中考数学与相似有关的压轴题含答案

1、中考数学与相似有关的压轴题含答案一、相似1.如图，ABC是一锐角三角形余料，边BC=16cm,高AD=24cm,要加工成矩形零件,使矩形的一边在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上.(1)AK为何值时，矩形EFGH是正方形？(2)若设AK=x,Sefg中y,试写出y与x的函数解析式.(3) x为何值时，Sefgh达到最大值.【答案】(1)解：设边长为xcm,1 .矩形为正方形，2 .EH/AD,EF/BC,Eh班以AE根据平行线的性质可以得出：盯，二、双=AB,xBExAh由题意知EH=x,AD=24,BC=16,EF=x,即二为=祐,=.必，3 BE+AE=ABLrjJiAE4 +=

2、+=1,/.S解得x=-J,园.-AK=$,费，当时，矩形EFGH为正万形(2)解：设AK=x,EH=24-x,5 .EHGF为矩形，AK2/=AL,即EF=Jlx,22sSEFGH=y=3x?(24-x)=-Jx2+16x(0vxv24)(3)解：y=-3x2+16x配方得：y=3(x-12)2+96,，当x=12时，SEfgh有最大值96【解析】【分析】(1)设出边长为xcm,由正方形的性质得出，EH/AD,EF/BC,根据平行线的性质，可以得对应线段成比例，代入相关数据求解即可。(2)设AK=x,则EH=16-x,根据平行的两三角形相似，再根据相似三角形的对应边上的高之比等于相似比，用含

3、x的代数式表示出EF的长，根据矩形面积公式即可得出y与x的函数解析式。(3)将(2)中的函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可得出矩形EFGH的面积取最大值时的x的值。2.如图1,在RtABC中，/C=90；AC=6,BC=8,动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD/BC,交AB于点D,连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒(tQ.ABnXC弋一尸月图L图工(1)直接用含t的代数式分别表示：QB=,PD=.(2)是否存在t的值，使四边形PDBQ为

4、菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.并探究如何改变Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；(3)如图2,在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长.【答案】(1)8-2t;(2)解：不存在在RtABC中，/C=90,AC=6,BC=8，AB=101 .PD/BC,2 .APDAACB,ADr肥4、即to打，AD=BD=AB-AD=10-.BQ/DP,当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形,即8-2t=3,解得：t=5.12当t=5时,PD=167,5-XBD=10-312.DPwB,D1?PDBQ不能为菱形.设点Q的速度为每秒v个单位长度,贝

5、UBQ=8-vt,PD=3，BD=10-,要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ当PD=BD时，即5t16=10-i1,解得：t=3当PD=BQt=3时，即310X=8376v=|烯1b个单位长度时，经过J秒,四边形PDBQ是菱形.x轴，建立平面直角坐标系.当点Q的速度为每秒（3）解：如图2,以C为原点，以AC所在的直线为依题意，可知0Wt04当t=0时，点Mi的坐标为（3,0）,当t=4时点M2的坐标为（1,4）.设直线M1M2的解析式为y=kx+b, 直线M1M2的解析式为y=-2x+6. 点Q(0,2t),P(6-t,0)忖一, .在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标(E,t)6t

6、6t把x=2代入y=-2x+6得y=-2XJ+6=t,点M3在直线M1M2上.过点M2作M2N，x轴于点N,则M2N=4,MiN=2. .MiM2=2.线段PQ中点M所经过的路径长为2$单位长度.【解析】【解答】(1)根据题意得：CQ=2t,PA=t, .QB=8-2t, .在RtABC中，/C=90；AC=6,BC=8,PD/BC,/APD=90；【分析】CQ=2t,PA=t,可得QB=8-2t,根据tanA=J,可以表示PD;易得APAACB,即可求得AD与BD的长，由BQ/DP,可彳#当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形；求得此时DP与BD的长，由D%BD可判定?PDBQ不能为菱形

7、；然后设点Q的速度为每秒v个单位长度，由要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BDPD=BQ,列方程即可求得答案.以C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，求出直线M1M2解析式，证明M3在直线M1M2上，利用勾股定理求出M1M2.A、B两点(点A在点B的左侧)，与D.3.已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2(a0)相交于y轴正半轴相交于点C,过点A作ADx轴，垂足为(1)若/AOB=60,AB/x轴，AB=2,求a的值；(2)若/AOB=90，点A的横坐标为-4,AC=4BC求点B的坐标;(3)延长AD、BO相交于点E,求证：DE=CO【答案】(1)解：如图1,抛物线y=ax2的

8、对称轴是y轴，且AB/x轴,，A与B是对称点，O是抛物线的顶点，.OA=OB, /AOB=60； .AOB是等边三角形， .AB=2,ABOC, .AC=BC=1,/BOC=30,J-.oc=KiJ,.A(-1,0),把A(-1,1。)代入抛物线y=ax2(a0)中得：a=,值；y轴于(2)解：如图2,过B作B已x轴于E,过A作AGBE,交BE延长线于点G,.CF/BG,AC而一拓,? .AC=4BC,屈=4,.AF=4FG,.A的横坐标为-4,，.B的横坐标为1,.A(-4,16a),B(1,a), /AOB=90； /AOD+/BOE=90；aAAOD+ZDAO=90；/BOE=/DAO,

9、 /ADO=ZOEB=90； .ADOAOEB,1-16a2=4,1a=-,.a0,1a=上；B(1,)；(3)解：如图3,设AC=nBGn倍,由(2)同理可知：A的横坐标是B的横坐标的则设B(m,am2),则A(-mn,am2n2),AD=am2n2,过B作BHx轴于F,.DE/BF,.,.BOFAEOD,OBOFBF二二您如应,?OB3ianrOEurnDEOB1二,一口,DE=am2n,OB1.而*门，1. OC/AE,.,.BCOABAE,ain(l+n)-CO=/打=am2n,.DE=CQ【解析】【分析】(1)抛物线y=ax2关于y轴对称，根据AB/x轴，得出A与B是对称点，可知AC

10、=BC=1由/AOB=60,可证得/AOB是等边三角形，利用解直角三角形求出OC的长，就可得出点A的坐标，利用待定系数法就可求出a的值。(2)过B作BEXx轴于E,过A作AGBE,交BE延长线于点G,交y轴于F,根据平行线分线段成比例证出AF=4FG根据点A的横坐标为-4,求出点B的横坐标为1,则A(4,16a),B(1,a),再根据已知证明/BOE=/DAO,ZADO=ZOEB,就可证明ADOsoeb,得出对应边成比例，建立关于a的方程求解，再根据点B在第一象限，确定点B的坐标即可。(3)根据(2)可知A的横坐标是B的横坐标的n倍，则设B(m,am2),则A(-mn,am2n2),得出AD的

11、长，再证明BOQEOD,BC8BAE,得对应边成比例，证得CO=am2n,就可证得DE=CO4.如图，正方形ABCD等腰RtBPQ的顶点P在对角线AC上(点P与A、C不重合)，QP与BC交于E,QP延长线与AD交于点F,连接CQ.DC(1)求证：AP=CQ求证：PA2=AF?AD;(2)若AP：PC=1：3,求tan/CBQ.【答案】(1)证明：二.四边形ABCD是正方形，AB=CB,/ABC=90, /ABP+/PBC=90, .BPQ是等腰直角三角形，BP=BQ,/PBQ=90；./PBC+/CBQ=90，/ABP=/CBQ,AABPACBQ,.AP=CQ;二.四边形ABCD是正方形，/D

12、AC之BAC=ZACB=45, /PQB=45；/CEP4QEB,，/CBQ之CPQ由得ABPCBQ,/ABP=/CBQ /CPQ=/APF,/APF=/ABP,APMABP,(本题也可以连接PD,证APFsADP)(2)证明：由得4AB国ACRQ,，/BCQ=/BAC=45, /ACB=45,./PCQ=45+45=90tanZCPQ=仃,由得AP=CQ,又AP:PC=1:3,tan/CPQ=bCP3,由得/CBQ=/CPQ1tanZCBQ=tanZCPQ=J.【解析】【分析】(1)利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质易证ABPACBQ,可得AP=CQ;利用正方形的性质可证得/CBQ=/C

13、PQ,再由ABPCBQ可证得/APF=/ABP,从而证出APMABP,由相似三角形的性质得证；(2)由ABP4CBQ可得/BCQ=/BAC=45,可得ZPCQ=45+45=90,再由三角函数可得tanZCPQ=/,由AP:PC=1:3,AP=CQ可得tan/CPQ=,再由/CBQ=/CPQ可求出答案.5.如图，在四边形ABCD中，AD/BC,/=缈,BC=4,DC=3,AD=6.动点P从点D出发，沿射线DA的方向，在射线DA上以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P、Q分别从点D,C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动.设运动

14、的时间为t(秒).B0C(1)设dBPQ的面积为|s,直接写出土与之间的函数关系式是(不写取值范司).(2)当B,PQ三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求出此时，的值.(3)当线段PQ与线段AB相交于点O,且2OA=OB时，直接写出【心4方力=.(4)是否存在时刻J使得PQ二的若存在,求出卜的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1),二，(2)解：如图1,过点P作PH，BC于点H,/PHB=ZPHQ=90; /C=90；AD/BC,/CDP=90, 四边形PHCD是矩形， .PH=CD=3,HC=PD=2t, .CQ=t,BC=4, .HQ=CH-CQ=t,BH=BC-CH=4-2tBQ=4-

15、t,BQ2=仃,BP2=-山/事,PQ2=芦+/，由BQ2=BP2可得：(4-F*=(4-次/5,解得：无解；由BQ2=pd可得：-炉=+九解得：1r6；4由BP2=PQ2可得：d+户”,解得：2或F4, 当F时，BQ=4-4=0,不符合题意，；4 .综上所述，k或一3；(4)解：如图3,过点D作DM/PQ交BC的延长线于点M,则当/BDM=90时，PQBD,即当BM2=DM2+BD2时，PQBD,1. AD/BC,DM/PQ,四边形PQMD是平行四边形，.QM=PD=2t,.QC=t,.CM=QM-QC=t, /BCD=ZMCD=90,.BD2=BC2+DC2=25,DM2=D(?+CM2=

16、9+t2,BM2=(BC+CM)2=(4+t)2,由bm2=bd2+dm2可得：a.MQ=/，又.PM=3,/PMQ=90,Pif1615二:j.-.tanZBPQ=啦$，&;【分析】(1)点P作PMBC,垂足为M,则四边形PDCM为矩形，根据梯形的面积公式就可以利用t表示，就得到s与t之间的函数关系式。(2)以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分PQ=BQBP=BQPB=PQ三种情况，在RtPMQ中根据勾股定理，就得到一个关于t的方程，就可以求出to(3)根据相似三角形对应边比例可列式求出t,从而根据正切的定义求出值；t声二g炉;”,解得：,r-. 当时，/BDM=90,二即当r

17、，时，PQXBD.【解析】【解答】解：(1)由题意可得BQ=BC-CQ=4-t点P至ijBC的距离=CD=3,M3_-tA6 SAPBQ=BQX3=-;(3)解：如图2,过点P作PMBC交CB的延长线于点M,/PMC=ZC=90；1.AD/BC,/D=90；OAPOBQ,四边形PMCD是矩形，阳m.PM=CD=3,CM=PD=2t,.AD=6,BC=4,CQ=t,.PA=2t-6,BQ=4-t,MQ=CM-CQ=2t-t=t,(4)首先假设存在，然后根据相似三角形对应边成比例求证。6.如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为(10,0),抛物线y=ax2+bx+4过点B,C两点，且与x

18、轴的一个交点为D(-2,0),点P是线段CB上的动点，设CP=t(0vtv10)(1)请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式;(2)过点P作PHBC,交抛物线于点E,连接BE,当t为何值时，ZPBE=/OCD?(3)点Q是x轴上的动点，过点P作PM/BQ,交CQ于点M,作PN/CQ,交BQ于点N,当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值.【答案】(1)解：在y=ax2+bx+4中，令x=0可得y=4,C(0,4),四边形OABC为矩形，且A(10,0),.B(10,4),JOOa+4=4把B、D坐标代入抛物线解析式可得力油70解得J,，抛物线解析式为y=t：x2+x+4;(2)解：由题意可

19、设P(t,4),则E(t,gt2+mt+4),13I5一.PB=10-t,PE=6t2+3t+4-4=bt2+Jt, /BPE=/COD=90,当/PBE=/OCD时，则PB上OCD,PEPB 必比，即BP?OD=CO?PE/I一T 2(10-t)=4(&t2+3t),解得t=3或t=10(不合题意，舍去)， 当t=3时，ZPBE=/OCD;当/PB已/CDO时,贝MPB&aODC,PEPbOL,即BP?OC=DO?PEJJ，4(10-t)=2(dt2+Jt),解得t=12或t=10(均不合题意，舍去)综上所述.,当t=3时，/PBE=/OCD(3)解：当四边形PMQN为正方形时，则/PMC=

20、/PNB=/CQB=90,PM=PN, /CQO+/AQB=90,/CQO+/OCQ=90,/OCQ=/AQB, RtACOgRtAQAB, .AQAB,即OQ?AQ=CO?AB,设OQ=m,则AQ=10-m,1.m(10-m)=4x4解得m=2或m=8,当m=2时，CQ=W二3=A不，BQ=疝=需=的,.sin/BCQ=比,sin/CBQ=.PM=PC?sinZPCQ=t,PN=PB?sinZCBQ=5(10-t),5(10-t)当m=8时，同理可求得t=，当四边形PMQN为正方形时，t的值为J或3【解析】【分析】(1)先求出抛物线与y轴的交点C的坐标，再根据矩形ABCO及点A的坐标为(10

21、,0),求出点B的坐标，然后利用待定系数法，将点B、D的坐标分别代入函数解析式求出二次函数解析式。(2)设P(t,4),利用抛物线的解析式表示出点E的坐标，可求出PRPE的长，再分情况讨论：当/PBE=/OCD时，可证PB&4OCD,利用相似三角形的性质，的长BP?OD=CO?PE建立关于t的方程，求出符合题意的t的值；当/PBE=/CDO时，可得PBEAODC,利用相似三角形的性质得出BP?OC=DO?PE,建立关于t的方程，求出t的值，综上所述就可得出符合题意的t的值。(3)当四边形PMQN为正方形时，贝UZPMC=ZPNB=ZCQB=90,PM=PN,再证明RtACOQsRtAQAB,利

22、用相似三角形的性质得出OQ?AQ=CO?AB,设OQ=m,贝UAQ=10-m,建立关于m的方程，求出m的值，再分别根据m的值求出COBQ的长，再利用解直角三角形用含t的代数式分别表示出PM、PN的长，由PM=PN可得出关于t的方程,再解方程，就可求出符合题意的t的值。7.如图所示，ABC和4ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，/BAC=/DAE=90,EC的延长线交BD于点P.理由；(2)若AB=3,AD=5,把4ABC绕点A旋转，当/EAC=90时，在图2中作出旋转后的图形，求PD的值，简要说明计算过程；(3)在(2)的条件下写出旋转过程中线段PD的最小值为,最大值为【答案】(1)解：相等理

23、由：ABC和4ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，/BAC=ZDAE=90,BA=CA,/BAD=ZCAEDA=EA2 .ABDAACE,BD=CE(2)解：作出旋转后的图形，若点C在AD上，如图2所示：D_E3 /EAC=90,.,CE=诲4 /PDA=ZAEC,/PCD=ZACE,.,.PCDAACE,PDCD加.PD=九；若点B在AE上，如图2所示：母ABD中，BD=讲+做,BE=AE-AB=2,5 /ABD=ZPBE/BAD=ZBPE=90,6 .BADABPEPBBEPB2M血，即“、物,刍业解得PB=丁,PD=BD+PB=+(3) 1;7【解析】【解答】解：(3)如图3所示，以A为

24、圆心，AC长为半径画圆，当CE在。A下方与。A相切时，PD的值最小；当CE在在。A右上方与。A相切时，PD的值最大.如图3所示，分两种情况讨论：在RtPED中，PD=DE?si也PED因此锐角/PED的大小直接决定了PD的大小.当小三角形旋转到图中4ACB的位置时，在RtACE中，CE=f-=4,在RtDAE中，DE=t中*于=2,四边形ACPB是正方形，PC=AB=3,PE=3+4=7,在RtPDE中，PD=J郎-坦、物而-,即旋转过程中线段PD的最小值为1;当小三角形旋转到图中ABC时，可得DP为最大值，此时，DP=4+3=7,即旋转过程中线段PD的最大值为7.故答案为：1,7.【分析】(

25、1)BD,CE的关系是相等，理由如下：根据同角的余角相等得出/BAD=/CAE,根据等腰直角三角形的性质得出BA=CADA=EA,从而利用SAS判断出ABDACE,根据全等三角形应边相等得出BD=CE(2)作出旋转后的图形，若点C在AD上，如图2所示：首先根据勾股定理算出CE的长，然后判断出PCAACE,根据相似三角形对应边成比例得出AE7i,根据比例式列出方程，求解得出PD的长；若点B在AE上，如图2所示：根据勾股定理算出BD的PBBE长，然后判断出BA24BPE,根据相似三角形对应边成比例得出赤一而，根据比例式列出方程，求解得出PB的长，根据线段的和差即可得出PD的长；(3)如图3所示，以

26、A为圆心，AC长为半径画圆，当CE在。A下方与。A相切时，PD的值最小；当CE在在。A右上方与。A相切时，PD的值最大.如图3所示，分两种情况讨论：在RtPED中，PD=DE?s冠PED,因此锐角/PED的大小直接决定了PD的大小.当小三角形旋转到图中4ACB的位置时，根据勾股定理算出CE,DE的长，根据正方形的性质得出PC=AB=3进而得出PE的长，根据勾股定理算出PD的长，即旋转过程中线段PD的最小值为1;当小三角形旋转到图中ABC时，可得DP为最大值，此时，DP=4+3=7,即旋转过程中线段PD的最大值为7.8.如图，在ABC中，ZC=90,/ABC的平分线交AC于点E,过点E作BE的垂

27、线交AB于点F,。是4BEF的外接圆.(1)求证：AC是。的切线；(2)过点E作EHIAB,垂足为H,求证：CD=HF;(3)已知：CD=1,EH=3,求AF的长.【答案】(1)证明：如图，连接OE.BE平分/ABC,/CBE=ZOBE,1 .OB=OE,/OBE=ZOEB,/OEB=ZCBE,2 .OE/BC,/AEO=ZC=90； .AC是。O的切线;(2)解：如图，连结DE. /CBE玄OBE,ECBC于C,EHLAB于H,.EC=EH /CDE+/BDE=180HFE+ZBDE=180, /CDE土HFE在4CDE与4HFE中，/COE=ZHFEiZC-上E建-况/EC=.,.CDEA

28、HFE(AAS),.CD=HF.(3)解：由(2)得，CD=HF.又CD=1.HF=1在RtAHFE中,EF=V，+产=/6EFBE/BEF=90/EHF=ZBEF=90 /EFH=ZBFE.EHFABEF血57=4,-,0E4C0SZM1-0A.BF=10/QE二二押二5.J 在RtOHE中, 在RtEOA中,54二-0A5【解析】【分析】(1)连接OE.利用角平分线的定义和等腰三角形的性质可证得OE/BC,从而得/AEO=/0=90,可得到证明；(2)连结DE.利用AAS可证CDEHFE,从而得到证明；(3)证EHD4BEF,由相似三角形的性质可求得BF,从而彳#到OE,在RtAOHE和E

29、OA中，由cos/EOA可求出OA,从而求出AF.9.如图，在ABC中，/ACB=90,AC=6cm,BC=8cm,点D从点C出发，以2cm/s的速度沿折线C-A-B向点B运动，同时点E从点B出发，以1cm/s的速度沿BC边向点C运(2)若四边形CDEF是以CDDE为一组邻边的平行四边形，设它的面积为S,求S关于t的函数关系式；是否存在某个时刻t,使平行四边形CDEF为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)解：如图1,当/BED=90时，4BDE是直角三角形，贝UBE=t,AC+AD=2t,.BD=6+10-2t=16-2t,/BED=Z0=90；.DE/AC,BEJ)

30、E瓦L五863(DE=,DE”，sinB=t=，3；贝UBE=t,BD=16-2t,BDBC8cosB=SEAB答：当BDE是直角三角形时,t的值为或7(2)解：如图3,当0vtw时,BE=t,CD=2t,CE=8-t,国二1S?cdef=2S(acde=2乂X21(渴-t)=-2t2+l6t,如图4,当3vtCXCEXDH=CEXDH=)X.S于t的函数关系式为：当0vtw时，S=-2t2+16t,384当3Vtv8时，S=Ht25t+5-5BH=，BE=t,DHICE,EH=.BH=BE+EH=t+t=即当t二/时，？CDEF为菱形.【解析】【分析】（1）因为BDE是直角三角形有两种情况:

31、当/BED=90时，可彳HDE/AC,根据平行于三角形一边的直线和其它两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似可得阿SG,于是可得比例式将DE段用含t的代数式表示，再根据sinB=S右可得关于t的方程，解方程即可求解；当/EDB=90。时，同理可求解；（2）当0vt3时，S?cdef=2Sacde可得s与t的关系式；当3Vt8时，过D作DHBC,垂足为H,根据平行于三角形一边的直线和其它两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似可得丽77口,于是可得比例式将DH用含t的代数式表不，则S?cdef=2Szxcde可得s与t的关系式；当3VtX2是方程X2-2x-8=0的两根

32、，且X1VX2,-xi=-2,X2=4,A(22),C(4,8)(2)解：设直线l的解析式为y=kx+b(kwQ,.A(-2,2)在直线l上,.-2=-2k+b,b=2k+2,，直线l的解析式为y=kx+2k+2:抛物线y=二x2，联立化简得，x2-2kx-4k-4=0,直线l与抛物线只有一个公共点，.=(2k)2-4(-4k-4)=4k2+16k+16=4(k2+4k+4)=4(k+2)2=0,.k=-2,，b=2k+2=-2,直线l的解析式为y=-2x-2;1平行于y轴的直线和抛物线y=:x2只有一个交点，直线l过点A(-2,2),直线l:x=-2(3)解：由(1)知，A(-2,2),C(4,8),，直线AC的解析式为y=x+4,设点B(m,m+4),.C(4.8),BC=|m-4|=(4-m)过点B作y轴的平行线BE与直线l相交于点E,与抛物线相交于点D,1.D(m,2m2),E(m,-2m