信号与系统chap1

1、Signals and Systemsspring 2012龚主前龚主前Email： Textbook:信号与系统信号与系统 ( (第二版第二版) )，奥本海姆著，奥本海姆著，刘树棠译，西安交大出版社刘树棠译，西安交大出版社 Reference: 1、信号与线性系统分析信号与线性系统分析（第（第4 4版），吴版），吴大正编，高等教育出版社大正编，高等教育出版社2、信号与系统信号与系统（第二版）（上、下），（第二版）（上、下），郑君里编，高等教育出版社郑君里编，高等教育出版社 Overview the Course 信号与系统是一门重要的专业基础理论课，信号与系统是一门重要的专业基础理论课，在教

2、学中起着承前启后的作用在教学中起着承前启后的作用 信号与系统的基本概念与分析方法具有广泛信号与系统的基本概念与分析方法具有广泛的应用范围：通信、控制、微电子的应用范围：通信、控制、微电子、机械领机械领域、声音域、声音/ /图像处理领域、甚至其他的专业领图像处理领域、甚至其他的专业领域：生物、化学、地质、经济等。域：生物、化学、地质、经济等。 研究生入学考试课程研究生入学考试课程Overview the Course 在信号方面，本书重点研究确定性信号的分在信号方面，本书重点研究确定性信号的分析和变换析和变换 在系统方面，本书重点研究线性时不变系统在系统方面，本书重点研究线性时不变系统分析分析第

3、一章 信号与系统Signals and Systemsn信号的描述信号的描述n信号的自变量变换信号的自变量变换n基本信号基本信号n系统及其数学模型系统及其数学模型n系统的性质系统的性质本章的基本内容本章的基本内容: :1.0 引言引言 ( Introduction ) 讨论信号与系统的基本概念，建立其讨论信号与系统的基本概念，建立其 相应的数学描述方法。相应的数学描述方法。目的：目的： 1.1 连续时间与离散时间信号连续时间与离散时间信号（Continuous-Time and Discrete-Time Signals）一一. .信号：信号：n信号是用来传递某种消息或信息的物理形式。信号是用

4、来传递某种消息或信息的物理形式。 如铃声信号、红绿灯信号、电报信号等等如铃声信号、红绿灯信号、电报信号等等n信号可以分为确定性信号与随机信号，信号可以分为确定性信号与随机信号， 确定性信号可以表示成一个或几个自变量的确定性信号可以表示成一个或几个自变量的函数。作为信号分析的基础，本课程只研究一维函数。作为信号分析的基础，本课程只研究一维确定性信号。确定性信号。n信号也可以分为连续时间信号与离散时间信号。信号也可以分为连续时间信号与离散时间信号。 连续时间信号的例子：连续时间信号的例子： 模拟信号模拟信号: 幅度连续幅度连续tt 连续时间信号在离散时刻点上的样本可以构成连续时间信号在离散时刻点上

5、的样本可以构成一个离散时间信号。（采样一个离散时间信号。（采样/抽样）抽样）离散时间信号的例子：离散时间信号的例子： 抽样信号抽样信号: 幅度连续幅度连续数字信号数字信号:幅度离散的离幅度离散的离散时间信号（双离散）散时间信号（双离散）tt模拟模拟信号信号抽样抽样信号信号数字数字信号信号采样采样量化量化A/D转换器转换器 信号的描述：信号的描述： 函数表达式或图像函数表达式或图像( ),x t离散时间信号离散时间信号( ),x n连续时间信号连续时间信号二二. 信号的能量与功率：信号的能量与功率：12 , t t212( )ttEx tdt连续时间信号在连续时间信号在 区间的平均功率定义为：区

6、间的平均功率定义为：12 , t t212211( )ttPx tdttt连续时间信号在连续时间信号在 区间的能量定义为：区间的能量定义为：离散时间信号在离散时间信号在 区间的能量定义为区间的能量定义为12 ,n n212( )nn nEx n离散时间信号离散时间信号在在 区间的平均功率为区间的平均功率为12 ,n n212211( )1nn nPx nnn注意区间的样本数目注意区间的样本数目22)()(limnxnxENNN在无限区间内的平均功率可定义为：在无限区间内的平均功率可定义为：NNNnxNP2)(121lim21lim2( )TTTPdtTx t22( )( )limTTTEdtd

7、tx tx t在无限区间上也可以定义信号的总能量：在无限区间上也可以定义信号的总能量：1. 能量信号能量信号信号总能量有限，平均功率必为信号总能量有限，平均功率必为0 即：即：根据无限区间内能量和功率定义，分为三类信号：根据无限区间内能量和功率定义，分为三类信号：,0EP 2. 功率信号功率信号信号平均功率有限，则总能量信号平均功率有限，则总能量无无限。限。 即：即：,0EP 3. 信号的总能量和平均功率都是无限的。信号的总能量和平均功率都是无限的。 即：即：,EP 如果信号是周期信号，如果信号是周期信号，则则()( )x tTx t()( )x nNx n三三. 周期信号与非周期信号：周期信

8、号与非周期信号：或或连续时间周期信号连续时间周期信号离散时间周期信号离散时间周期信号201( )TPx tdtT（以（以T为周期）为周期） 或或21( )2TTPx tdtT1201( )NnPx nN（以（以N为周期）为周期）或或21( )21NnNPx nN 周期信号为周期信号为功率信号功率信号，通常用它，通常用它的平均功率来的平均功率来表征。表征。1.2 自变量变换自变量变换 （Transformations of the Independent Variable)1 由于信号可视为自变量的函数，当自变量改变时，由于信号可视为自变量的函数，当自变量改变时，必然会使信号的特性相应地改变。必

9、然会使信号的特性相应地改变。( )x t0()x tt当当 时，信号向右平移时，信号向右平移00t 0t00t 时，信号向左平移时，信号向左平移0t( )x n0 x nn当当 时，信号向右平移时，信号向右平移00n 0n00n 时，信号向左平移时，信号向左平移0|n1.2.1 时移变换：时移变换：Shift of Signals0 t0tx(t-t0) 0 x(t)t2. 反转变换：反转变换：Reflection of Signals ( )x t()xt信号以信号以 为轴呈镜像对称。为轴呈镜像对称。0t ( )x n()xn与连续时间的情况相同。与连续时间的情况相同。3. 尺度变换：尺度变

10、换： Scaling( )x t()x at1a 时时, 是将是将 在时间上压缩在时间上压缩a倍，倍，()x at( )x t01a 时时, 是将是将 在时间上扩展在时间上扩展1/a倍。倍。()x at( )x t 0 x(t)t0 x(-t)t 0 x(t)t 0 x(at)a1a0 ? 由于离散时间信号的自变量只能取整数值，因由于离散时间信号的自变量只能取整数值，因而尺度变换一般而言只对连续时间信号。而尺度变换一般而言只对连续时间信号。( )x n(2 )xn0 01 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6( )x n2 21 11 12 23 32 2n2 22 2 2 20 01

11、1 2 2 3 3n(2 )xn例如：例如： 显然显然 是从是从 中依次抽出自变量取偶数时中依次抽出自变量取偶数时的各点而构成的。这一过程称为对信号的各点而构成的。这一过程称为对信号 的的抽抽取（取（decimation）。会造成信息丢失。会造成信息丢失。(2 )xn( )x n( )x n综合示例：综合示例： ( )( 32)x txt做法一：做法一：反反- -平平- -尺尺-2 -10t11x(t)-10 12t1x(-t)1x(-t-2)-3-20t-1 0 tx(-3t-2)132 232x txtxtxt 332/332x txtxtxt 0 tx(3t)13213 0 tx3(t-

12、2/3)1231-1 0 tx(-3t-2)132做法二：做法二：尺尺- -平平- -反反做法三：做法三：平平- -尺尺- -反反做法四做法四 ：直接法变量代换直接法变量代换1,20( )1, 0102,1tx ttttt 1,2( 32)0( 32)( 32) 1,0( 32) 10( 32)2,( 32)1txttttt ( )(2)(32)32x tx txtxt-2 -10t11x(t)012t31x(t-2) 0 tx(3t -2)1231-1 0 tx(-3t-2)132然后整理即得然后整理即得显然，最简单的是：先平移显然，最简单的是：先平移如果有如果有 则称该信号是则称该信号是偶

13、信号偶信号。()( )xtx t()( )xnx n（镜像偶对称）（镜像偶对称）1.2.2. 信号的奇偶分解信号的奇偶分解对实信号而言：对实信号而言：如果有如果有 则称该信号为则称该信号为奇信号奇信号 （镜像奇对称）（镜像奇对称）()( )xtx t ()( )xnx n 0 txe(t) 1 1 txo(t) -1 0 任何信号都能分解成一个偶信号与一个奇信号之和。任何信号都能分解成一个偶信号与一个奇信号之和。对实信号有对实信号有：( )( )( )eox tx tx t1( ) ( )()2ex tx txt1( ) ( )()2ox tx txt( )( )( )eox nx nx n1

14、( ) ( )()2ex nx nxn1( ) ( )()2ox nx nxn其中其中其中其中例例. 信号的奇偶分解：信号的奇偶分解： 1-1 0 2 3 tx(t)1 2 0 txe(t) 1 1 txo(t) -1 0 1-1 0 2 3 tx(t)1x(-t)解：反转得解：反转得x(-t)1( ) ( )()2ex tx txt1( ) ( )()2ox tx txt1.3 复指数信号与正弦信号复指数信号与正弦信号 （Exponential and Sinusoidal Signals ）1.3.1. 连续时间复指数信号与正弦信号连续时间复指数信号与正弦信号( )atx tCe其中其中

15、C, a 为复数为复数1. 实指数信号：实指数信号： C，a 为实数为实数, 不失一般性取不失一般性取C=10a 呈单调指数上升。呈单调指数上升。0a 0 0t( )x tc c0a呈单调指数下降。呈单调指数下降。0a ( )x tC是常数。是常数。2. 周期性复指数信号与正弦信号周期性复指数信号与正弦信号:0aj，不失一般性，取，不失一般性，取1C 000( )cossinjtx tetjt( )x t显然是周期的，其周期为：显然是周期的，其周期为：002T欧拉公式欧拉公式cossincos2sin2jjjjjejeeeej0 0正弦信号正弦信号0( )cos()x tAt0022jtjtj

16、jAAe eee其周期为其周期为 , 频率为频率为 ，当，当 时时通常称为直流信号。通常称为直流信号。002T0|00何为谐波？何为谐波？ “谐波”一词起源于声学。 电路里，指电流中频率为基波频率整数倍的正正弦波弦波分量。 电路系统中，谐波产生的根本原因是由于非线性负载形成非正弦的周期性电流。 根据傅立叶分析方法，任何周期性波形均可分解为一个基频正弦波加上许多谐波频率的正弦波。谐波频率是基频的整倍数，例如基频为50Hz，二次谐波为100Hz，三次谐波则为150Hz。 例如荧光灯的电子控制调节器可产生大强度的3 次谐波( 150 赫兹)。 对对 而言，它在一个周期内的能量是而言，它在一个周期内的

17、能量是它的平均功率为：它的平均功率为：0( )jtx te00020001TTjtTEedtdtT1TP 3. 成谐波关系的复指数信号集成谐波关系的复指数信号集:0( )jktkte,0, 1, 2k 0k0 该信号集中的每个信号都是周期的，它们的频率该信号集中的每个信号都是周期的，它们的频率分别分别为为 ，都是，都是 的整数倍，因而称它们是的整数倍，因而称它们是成成谐波关系谐波关系的。的。 当当k取取任何任何整数时，该信号集中的每个信号都是整数时，该信号集中的每个信号都是彼此彼此独立的。只有独立的。只有该信号集中的所有信号才能构成该信号集中的所有信号才能构成一个完备的正交函数集。一个完备的正

18、交函数集。0002T02kTk0T 信号集中信号的基波频率为信号集中信号的基波频率为 ，基波周期为，基波周期为 ， 各次谐波的周期分别为各次谐波的周期分别为 ，它们的公共周期，它们的公共周期是是 。4. 一般复指数信号一般复指数信号:( )atx tCe其中其中 C, a 为复数为复数令令 则则 jCC e0arj00()( )jtjtjrtrtx tC e e eC e e 该信号可看成是振幅按实指数信号规律变化的该信号可看成是振幅按实指数信号规律变化的周期性复指数信号。它的实部与虚部都是振幅呈实周期性复指数信号。它的实部与虚部都是振幅呈实指数规律变化的正弦振荡。指数规律变化的正弦振荡。当当

19、 时，是指数增长的正弦振荡。时，是指数增长的正弦振荡。 时，是指数衰减的正弦振荡。时，是指数衰减的正弦振荡。 时，是等幅的正弦振荡。时，是等幅的正弦振荡。0r 0r 0r 0r 0r 0r 00()( )jtjtjrtrtx tC e e eC e e( )nx nC当当 时，呈单调指数增长时，呈单调指数增长 时，呈单调指数衰减时，呈单调指数衰减 时，呈摆动指数衰减时，呈摆动指数衰减 时，呈摆动指数增长时，呈摆动指数增长10110 1 二二. 离散时间复指数序列与正弦序列离散时间复指数序列与正弦序列( )nx nC,C 一般为复数一般为复数1. 实指数序列：实指数序列： 均为实数均为实数, 不

20、失一般性取不失一般性取C=1,C10110 1 2. 正弦序列：正弦序列：其中其中 为实数。为实数。00( )cos()x nAn( )cos(2/12)x nn( )cos( /6)x nn 正弦序列不一定是周期的正弦序列不一定是周期的，这是与连续时间正弦，这是与连续时间正弦信号的重大区别。信号的重大区别。1( )coscos2cos(12)(12)666nnx nmnmx nm0, 1, 2m 离散时间序列的自变量仅能取整数，显然它不是周期序列离散时间序列的自变量仅能取整数，显然它不是周期序列例如例如3. 一般复指数序列：一般复指数序列：( )nx nCjCC e0je0()( )njnx

21、 nCe00cos()sin()nCnjn令令则则 其实部与虚部都是幅度按实指数规律变化的正弦其实部与虚部都是幅度按实指数规律变化的正弦序列。序列。 1. 离散时间复指数序列离散时间复指数序列 不一定是周期不一定是周期性的，要具有周期性，必须具备一定条件。性的，要具有周期性，必须具备一定条件。 0( )jnx ne()( )x nNx n0000()jn NjnjNjneeee01jNe即即02Nm于是有于是有02mN三三. .离散时间复指数序列的周期性离散时间复指数序列的周期性设设 则有：则有： 表明表明只有在只有在 与与 的比值是一个有理数时的比值是一个有理数时， 才具有周期性才具有周期性

22、。020jne 在满足周期性要求的情况下，总能找到互为质数在满足周期性要求的情况下，总能找到互为质数的两个正整数的两个正整数 m, N 使得：使得：02mN（m与与N无公因子）无公因子） 此时此时 即为该序列的周期即为该序列的周期, ,因此该序列的因此该序列的频率频率为为02mN02Nm02mN02T基波周期基波周期基波频率基波频率2N 例例 判断周期性判断周期性, ,求周期求周期: :23( )cos5nx n1( )cos,3nx n02T 离散时间周期性复指数序列也可以构成一个成谐离散时间周期性复指数序列也可以构成一个成谐波关系的信号集。波关系的信号集。2( )jknNkne0, 1,

23、2k 称为直流分量，称为直流分量， 称为基波分量。称为基波分量。0k 1k 称为二次谐波分量等等。称为二次谐波分量等等。2k 每个谐波分量的频率都是每个谐波分量的频率都是 的整数倍。的整数倍。2N 该信号集中的每一个序列都是以该信号集中的每一个序列都是以N为周期的为周期的, N是它们的基波周期。是它们的基波周期。 特别值得指出的是：特别值得指出的是：该信号集中的所有序列并不该信号集中的所有序列并不是全部独立的。是全部独立的。( )( )k Nknn 这表明：这表明：该信号集中只有该信号集中只有N个序列是独立的个序列是独立的。即。即当当k 取相连的取相连的N个整数时所对应的各个谐波才是彼此个整数

24、时所对应的各个谐波才是彼此独立的。因此，独立的。因此，由由N个这样的独立谐波分量就能构成个这样的独立谐波分量就能构成一个完备的正交函数集一个完备的正交函数集。 显然有：显然有：这是与连续时间的情况有重大区别的。这是与连续时间的情况有重大区别的。21( )NjknNNkkxnC e 对对 ，当，当 时，对应的序列振荡频率时，对应的序列振荡频率越来越高不会发生逆转。越来越高不会发生逆转。0( )jtx te0 而对而对 ， 当当 时，只要是时，只要是 变化变化 ，如如 ，则由于，则由于 ，总是会有，总是会有 。这表明：。这表明：离散时间序列的有效频率离散时间序列的有效频率范围只有范围只有 区间。区

25、间。0jne002002 21jne00jnjnee22. 信号信号 和和 的比较的比较n 不同，信号不同不同，信号不同n对任何对任何 , ,信号都是信号都是周期性的周期性的n基波频率基波频率n基波周期：基波周期：Tn频差频差 的整数倍时，的整数倍时，信号相同信号相同n仅当仅当 为有理数为有理数 时，信号是周期的时，信号是周期的n基波频率基波频率n基波周期：基波周期：N2002Nm02T0200jte0jne3.一一. 离散时间单位脉冲与单位阶跃序列离散时间单位脉冲与单位阶跃序列1. 单位脉冲序列单位脉冲序列( )n:1.4 单位冲激与单位阶跃单位冲激与单位阶跃（The Unit Impuls

26、e and Unit Step Functions）( )n10n00n定义定义( )n1n0 ( )n具有提取序列具有提取序列 中某一点的样值的作用。中某一点的样值的作用。( )x n( ) ( )(0) ( )x nnxn000( ) ()() ()x nnnx nnn与与 之间的关系：之间的关系：2. 单位阶跃序列单位阶跃序列 :( )u n，定义定义( )u n 100n 0n ，( )n( )u n( )( )(1)nu nu n一阶差分一阶差分( )u nn10( )( )nku nk迭分迭分100n 0n 1.单位阶跃单位阶跃( )u t( )u t 10，0t 0t 10( )

27、u tt2. 单位冲激单位冲激( ) t二二. 连续时间单位阶跃与单位冲激函数连续时间单位阶跃与单位冲激函数定义：定义：物理含义：物理含义：t=0时刻加入激励，时刻加入激励，作用：对信号取单边作用：对信号取单边)(sin)(1ttutf 1ftt0这里先给出极限定义这里先给出极限定义即即 可视为一个面积始终为可视为一个面积始终为1的矩形，在其宽度的矩形，在其宽度趋于零时的趋于零时的极限极限。矩形面积称为。矩形面积称为冲激强度冲激强度。 的的冲激强度为冲激强度为1。用原点处高度为。用原点处高度为1的箭头表示其图形的箭头表示其图形显然显然首先定义首先定义 如图所示如图所示:( )ut10( )ut

28、t0lim( )( )utu t( )( )duttdt( ) t01t0( ) lim( )tt( ) t( )( )du ttdt( )( )tu td ( ) t10( ) tt显然显然再定义再定义 10( ) tt00()tt0tt1( ) t也具有提取连续时间信号样本的作用。也具有提取连续时间信号样本的作用。( ) ( )(0) ( )x ttxt狄拉克定义：狄拉克定义：( )0,0( )1ttt dt)()(tt偶函数偶函数:000( ) ()( ) ()x tttx ttt( )0 ( )0ttt例例性质性质1 1性质性质2 2( )0( )0tt dtt dt1()( )|at

29、ta性质性质4 4( ) ( )(0)t x t dtx00( ) ()( )t x tt dtx t性质性质3 3再考虑到再考虑到(t) 的偶函数性质，讨论的偶函数性质，讨论 a0 情形情形1()( )atta0,a 简单证明：若简单证明：若111()() ()( ) ( )at dtat d att d taaa1()(| )( )|ata ttadttdt)()(21dttds)(21)(t010)(t t00 ts(t)0 t求导求导t 0 3. 单位冲激偶单位冲激偶定义：定义：形成过程：形成过程：为奇函数为奇函数0)(t( ) ( )(0)t x t dtx 证明：证明： ( ) (

30、 )( )( )( ) ( )x ttx ttx tt (0) ( )( )( )(0) ( )xtx ttxt(0)( )( )( )(0) ( )xtx ttxt( ) ( )( ) (0)( ) (0)t x tt xt x利用全导数可证明单位冲激偶性质单位冲激偶性质i)()( )tt ii)iii)()()(tututG)()()(001ttuttutGG(t) 0 tG1(t) 0 t0 t0+ t4、单位矩形脉冲、单位矩形脉冲用阶跃表示矩形脉冲用阶跃表示矩形脉冲作用：对信号加窗作用：对信号加窗5、单位斜坡函数、单位斜坡函数r(t)t1 1 000)(ttttr0dttdrtu)()

31、( )( )tr tud( )( )r ttu t即即21tttdt dtttet)(dttett2313522111)2(dtttt 00()1 12tttttettdtee 解：解： 0例例：化简：化简24t2 4(2),2(4)(2)(2)4(2),2ttttttt 21(4) 4(2)4(2) (2)(2)4ttttt分段函数的求导分段函数的求导在间断点在间断点 ti 的导数为的导数为( )|()itiif tJtt其中其中Ji 为间断点处的为间断点处的跳跃度跳跃度，即，即()()iiiJf tf t方法一方法一：分段区间求导间断点求导分段区间求导间断点求导方法二方法二：写成：写成闭合

32、形式求导闭合形式求导例：函数例：函数x (t)如图所示，求其导数如图所示，求其导数X(t)X (t)由方法一得由方法一得2( )(2) ( )(3)3x tt u tu t解：方法二解：方法二 改写为闭合形式改写为闭合形式22( )(2) ( )(3)(2) ( )(3)3322 ( )(3)(2) ( )(3)3322 ( )(3)2 ( )2 (3)3 (3)332 ( )(3)2 ( )4 (3)3x ttu tu ttu tu tu tu ttttu tu ttttu tu ttt0,0,3( )22,033ttx ttt 求导得求导得输入信号与输出响应都是连续时间信号的系统。输入信号

33、与输出响应都是连续时间信号的系统。连续时间系统连续时间系统( )x t( )y t1.5 连续时间与离散时间系统连续时间与离散时间系统 一一. 系统系统（Continuous-Time and Discrete-Time Systems）连续时间系统：连续时间系统： 系统是非常广泛的概念。通常将若干相互依赖，系统是非常广泛的概念。通常将若干相互依赖，相互作用的事物所组成的具有一定功能的整体称为相互作用的事物所组成的具有一定功能的整体称为系统。它可以是物理系统，也可以是非物理系统。系统。它可以是物理系统，也可以是非物理系统。系统分析的基本思想：系统分析的基本思想：1. 对系统建立数学模型。对系统

34、建立数学模型。通常表现为描述输入输出关系的方程。通常表现为描述输入输出关系的方程。2. 建立求解这些数学模型的方法。建立求解这些数学模型的方法。离散时间系统离散时间系统( )x n( )y n离散时间系统：离散时间系统：输入信号与输出响应都是离散时间信号的系统。输入信号与输出响应都是离散时间信号的系统。2. 并联并联 ( parallel interconnection )( )x t( )y t1. 级联级联 (cascade interconnection)( )x t( )y t二二. . 系统的互联系统的互联 （Interconnection of Systems）可以将若干个简单子系

35、统互联起来而实现一个相对可以将若干个简单子系统互联起来而实现一个相对复杂的系统。复杂的系统。3. 反馈联结反馈联结 ( Feedback interconnection )( )x t( )y t工程实际中也经常将级联、并联混合使用，如：工程实际中也经常将级联、并联混合使用，如：III 在任何时刻，系统的输出都只与该时刻的输入在任何时刻，系统的输出都只与该时刻的输入有关，则称该系统是有关，则称该系统是无记忆系统无记忆系统。否则就是。否则就是记忆系记忆系统统。 例如，电阻例如，电阻R R 就是一个无记忆系统就是一个无记忆系统 1.6 系统的基本性质系统的基本性质 ( Basic System P

36、roperties ) 1. 记忆系统与无记忆系统记忆系统与无记忆系统 (memory systems and memoryless systems)记忆系统举例：记忆系统举例：( )(1)y tx t含电容或电感的电路，以及含电容或电感的电路，以及( )( )nky nx k（累加器）（累加器）( )( )(1)y nx nx n（差分器）（差分器） 在无记忆系统中有一种特例，即任何时刻系统在无记忆系统中有一种特例，即任何时刻系统的输出响应与输入信号都相同，即的输出响应与输入信号都相同，即 , 或或 。这样的无记忆系统称为。这样的无记忆系统称为恒等系统恒等系统 ( identity syst

37、em )。 ( )( )y tx t( )( )y nx n（延时器）（延时器）2. 可逆性与逆系统可逆性与逆系统 (Inveritibility and inverse systems) 一个系统，如果输入不同，输出也不同，即一个系统，如果输入不同，输出也不同，即输入与输出是一一对应的，则称该系统是输入与输出是一一对应的，则称该系统是可逆系可逆系统统。 如果一个系统对不同的输入能产生相同的输如果一个系统对不同的输入能产生相同的输出，则系统是不可逆的，称为出，则系统是不可逆的，称为不可逆系统不可逆系统。 如果一个可逆系统与另一个系统级联后构成一如果一个可逆系统与另一个系统级联后构成一个恒等个恒

38、等系统，则称后者是前者的系统，则称后者是前者的逆系统逆系统。( )x t( )y t( )x t例如例如:1( )( )2y tx t 是可逆系统，其逆系统是是可逆系统，其逆系统是:( )2 ( )y tx t( )( )nky nx k是可逆系统，其逆系统是是可逆系统，其逆系统是:( )( )(1)y nx nx n2( )( )y tx t是不可逆系统，是不可逆系统，因为有两个不同的因为有两个不同的( )x t( )x t( )( ) (1)y nx n x n显然也是不可逆的显然也是不可逆的 还原为还原为 ，即不同输入可以得到相同输出。，即不同输入可以得到相同输出。( )(2 )y nx

39、n是不可逆系统，是不可逆系统，因为无法从因为无法从 (2 )xn( )x n( )( )dx ty tdt不可逆；不可逆；( )0y t 调制或编码过程必须是可逆的，其逆系统是解调调制或编码过程必须是可逆的，其逆系统是解调器或解码器。器或解码器。而而输入输入 和和 能产生相同的输出。能产生相同的输出。 ( )( )?ty txd也是不可逆系统。也是不可逆系统。y(t)=x(2t)? 如果一个系统任何时刻的输出都只与该时刻的如果一个系统任何时刻的输出都只与该时刻的输入以及历史输入有关，而和该时刻以后的输入无输入以及历史输入有关，而和该时刻以后的输入无关就称该系统是关就称该系统是因果的因果的。否则

40、就是。否则就是非因果的非因果的。 简言之，因果系统要求输出在输入之后。简言之，因果系统要求输出在输入之后。3. 因果性因果性 (causality)( )()y nxn0n 时时 决定于以后时刻的输入。决定于以后时刻的输入。( )y n( )( )(1);y nx nx n( )(2 )y txt是非因果系统。是非因果系统。RLC电路电路, , ,都是因果系统。都是因果系统。 ( )( )(1)y nx nx n( )( )nky nx k4. 稳定性稳定性 ( stability ) 一个系统一个系统, ,当输入有界时，输出也是有界的，则当输入有界时，输出也是有界的，则该系统是该系统是稳定系

41、统稳定系统。具有。具有BIBO稳定性。稳定性。 有界输入可能产生无界输出，则不稳定。有界输入可能产生无界输出，则不稳定。例如：例如：RC电路都是稳定系统；电路都是稳定系统； 也是稳定系统。也是稳定系统。( )(1)y nx n( )( ),nky nx k( )( ),( )( )ty txdy ttx t都是不稳定系统。都是不稳定系统。 工程应用中总希望所设计的系统是稳定的。因此工程应用中总希望所设计的系统是稳定的。因此稳定性对系统来说是非常重要的。稳定性对系统来说是非常重要的。 如果一个系统当输入信号有一个时移时，输出响如果一个系统当输入信号有一个时移时，输出响应也产生同样的时移。除此之外

42、，输出响应无任何应也产生同样的时移。除此之外，输出响应无任何其它变化，则称该系统是其它变化，则称该系统是时不变的时不变的。否则就是否则就是时变时变的的。 5. 时不变性时不变性 ( Time-invariance )即：若即：若 ( )( ),x ty t00()()x tty tt则系统是时不变的。则系统是时不变的。检验一个系统时不变性的步骤检验一个系统时不变性的步骤: :1. 令输入为令输入为 ，根据系统的描述，确定此时的输，根据系统的描述，确定此时的输出出 。2. 将输入信号变为将输入信号变为 ，再根据系统的描述确定输，再根据系统的描述确定输出出 。3. 令令 根据自变量变换，检验根据自

43、变量变换，检验 是否等于是否等于 。1( )x t1( )y t210( )(),x tx tt2( )y t2( )y t10()y tt2( )x t当当 时，时，( )(1) ( )y nnx n1( )( )x nx n11( )(1)( )y nnx n2( )( )x nx n时，时，22( )(1)( )y nnx n而而100102()(1)()( )y nnnnx nny n所以系统是时变的。所以系统是时变的。当当令令210( )()x nx nn则有：则有：210( )(1)()y nnx nn如如当当 时，时，又如：又如：( )()y txt1( )( )x tx t11

44、( )()y txt210( )()x tx tt22( )()y txt因此该系统是时变的。因此该系统是时变的。1010102() ()()( )y ttxttx tty t当当 时，时，2( )( )x tx t令令则有：则有：210( )()y txtt 而而直观判断方法：直观判断方法： 若若x(t)/ x(n)前出现前出现变系数变系数，或有，或有反转反转、展缩展缩变变换，则系统为换，则系统为时变系统时变系统。6. 线性线性（Linearity） 11( )( )x ty t22( )( )x ty t1212( )( )( )( )ax tbx tay tby t 其中其中a,b是常数

45、是常数（包括复数），满足此关系的系统是线性的。（包括复数），满足此关系的系统是线性的。若若线性包含线性包含可加性可加性和和齐次性齐次性： 11221212( )( )( )( )( )( )( )( )x ty tx ty tx tx ty ty t( )( )( )( )x ty tax tay t因为，若输入为因为，若输入为 则则12( )( )x tx t2212121( )( )( ) ( )( )y tx tx tx tx t22212121212( )( )( )( )( )( )( )( )xtxtxtxtx tx tx tx t满足齐次性但不满足可加性。满足齐次性但不满足可加性。21( ) ( )( )y tx tx t 例：例： , ,满足可加性，但不满足