区间缩短率区间缩短率=新区间新区间/旧区间旧区间l格点法每次区间缩短时取内分点数为格点法每次区间缩短时取内分点数为n则则l入入=2/(n+1)lN越多越多,入越小，区间缩短越快，但计算入越小，区间缩短越快，但计算次数越多次数越多53l例题：用格点法求一维目标函数的最优解例题：用格点法求一维目标函数的最优解l已知：初始区间已知：初始区间 a a ， b