443圆与扇形三教师版

1、研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积.圆的面积=2;扇形的面积=2X;360圆的周长=21）倍，当小圆在大圆内侧（外侧）作无滑动的滚动一圈后又回到原来的位置，小圆绕自己的圆心转动了几周？【考点】曲线型旋转问题【难度】3 3星【题型】解答【解析】为了确定圆绕圆心转动几周，首先要明确圆心转动的距离.设小圆的半径为“单位1”，则大圆的半径为“n在内测滚动时，如图所示，因为圆心滚动的距离为2/（n-1）.在外侧滚动时，如图所示.因为圆心滚动的距离为2兀父*1）.2（

2、n1）所以小圆绕自己的圆心转动了：（）=n+1（圈）.2兀【解析】周长也是小圆的3倍，由于小圆的圆心每转动一个自身的周长时，小圆也恰好转了一圈，所以本题中小圆自身转了3圈.所以小圆绕自己的圆心转动了:=n1（圈）.2兀（n-1）2兀图（1）n-1n-1和n+1n+1也可以考虑小圆圆心转过的距离.小圆圆心转过的是一个圆周，半径是小圆的3倍，所以这个圆的原来的位置，那么与原A点重合的点是为.硬币自己转动,硬币圆心的运动轨迹周长【例9 9】 如图，15枚相同的硬币排成一个长方形， 一个同样大小的硬币沿着外圈滚动一周， 回到起始位置.问： 这枚硬币自身转动了多少圈？币的圆心相当于沿着半径为硬币2倍的圆

3、旋转了180口-60口-60=60，而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转了120。.当硬币从长方形的一条边滚动到另一条边时，这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币了36060匚6090=150.而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转，所以硬币自身旋转了3000.长方形的外圈有12个硬币，其中有4个在角上，其余8个在边上，所以这枚硬币滚动一圈有8次是在长方形的一条边之内滚动，4次是从长方形的一条边滚动到另一条边.所以这枚硬币转动了21600,即自身转动了6圈.另解：通过计算圆心轨迹的长度，每走一个2式即滚动了一周.【巩固】个硬币，所转动的圆心轨迹其实分为两部分，一是在“角”上

4、的转动，一是在“边上的滚动.抓住关键方法：圆心轨迹长度。2n=自身转动圈数.结论：一样多；都是6圈.一样多；都是6圈【例1010】一枚半径为1cm的圆形硬币相互紧靠着平放在桌面上，让一枚硬币沿着它们的外轮廓滚过后回到2倍的圆旋转曲线型旋转问题【难度】3 3星【题型】解答1208+3004=2160,问：在哪个图中这枚硬用一个同样大小的硬币，分别沿着四个正多边形的外圈无滑动地滚动一周.币自身转动的圈数最多，最多转动了多少圈？12个相同的硬币可以排成下面的4种正多边形（圆心的连线）.【考点】曲线型旋转问题【难度】3 3星【题型】解答1【解析】先计算轨迹的长度：二个半径为2的半圆，1父（2父2兀）父

5、3=6兀,26d2n=3,即为3周，所以答案为A点，3周，6n.【答案】A点，3周，6汽【例1111先做一个边长为2cm的等边三角形，再以三个顶点为圆心，2cm为半径作弧，形成曲边三角形（如左图）.再准备两个这样的图形，把一个固定住（右图中的阴影），另一个围绕着它滚动，如右图那样，从顶点相接的状态下开始滚动.请问此图形滚动时经过的面积是多少平方厘米？（n=3.14）【考点】曲线型旋转问题【难度】3 3星【题型】解答【解析】在处理图形的运动问题时，描绘出物体的运动轨迹是解决问题的第一步，只有大的方向确定了，才能实施具体的计算.图图图在数学中，本题所作出的这个曲边三角形叫“莱洛三角形”它在所有方向

6、上的宽度都相同.为了求出“莱洛三角形”滚动时经过的面积，可以分2步来思考：第1步：如图所示，当“莱洛三角形”从顶点A的上方滚动到顶点A的左边时，这时阴影“莱洛三角形”滚动的这部分面积是以A为圆心、2cm为半径、圆心角为60的扇形.在顶点A、B、C处各有这样的一个扇形；第2步：如图所示，当“莱洛三角形”在边AB上滚动时，这时可以把阴影“莱洛三角形”看作是以图中D点为圆心的圆的一部分，这个圆在以C点为圆心的弧AB上滚动，可知此时圆心D运动的轨迹是图中的弧DD,所以此时阴影“莱洛三角形”滚动的这部分面积是以C为圆心、4cm为半径、圆心角为60的扇形减去半径为2cm的60的扇形；综上所述，去掉图中阴影

7、“莱洛三角形”后所形成的组合图形就是要求的面积.2602602602滚动时经过的面积是：3乂兀黑2X+3个兀黑4X$2X=8兀=25.12（5）.36036036025.1225.12I下图为半径2020厘米、圆心角为1441440 0的扇形图.点C C、D D、E E、F F、G G、H H、J J是将扇形的B B、K K弧线分为8 8等份的点.求阴影部分面积之和.曲线型旋转问题【难度】3 3星【题型】解答如下图，做出辅助线，KMA与4ANG形状相同（对应角相等，大小相等（对应边相等），有KMAANG,SKMA=SANG，而LMA是两个三角形的公共部分，所以上图中的阴影部分面积相等.所以,G

8、NMK与扇形KGA的面积相等，那么KGEB的面积为2倍扇形KGA的面积.144054扇形KGA的圆心角为一一必=54，所以扇形面积为藐200乂冗=68平方厘米.那么KGEB的面积为60nx2=120几平方厘米.如下图，做出另一组辅助线.莱洛三角形”有一个重要的性质就是【答案】【例1 1【考点】【解析】JQA与4ARH形状相同（对应角相等，大小相等（对应边相等），有JQAARH,SJQA=S_ARH=5A,而PQA是两个三角形的公共部分,所以右图中的阴影部分面积相等.所以,JHRQ与扇形JHA的面积相等，那么JHDC的面积为2倍扇形JHA的面积.14400扇形JHA的圆心角为1一=180，所以扇

9、形面积为8那么JHDC的面积为20n父2=40几平方厘米.所以，原题图中阴影部分面积为SKGEB-SJHDC18一2X20Mn=20n平万厘米.360=120n-40n=80i=80X3.14=2512方厘米.【答案】251.2251.2【例1313】1010个一样大的圆摆成如图所示的形状.过图中所示两个圆心图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是多少A,BA,B作直线，那么直线右上方圆内【考点】曲线型旋转问题【难度】3 3星【题型】解答直线AB的右上方的有2个完整的圆，2个半圆，1组成一个完整的圆，即共有4个完整的圆，那么直线AB的左下方有10-4=6个完整的圆，每个圆的1个而1个“面积

10、相等，所以直线右上方圆内图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是2:32:3【例1414在图中，一个圆的圆心是0,0,半径r=9r=9厘米，/1=/1=/2=152=15. .那么阴影部分的面积是多少平方厘米？（五取3.143.14）4:6=2:3.【考点】【难度】2星【题型】填空【关键词】奥林匹克，初赛,11题曲线型旋转问题【难度】3 3星【题型】解答有AO=OB,所以4AOB为等腰三角形，AO=OC,所以AAOC为等腰三角形./ABO=/1=15,/AOB=180-Z1-ZABO=150./ACO=/2=15,/AOC=180-/2-/ACO=150,所以/BOC=360-/AOB-/AOC=60,所以扇形BOC的面积为60,父9父立之42.39（平万厘米）.36042.3942.39【例1515图是由正方形和半圆形组成的图形.其中P P点为半圆周的中点,Q Q点为正方形一边的中点.已知正方形的边长为10,10,那么阴影部分的面积是多少？（几取3.143.14）【考点】曲线型旋转问题【难度】3 3星【题型】解答【关键词】奥林匹克，初赛,11题【解析】过P做AD平行线,交AB于。点，P为半圆周的中点，所以0为AB中点.A有SABCD=10父10=