课堂导学(2.2.2反证法)

1、课堂导学三点剖析一，用反证法证明数学中的基本命题【例1】求证:质数有无穷多.证明：如果质数的个数有限，那么我们可以将全体质数列举如下：Pl,P2,，Pk,令q=Pip2Pk+1.q总是有质因数的，但我们可证明任何一个pi(iwik都除不尽q.假若不然，由Pi除尽q,及p除尽p1P2pk可得到Pi除尽(q-P1P2pk),即Pi除尽1,这是不可能的.故任何一个Pi都除不尽q.这说明q有不同于P1,P2,P的质因数.这与只有P1,P2,，Pk是全体质数的假定相矛盾.所以质数有无穷多.温馨提示用反证法证明结论是B的命题，其思路是：假定B不成立，则B的反面成立，然后从B的反面成立的假定出发，利用一些公

2、理、定理、定义等作出一系列正确的推理，最后推出矛盾的结果，若同时承认这个结果与题设条件，则与学过的公理、定理或定义矛盾，这矛盾只能来自“B的反面成立”这个假设，因此B必定成立.可见反证法的步骤是：否定结论t推出矛盾T否定假设T肯定结论，其中推出矛盾是证明的关键.二，某些数学问题的证明可用反证法例2已知a、b、cC(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同日中大于v.，一一1证明一：假设三式同时大于1,4即(1-a)b>工，(1-b)c>)，(1-c)a>】，三式相乘，得：(1-a)a(1-b)b(1-c)c>.444641-aa21又(1-a)a&

3、lt;4)=.同理，(1-b)bwl,(1-c)c.以上三式相乘得44(1-a)a(1-b)b(1-c)c,这与(1-a)a(1-b)b(1-c)c>矛盾，故结论得证.证明二：假设三式同时大于1.4,0<a<1,1-a>0.(1-b)c1(1-c)a1何理，3L>>22,22三式相加得>，矛盾，22，原命题成立.温馨提示与原命题相反的判断，如是”的反面是不是“，有”的反面是没有“，等”的反面是不等”，成立”的反面是不成立“，宥限”的反面是无限”，以上这些都是相互否定的字眼，较容易找.应注意以下的否定：都是”的反面为不都是”，即至少有一个不是"

4、（不是都不是”）；都有”的反面为不都有"，即至少一个没有”（不是都没有”）；都不是”的反面为部分是或全部是“，即至少有一个是”（不是都是"）；都没有”的反面为部分有或全部有”，即至少一个有”（不是都有”）.三,综合应用【例3】已知平面M内有两相交直线a,b（交点为P）和平面N平行.求证:平面M/平面N.证明：假设平面M不平行平面N,则M和N一定相交，设交线为c.a/平面N,.a/c.同理b/c.则过c外一点P有两条直线与c平行.这与公理过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行”相矛盾.所以假设不成立.所以平面M/平面N.温馨提示本结论是空间两平面平行的判定定理，推出的矛盾

5、与几何公理相矛盾.各个击破类题演练1证明：1,J3,2不能为同一等差数列的三项.证明：假设1,3,2为某一等差数列的三项，设这一等差数列的公差为d,则1=.3-md,2=3+nd.其中m,n为某两个正整数，由上面两式消去d得2m+n=（m+n）J3,因为n+2m为有理数，而（m+n）43为无理数，所以n+2mt（n+m）,3,因此假设不成立，即1,J3,2不能为同一等差数列的三项.变式提升1a、b是平面内的两条直线，求证：它们最多有一个交点证明：假设直线a、b至少有两个交点A和B,则通过不同的两点有两条直线，这就与公理经过两点有且只有一条直线”相矛盾，所以平面内的两条直线最多有一个交点类题演练

6、2证明：方程2x=3有且只有一个根.证明：丁2x=3,x=log23,这说明方程有一个根.下面用反证法证明方程2x=3的根是唯一的.假设方程2x=3有两个根bi、b2（bwb）.则2bl=3,2b=3.两式相除得2bl-b2=1.如果bi-b2>0,则2blb>1,这与2"-b2=1相矛盾.如果bi-b2<0,则2b1-b2<1,这也与2bl-b2=1相矛盾.因此b-b2=0，则b1=b2.这就同bw2相矛盾.如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾.故2x=3有且只有一个根.变式提升2反证法证明：已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数.证明：假设a不是偶数，则a为奇数.设a=2m+1(m为整数，贝Ua2=4m2+4m+1.4(m2+m)是偶数,，4m2+4m+1为奇数，即a2为奇数与已知矛盾.a一定是偶数.类题演练3直线a/平面M,平面N过a且和平面M相交于直线b,求证allb.证明：假设。D/卜a，b共面，则它们相交，设交点为A.b点A也在平面M内(点A在直线b上).又A点在直线a上，故a与平面M有公共点A,这与题设a/平面M相矛盾.假设aD/b不正确.，a/b.变式提升3已知awQ证明关于x的方程ax=b有且只有一个根.b证明：由于awQ因此方程至少有一个根x=-a如果方程不只一个根