新人教版九年级数学上册教案

1、新人教版九年级数学上册教案第二十一章一元二次方程21 1 一元二次方程1 通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2bx + c=0(a#0),分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念2了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解重点通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2 bxc=0(a ?0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题难点一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别活动 1 复习旧知1 什么是方程？你能举一个方程的例子吗？2下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式(1)2x

2、-1 (2)mx + n = 0 (3)1x +1 = 0 (4)x2 =13.下列哪个实数是方程2x1=3的解？并给出方程的解的概念.A 0B 1C 2D 3活动 2 探究新知根据题意列方程1 教材第2 页 问题 1.提出问题：(1) 正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？(2) 本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？(3) 这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程2教材第2 页 问题 2.提出问题：(1) 本题中有哪些量？由这些量能够得到什么？(2) 比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有5 个队参赛，每个队比赛几场？一共有20 场

3、比赛吗？如果不是20 场比赛，那么究竟比赛多少场？(3) 如果有 x 个队参赛，一共比赛多少场呢？3一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数提出问题：本题需要设两个未知数吗？如果能够设一个未知数，那么方程应该怎么列？4一个正方形的面积的2 倍等于25，这个正方形的边长是多少？活动 3 归纳概念提出问题：(1) 上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？(2) 类比一元一次方程，我们能够给这个类方程取一个什么名字？(3) 归纳一元二次方程的概念1 一元二次方程：只含有个未知数，并且未知数的次数是，这样的 方程，叫做一元二次方程2 . 一元二次方程的一般形式是 ax2 + bx + c

4、 = 0(a #0),其中ax2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项提出问题：(1) 一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？(2)为什么要限制a#0, b, c能够为0吗？(3)2x2 x+1=0的一次项系数是1吗？为什么？3一元二次方程的解( 根 ) ：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解( 根 ) 活动 4 例题与练习例 1 在下列方程中，属于一元二次方程的是(1)4x2 =81; (2)2x2 -1 = 3y; (3)1x2 +1x = 2;(4)2x2 -2x(x +7) =0.总结：判断一个方程是否是一

5、元二次方程的依据：(1) 整式方程；(2)只含有一个未知数；(3) 含有未知数的项的次数是2. 注意有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系数为0，这样的方程不是一元二次方程例 2 教材第 3 页 例题例 3 以 2 为根的一元二次方程是()A. x2+2x-1=0 B. x2-x-2 = 0C. x2 + x+2 = 0 D. x2 + x 2=0总结：判断一个数是否为方程的解，能够将这个数代入方程，判断方程左、右两边的值是否相等练习：1.若(a1)x2+3ax1 = 0是关于x的一元二次方程，那么a的取值范围是 2将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和

6、常数项(1)4x2 =81; (2)(3x -2)(x +1)=8x 3.3教材第4 页 练习第 2 题4.若一4是关于x的一元二次方程2x2+7xk=0的一个根，则k的值为 答案：1.a?1; 2.略；3.略；4.k=4.活动 5 课堂小结与作业布置课堂小结我们学习了一元二次方程的哪些知识？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么限制？你能解一元二次方程吗？作业布置教材第4页 习题21.1第17题.21.2 解一元二次方程21 2.1 配方法 (3 课时 )第 1 课时 直接开平方法理解一元二次方程“降次”转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题提出问题，列出缺一次项的一元二次方程a

7、x2 + c = 0,根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex+f)2 +c=0型的一元二次方程重点使用开平方法解形如(x+m)2= n(nn。)的方程，领会降次一一转化的 数学思想难点通过根据平方根的意义解形如x2= n的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x + m)2= n(n >0)的方程.一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题 1：填空(1)x2 -8x+= (x -)2; (2)9x2 +12x+= (3x +)2; (3)x2 +px+= (x +)2.解：根据完全平方公式可得：(1)164； (2)42； (3)(p2)2p2.问题2：当前我们

8、都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？二、探索新知上面我们已经讲了 x2 = 9,根据平方根的意义，直接开平方得 x=±3, 如果x换元为2t + 1,即(2t +1)2=9,能否也用直接开平方的方法求 解呢？( 学生分组讨论)老师点评：回答是肯定的，把 2t + 1变为上面的x,那么2t+1=±3即 2t +1 = 3, 2t+ 1 = 3方程的两根为t1 = 1, t2 = 2例 1 解方程：(1)x2 +4x + 4=1 (2)x2 +6x + 9=2分析： (1)x2 4x 4

9、 是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x 2)2 = 1.(2)由已知，得：(x+3)2=2直接开平方，得：x+3=±2即 x+3=2, x + 3= 2所以，方程的两根 x1 = 3+2, x2 = - 3 2解：略例2市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提升到14.4 m2,求每年人均住房面积增长率.分析：设每年人均住房面积增长率为x, 一年后人均住房面积就应该是10+10x= 10(1+x);二年后人均住房面积就应该是 10(1 + x) + 10(1 + x)x =10(1 +x)2解：设每年人均住房面积增长率为x，则：10(1+x)2 = 14.4(1 +x

10、)2 =1.44直接开平方，得1 + x=± 1.2即 1 + x=1.2 , 1 + x= 1.2所以，方程的两根是 x1 = 0.2=20% x2 = 2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，所以， x2= 2.2应舍去.所以，每年人均住房面积增长率应为20%.( 学生小结) 老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程我们把这种思想称为“降次转化思想”三、巩固练习教材第 6 页 练习四、课堂小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如 x2=p(pA0)的方程，那么 x= ±P转化为应用直接开平方法

11、解形如(mx+ n)2 = p(p A0)的方程，那 么mx+ n=±p,达到降次转化之目的.若 p<0则方程无解.五、作业布置教材第 16 页 复习巩固1. 第 2 课时 配方法的基本形式理解间接即通过变形使用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题通过复习可直接化成x2 = p(p A0)或(mx+n)2 =p(p >0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤重点讲清直接降次有困难，如 x2 + 6x 16 = 0的一元二次方程的解题步骤.难点将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧一、复习引入(

12、 学生活动 ) 请同学们解下列方程：(1)3x2 1 = 5 (2)4(x 1)2 9 = 0 (3)4x2 +16x+16=9 (4)4x2 + 16x= 7老师点评：上面的方程都能化成 x2 = p(mx+ n)2 =p(p A0)的形式，那么可得x= ± P 或 mx+ n= ± p(p >0).如：4x2+16x+16=(2x + 4)2 ,你能把 4x2+16x= 7化成(2x + 4)2 =9吗？二、探索新知列出下面问题的方程并回答：(1) 列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？(2) 能否直接用上面前三个方程的解法呢？问题：要使一块矩

13、形场地的长比宽多 6 m,并且面积为16 m2,求场地的长和宽各是多少？(1) 列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x 的完全平方式而后二个不具有此特征(2) 不能既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x2 + 6x16=0 移项-x2+6x=16两边加(6/2)2 使左边配成x2+2bx+b2的形式-x2+6x+32=16+ 9左边写成平方形式-(x + 3)2 = 25降次-x+3=±5即x+3 = 5或x+3 =5解一次方程-x1 = 2, x2 = 8能够验证：x1=2, x

14、2 = 8都是方程的根，但场地的宽不能是负值， 所以场地的宽为2 m,长为8 m.像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法能够看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解例 1 用配方法解下列关于x 的方程：(1)x2 -8x+1=0 (2)x2 -2x-12=0分析： (1) 显然方程的左边不是一个完全平方式，所以，要按前面的方法化为完全平方式；(2) 同上解：略三、巩固练习教材第 9 页 练习 1， 2.(1)(2) 四、课堂小结本节课应掌握：左边不含有x 的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，能够

15、直接降次解方程的方程五、作业布置教材第 17页 复习巩固2， 3.(1)(2) 第 3课时 配方法的灵活使用了解配方法的概念，掌握使用配方法解一元二次方程的步骤通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后使用配方法解决一些具体题目重点讲清配方法的解题步骤难点对于用配方法解二次项系数为1 的一元二次方程，通常把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方；对于二次项系数不为1 的一元二次方程，要先化二次项系数为1 ，再用配方法求解一、复习引入( 学生活动) 解下列方程：(1)x2 4x+7 = 0 (2)2x2 8x+1 = 0老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含

16、有x 的完全平方形式的一元二次方程以及不能够直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也能够用上面的方法实行解题解：略(2) 与 (1) 有何关联？二、探索新知讨论：配方法解一元二次方程的一般步骤：(1) 先将已知方程化为一般形式；(2) 化二次项系数为1；(3) 常数项移到右边；(4) 方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x+p)2 =q的形式，如果q>0,方程的根是x= p士q;如 果q<0,方程无实根.例 1 解下列方程：(1)2x2 +1 = 3x (2)3x2 6x+4 = 0 (3)(1 +x)2+2(1 +x) 4= 0分析：

17、我们已经介绍了配方法，所以，我们解这些方程就能够用配方法来完成，即配一个含有x 的完全平方式解：略三、巩固练习教材第 9 页 练习 2.(3)(4)(5)(6)四、课堂小结本节课应掌握：1 配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤2配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不但仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到五、作业布置教材第 17 页 复习巩固3.(3)(4) 补充：(1)已知 x2 + y2+z2 2x+4y6z+14 = 0,求 x + y+z 的值.2 2) 求证：无论x， y 取任何

18、实数，多项式x2 y2 2x 4y 16的值总是正数 .21.2.2 公式法理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入 ax2 + bx + c = 0(a丰0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程.重点 求根公式的推导和公式法的应用难点一元二次方程求根公式的推导一、复习引入1 前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程(1)x2 =4 (2)(x 2)2 =7提问 1 这种解法的( 理论 ) 依据是什么？提问 2 这种解法的局限性是什么？( 只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次

19、方程有效，不能实施于一般形式的二次方程)2面对这种局限性，怎么办？( 使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式 )(学生活动)用配方法解方程2x2+3 = 7x( 老师点评 ) 略总结用配方法解一元二次方程的步骤( 学生总结，老师点评) (1) 先将已知方程化为一般形式；(2) 化二次项系数为1；(3) 常数项移到右边；(4) 方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x+p)2 =q的形式，如果q>0,方程的根是x= p士q;如 果q<0,方程无实根.二、探索新知用配方法解方程：(1)ax2 -7x+3= 0 (2)ax2

20、 +bx + 3=0如果这个一元二次方程是一般形式 ax2+bx + c = 0(a ?0),你能否用上 面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题问题：已知ax2 + bx + c = 0(a #0),试推导它的两个根 x1 = b+ b2 4ac2a, x2= bb24ac2a(这个方程一定有解吗？什么情况下有 解？ )分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a， b， c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就能够一直推下去解：移项，得：ax2+bx= c二次项系数化为1,得x2+bax= - ca配方，得：x2 + bax+ (b2a)2 =-ca+ (b2a)

21、2即(x + b2a)2 = b2-4ac4a24a2>0,当 b2-4ac>0 时，b2-4ac4a2>0. (x + b2a)2 = (b2 4ac2a)2直接开平方，得：x+ b2a= ± b2 4ac2a即 x= b± b2 4ac2a. .x1 = b+ b24ac2a, x2= b b2 4ac2a由上可知，一元二次方程 ax2+bx + c = 0(a #0)的根由方程的系数a, b， c 而定，所以：(1)解一元二次方程时，能够先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2 4ac>0时，将a, b, c代入式子x= b±

22、 b24ac2a就得到方 程的根(2) 这个式子叫做一元二次方程的求根公式(3) 利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法公式的理解(4) 由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根例 1 用公式法解下列方程：(1)2x2 x1=0 (2)x2 +1.5 = 3x(3)x2 -2x+12=0 (4)4x2 -3x + 2=0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可补：(5)(x -2)(3x -5) =0三、巩固练习教材第 12 页 练习 1.(1)(3)(5) 或 (2)(4)(6) 四、课堂小结本节课应掌握：(1) 求根公式的概念及其推导过程；(2) 公式法

23、的概念；(3) 应用公式法解一元二次方程的步骤：1) 将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0; 2)找出系数a, b, c,注意各项的系数 包括符号；3)计算b24ac,若结果为负数，方程无解；4)若结果为非 负数，代入求根公式，算出结果(4) 初步了解一元二次方程根的情况五、作业布置教材第 17 页 习题 4， 5.21.2.3 因式分解法掌握用因式分解法解一元二次方程通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题重点用因式分解法解一元二次方程难点让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式

24、分解法使解题更简便一、复习引入( 学生活动 ) 解下列方程：(1)2x2 +x=0(用配方法)(2)3x2 +6x=0(用公式法)老师点评：(1) 配方法将方程两边同除以2 后， x 前面的系数应为12，12的一半应为14，所以，应加上(14)2 ，同时减去(14)2.(2) 直接用公式求解二、探索新知( 学生活动) 请同学们口答下面各题( 老师提问)(1) 上面两个方程中有没有常数项？(2) 等式左边的各项有没有共同因式？( 学生先答，老师解答) 上面两个方程中都没有常数项；左边都能够因式分解所以，上面两个方程都能够写成：(1)x(2x +1)=0 (2)3x(x +2)=0因为两个因式乘积

25、要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是(1)x=0或 2x+1 = 0,所以 x1=0, x2=12.(2)3x = 0或x + 2=0,所以x1=0, x2 = 2.(以上解法是如何实现降次的？ )所以，我们能够发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0 的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法例 1 解方程：(1)10x 4.9x2 =0 (2)x(x -2) +x-2=0 (3)5x2 -2x-14 = x2-2x + 34 (x 1)2= (32x)2思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？

26、解：略 ( 方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积)练习：下面一元二次方程解法中，准确的是()A. (x3)(x 5)=10X2,.x3=10, x 5 = 2, /.x1 = 13, x2=7B. (2 5x)+(5x2)2 =0,.(5x 2)(5x 3) =0, /.x1 = 25, x2 = 35C. (x+2)2+4x=0, /.x1 = 2, x2= 2D. x2 = x,两边同除以x,得x=1三、巩固练习教材第 14 页 练习 1， 2.四、课堂小结本节课要掌握：(1) 用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用(2) 因式分解法要使方程一边为两个一

27、次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.五、作业布置教材第 17 页 习题6， 8， 10， 11.21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1 掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用2培养学生分析、观察、归纳的水平和推理论证的水平3渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的理解事物的规律4培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神重点根与系数的关系及其推导难点准确理解根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系一、复习引入1.已知方程x2 ax 3a =0的一个根是6,则求a及另一个根的值.2由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系其实

28、我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系？3.由求根公式可知，一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a #0)的两根为x1 =b+b24ac2a, x2 = -b- b24ac2a.观察两式右边，分母相同，分子是b b2 4ac 与b b2 4ac. 两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？二、探索新知解下列方程，并填写表格：方程 x1 x2 x1 x2 x1x2x2 2x = 0x2 + 3x 4=0x2 5x + 6=0观察上面的表格，你能得到什么结论？(1)关于x的方程x2 + px + q = 0(p , q为常数，p24qA0)的两

29、根x1, x2 与系数p， q 之间有什么关系？关于x的方程ax2+bx + c = 0(a #0)的两根x1, x2与系数a, b, c 之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？解下列方程，并填写表格：方程 x1 x2 x1 x2 x1x22x2-7x-4=03x2 + 2x-5=05x2-17x+6=0小结：根与系数关系：(1)关于x的方程x2 + px + q = 0(p , q为常数，p24qA0)的两根x1, x2与系数p, q的关系是：x1+x2 = p, x1x2 = q(注意：根与系数关 系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零)(2)形如ax2+ bx+ c = 0(a #0)

30、的方程，能够先将二次项系数化为1,再利用上面的结论即：对于方程 ax2+bx+c = 0(a *0):a#0, x2+ bax+ ca= 0 x1 + x2=ba, x1x2 = ca( 能够利用求根公式给出证明)例 1 不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：(1)x2 -3x-1=0(2)2x2 +3x5=0(3)13x2 2x = 0 (4)2x2 +6x=3(5)x2 -1 = 0 (6)x2 2x+ 1 = 0例 2 不解方程，检验下列方程的解是否准确？(1)x2 -22x+1 = 0 (x1 =2+1, x2=2-1)(2)2x2 -3x-8= 0 (x1 =7+734, x2 =

31、 5734)例 3 已知一元二次方程的两个根是1 和 2，请你写出一个符合条件的方程 ( 你有几种方法？)例4已知方程2x2+kx9 = 0的一个根是一3,求另一根及k的值.变式一：已知方程x2 2kx 9 = 0的两根互为相反数，求k;变式二：已知方程2x25x+k = 0的两根互为倒数，求k.三、课堂小结1 根与系数的关系2根与系数关系使用的前提是：(1) 是一元二次方程；(2) 判别式大于等于零四、作业布置1 不解方程，写出下列方程的两根和与两根积(1)x2 -5x-3 = 0 (2)9x +2= x2 (3)6x2 3x + 2 = 0(4)3x2 +x+1=02 .已知方程x2 3x

32、 + mi= 0的一个根为1,求另一根及m的值.3 .已知方程x2 + bx + 6=0的一个根为一2,求另一根及b的值.21.3实际问题与一元二次方程(2 课时 )第 1 课时 解决代数问题1 经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤2通过学生自主探究，会根据传播问题、百分率问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤3通过实际问题的解答，让学生理解到对方程的解必须要实行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准重点利用一元二次方程解决传播问题、百分率问题难点如果理解传播问题的传播过程和百分率问题中的增长( 降低 ) 过程，找到传

33、播问题和百分率问题中的数量关系一、引入新课1 列方程解应用题的基本步骤有哪些？应注意什么？2科学家在细胞研究过程中发现：(1) 一个细胞一次可分裂成2 个，经过3 次分裂后共有多少个细胞？(2) 一个细胞一次可分裂成x 个，经过3 次分裂后共有多少个细胞？(3) 如是一个细胞一次可分裂成2 个，分裂后原有细胞仍然存有并能再次分裂，试问经过3 次分裂后共有多少个细胞？二、教学活动活动1：自学教材第19页探究 1，思考教师所提问题有一人患了流感，经过两轮传染后，有121 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？(1) 如何理解“两轮传染”？如果设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，第一轮传

34、染后共有人患流感第二轮传染后共有人患流感(2) 本题中有哪些数量关系？(3) 如何利用已知的数量关系选择未知数并列出方程？解答：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，则依题意第一轮传染后有 (x 1)人患了流感，第二轮有x(1 x) 人被传染上了流感于是可列方程：1 + x+x(1 +x) = 121解方程得x1 = 10, x2=12(不合题意舍去)所以每轮传染中平均一个人传染了10 个人变式练习：如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感？活动2:自学教材第19页第20页探究2,思考老师所提问题.两年前生产1 吨甲种药品的成本是5000元，生产1 吨乙种药品的成本是 6000 元，随

35、着生产技术的进步，现在生产1 吨甲种药品的成本是3000 元，生产1 吨乙种药品的成本是3600 元，哪种药品成本的年平均下降率较大？（1） 如何理解年平均下降额与年平均下降率？它们相等吗？（2）若设甲种药品年平均下降率为x,则一年后，甲种药品的成本下降了 元，此时成本为 元；两年后，甲种药品下降了元，此时成本为 元 增长率（下降率）公式的归纳：设基准数为a,增长率为x,则一月（ 或一年 ） 后产量为a（1 ± x） ；二月 （或二年 ）后产量为a（1± x）2；n月（或n年）后产量为a（1 ± x）n ;如果已知n月（n年）后总产量为M则有下面等式：M= a（1

36、±x）n.（4） 对甲种药品来说根据等量关系列方程为：.三、课堂小结与作业布置课堂小结1 列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答最后要检验根是否符合实际2传播问题解决的关键是传播源的确定和等量关系的建立3.若平均增长（降低）率为x,增长（或降低）前的基准数是a,增长（或 降低）n次后的量是b,则有：a（1 ±x）n = b（常见n = 2）.4成本下降额较大的药品，它的下降率不一定也较大，成本下降额较小的药品，它的下降率不一定也较小作业布置教材第21 22 页 习题 21.3 第 2 7 题第 2课时 解决几何问题1 通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系

37、，列出一元二次方程解决几何问题2通过探究，使学生理解在几何问题中能够将图形实行适当变换，使 列方程更容易3通过实际问题的解答，再次让学生理解到对方程的解必须要实行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准重点通过实际图形问题，培养学生使用一元二次方程分析和解决几何问题的水平难点在探究几何问题的过程中，找出数量关系，准确地建立一元二次方程活动 1 创设情境1 长方形的周长，面积 ，长方体的体积公式2如图所示：(1) 一块长方形铁皮的长是10 cm,宽是8 cm,四角各截去一个边长为2 cm 的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是，高是 ，体积是 (2) 一块长方形铁

38、皮的长是10 cm,宽是8 cm,四角各截去一个边长为x cm 的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是，高是 ，体积是 活动2自学教材第20页第21页探究3,思考老师所提问题要设计一本书的封面，封面长 27 cm,宽21 cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度( 精确到0.1 cm) (1) 要设计书本封面的长与宽的比是，则正中央矩形的长与宽的比是 (2)为什么说上下边衬宽与左右边衬宽之比为9 : 7?试与同伴交流一下.(3)若设上、下边衬的宽均为9x cm,左、

39、右边衬的宽均为7x cm,则 中央矩形的长为 cm 宽为 cm 面积为 cm2.(4) 根据等量关系：，可列方程为： .(5) 你能写出解题过程吗？( 注意对结果是否合理实行检验)(6)思考如果设正中央矩形的长与宽分别为9x cm和7x cm,你又怎样去求上下、左右边衬的宽？活动 3 变式练习如图所示，在一个长为50 米，宽为30 米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积占整块面积的75%，等宽且互相垂直的两条路的面积占25%，求路的宽度答案：路的宽度为5 米活动4 课堂小结与作业布置课堂小结1 利用已学的特殊图形的面积( 或体积 ) 公式建立一元二次方程的数学模型，并使用它解决实际问题的

40、关键是弄清题目中的数量关系2根据面积与面积( 或体积)之间的等量关系建立一元二次方程，并能准确解方程，最后对所得结果是否合理要实行检验作业布置 教材第 22页 习题 21.3 第 8， 10题第二十二章二次函数221 二次函数的图象和性质221.1 二次函数(1) 从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系2理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式3会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取 值范围重点二次函数的概念和解析式难点本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括水平一、创设

41、情境，导入新课问题 1 现有一根12 m 长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使矩形的面积？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积，他说的有道理吗？问题 2 很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到点时的高度？这些问题都能够通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”（ 板书课题 ） 二、合作学习，探索新知请用适当的函数解析式表示下列情景中的两个变量y 与 x 之间的关系：(1)圆的半径x(cm)与面积y(cm2)；(2) 王先生存入银行2 万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率

42、为x,两年后王先生共得本息y 元；(3) 拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为120 m,室内通道的尺寸如图，设一条边长为x (m),种植面积为y(m2)( 一 ) 教师组织合作学习活动：1 先个体探求，尝试写出y 与 x 之间的函数解析式2上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组实行合作交流，共同探讨(1)y =兀 x2 (2)y = 20000(1 + x)2 = 20000x2+ 40000x+ 20000 (3)y= (60-x-4)(x -2) = -x2 + 58x- 112( 二 ) 上述三个函数解析式具有哪些共同特征？让学生充分发表意见，提出各自看

43、法教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具有y = ax2 + bx + c(a ,b, c是常数，a#0)的形式.板书：我们把形如y = ax2 + bx + c(其中a, b, c是常数，a*0)的函数叫做二次函数(quadratic function) ，称 a 为二次项系数，b 为一次项系数， c 为常数项请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项三、做一做1 下列函数中，哪些是二次函数？(1)y =x2 (2)y =-1x2 (3)y =2x2-x-1(4)y =x(1 x) (5)y =(x 1)2 (x +1)(x 1)2分别说出下列二次函数的二次项系数、一次

44、项系数和常数项： (1)y =x2+1 (2)y =3x2+7x12 (3)y =2x(1 -x)3.若函数y=(m2 1)xm2m为二次函数，则 m的值为.四、课堂小结反思提升，本节课你有什么收获？五、作业布置教材第41页 第1, 2题.22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质通过画图，了解二次函数y=ax2(a#0)的图象是一条抛物线，理解其顶点为何是原点，对称轴为何是y 轴，开口方向为何向上( 或向下 ) ，掌握其顶点、对称轴、开口方向、最值和增减性与解析式的内在关系，能使用相关性质解决相关问题重点从“数”(解析式)和“形”(图象)的角度理解二次函数y=ax2的性质, 掌握二次函数解

45、析式y=ax2与函数图象的内在关系.难点画二次函数y=ax2的图象.一、引入新课1 下列哪些函数是二次函数？哪些是一次函数？(1)y =3x1 (2)y =2x2+7 (3)y =x-2(4)y =3(x 1)2 + 12一次函数的图象，正比例函数的图象各是怎样的呢？它们各有什么特点，又有哪些性质呢？3上节课我们学习了二次函数的概念，掌握了它的一般形式，这节课我们先来探究二次函数中最简单的y= ax2的图象和性质.二、教学活动活动1:画函数y= x2的图象.(1) 多媒体展示画法( 列表，描点，连线) (2) 提出问题：它的形状类似于什么？(3) 引出一般概念：抛物线，抛物线的对称轴、顶点活动

46、2:在坐标纸上画函数 y= 0.5x2, y= 2x2的图象.(1) 教师巡视，展示学生的作品并实行点拨；教师再用多媒体课件展示准确的画图过程(2)引导学生观察二次函数y= 0.5x2, y= 2x2与函数y = x2的图象，提出问题：它们有什么共同点和不同点？(3) 归纳总结：共同点：它们都是抛物线；除顶点外都处于x轴的下方；开口向下；对称轴是y轴；顶点都是原点(0, 0).不同点：开口大小不同 教师强调指出：这三个特殊的二次函数 y = ax2是当a< 0时的情况系数a 越大，抛物线开口越大活动3:在同一个直角坐标系中画函数 y = x2, y=0.5x2, y = 2x2的图 象类

47、似活动2：让学生归纳总结出这些图象的共同点和不同点，再进一步提炼出二次函数y = ax2(a#0)的图象和性质.二次函数y = ax2(a#0)的图象和性质图象( 草图) 开口方向顶点 对称轴 或最低点 最值a>0 当 x =时，y 有最 值，是 .a<0 当 x =时，y 有最 值，是 .活动 4：达标检测(1)函数y = 8x2的图象开口向,顶点是,对称轴是 ，当 x时， y 随 x 的增大而减小(2)二次函数y = (2k5)x2的图象如图所示，则k的取值范围为(3)如图，y=ax2; y=bx2; y=cx2; y=dx2.比较 a, b, c, d的大小，用连接.答案：(

48、1)下，(0, 0), x = 0, >0; (2)k>2.5; (3)a >b>d>c.三、课堂小结与作业布置 课堂小结1 二次函数的图象都是抛物线2.二次函数y = ax2的图象性质：(1)抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.(2)当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的点；|a| 越大，抛物线的开口越小作业布置教材第 32 页 练习22 . 1.3 二次函数y=a(xh)2 + k的图象和性质1 经历二次函数图象平移的过程；理解函数图象平移的意义2 . 了解 y = ax2, y =

49、 a(xh)2, y = a(x h)2+k三类二次函数图象之间的关系3 .会从图象的平移变换的角度理解 y = a(x h)2 + k型二次函数的图 象特征重点从图象的平移变换的角度理解 y = a(x-h)2 + k型二次函数的图象特征.难点对于平移变换的理解和确定，学生较难理解一、复习引入二次函数y = ax2的图象和特征：1 名称 ； 2. 顶点坐标 ； 3. 对称轴 ； 4. 当 a>0时，抛物线的开口向 ,顶点是抛物线上的最 点，图象在x轴的(除顶点外)；当a<0时，抛物线的开口向，顶点是抛物线上的最 点，图象在 x 轴的(除顶点外) 二、合作学习在同一坐标系中画出函数

50、 y=12x2, y=12(x+2)2, y=12(x2)2的 图象(1) 请比较这三个函数图象有什么共同特征？(2) 顶点和对称轴有什么关系？(3) 图象之间的位置能否通过适当的变换得到？(4) 由此，你发现了什么？三、探究二次函数y = ax2和y = a(x h)2图象之间的关系1 .结合学生所画图象，引导学生观察 y=12(x + 2)2与y=12x2的图 象位置关系，直观得出y=12x2的图象向左平移两个单位 y =12(x 2)2 的图象教师能够采取以下措施：借助几何画板演示几个对应点的位置关系， 如：(0, 0)向左平移两个单位(2, 0);(2, 2)向左平移两个单位(0, 2

51、);(2, 2)向左平移两个单位(一4, 2).也能够把这些对应点在图象上用彩色粉笔标出，并用带箭头的线段 表示平移过程2 .用同样的方法得出y= 12x2的图象向右平移两个单位 y =12(x 2)2 的图象3 .请你总结二次函数y = a(xh)2的图象和性质.y = ax2(a?0)的图象>当 h>0时，向右平移 h个单位当h<0时,向左平移|h|个单位y=a(x h)2的图象.函数y=a(xh)2的图象的顶点坐标是(h , 0),对称轴是直线x=h.4做一做(1)抛物线 开口方向对称轴 顶点坐标y=2(x+3)2y=-3(x-1)2y= 4(x 3)2(2) 填空：抛

52、物线y = 2x2向:平移个单位可得到y = 2(x + 1)2;函数y=-5(x-4)2的图象能够由抛物线 向:平移个单位而得到四、探究二次函数y = a(x h)2 + k和y = ax2图象之间的关系1.在上面的平面直角坐标系中画出二次函数y = 12(x + 2)2 + 3的图象.首先引导学生观察比较 y=12(x + 2)2与y = 12(x + 2)2 + 3的图象关系， 直观得出：y=12(x + 2)2的图象>向上平移 3个单位y=12(x +2)2 3的图象 (结合多媒体演示)再引导学生观察刚才得到的y= 12x2的图象与y=12(x+2)2的图象之 间的位置关系，由此

53、得出：只要把抛物线 y= 12x2先向左平移2个单 位，在向上平移3个单位，就可得到函数y=12(x+2)2+3的图象.2做一做：请填写下表：函数解析式图象的对称轴图象的顶点坐标y=12x2 y=12(x+2)2y=12(x+2)2 +33.总结y=a(x h)2 + k的图象和y = ax2图象的关系y = ax2(a?0)的图象>当 h>0时，向右平移 h个单位当h<0时,向左平移|h|个单位y=a(x h)2的图象>当k>0时，向上平移k个单位当k<0时，向下平移|k|个单位y = a(x h)2+ k的图象.y=a(x h)2+k的图象的对称轴是直线x = h,顶点坐标是(h , k).口诀： (h ， k) 正负左右上下移(h 左加右减，k 上加下减 )从二次函数y=a(x h)2+ k的图象能够看出：如果a>0,当x<h时，y随x的增大而减小，当x>h时，y随x的增 大而增大；如果a<0,当x<h时，y随x的增大而增大，当x>h时, y 随 x 的增大而减小4练习：课本第37 页 练习五、课堂小结1 .函数y = a(x h)2 + k的图象和函数y = ax2图象之间的关系.2 .函数y = a(x h)2+ k的图象