中考数学专题复习5：探索性问题

1、中考数学专题复习5:探索性问题I、综合问题精讲：探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型.探索性问题一般有三种类型:(1)条件探索型问题；(2)结论探索型问题;(3)探索存在型问题.条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目;结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目.探索型问题具有较强的综合性，因而解决此类问题用到了所学过的整个初中数学知识.经常用到的知识是:次方程、平面直角坐标系、一次函数与

2、二次函数解析式的求法(图象及其性质)、直角三角形的性质、四边形(特殊)的性质、相似三角形、解直角三角形等.其中用几何图形的某些特殊性质：勾股定理、相似三角形对应线段成比例等来构造方程是解决问题的主要手段和途径.因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力.n、典型例题剖析【例1】(2005,临沂)如图261,已知抛物线的顶点为A(O,1),矩形CDEF的顶点CF在抛物线上，HE在X轴上，CF交y轴于点B(0,2),且其面积为8.(1)求此抛物线的解析式；(2)如图262,若P点为抛物线上不同于A的一点，连结PB并延长交抛物线于点Q,过

3、点线，垂足分别为S、R.求证：PB=PS;判断SBR的形状；试探索在线段SR上是否存在点M为顶点的三角形相似，若存在，请找出解：方法一：二B点坐标为(0,2),P、Q分别作x轴的垂M,使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点M点的位置；若不存在，请说明理由.OB=2,矩形CDE丽积为二.C点坐标为(一2,8,，CF=4.2).F点坐标为(2,2)。设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c.其过三点A(0,1),C(-2.2),F(2,2)。1 =X1得«2=4a2b+c斛得a=,b=0,c=142 =4a2bc此抛物线的解析式为y=1x214方法二：.B点坐标为（0,2）,OB=2,矩形

4、CDE丽积为8,，C点坐标为（一2,2）。根据题意可设抛物线解析式为其过点A（0,1）和C（-2.2）CF=4.2y=ax+c。1=c2=4a»c解得1a=-,c=1412,此抛物线解析式为丫丁(2)解:过点B作BN_LBS,垂足为N.:p点在抛物线丫=4'+1上.可设p点坐标为（a1a2+1）.4412_.PS=Ia由，OB=NS=2,BN=a。PN=PS-NS=1a2在RtPNB中.4pB"=PN2BN2=(a2-1)2a2=(-1a21)2C1C2dPB=PS=4a1根据同理可知BQ=QRN1=N2,又=4=N3,/2=/3,同理.SBP=/B2523=180

5、/5+Z3=90叫:ZSBR=90sSBR为直角三角形.方法一：设PS=b,QR=c,.由知PS=PB=b.QR=QB=c,PQ=b+c。，SR2=(b+c)2(bc)2SR=2屈。假设存在点M.且MS=X,另ijMR=2屈-义。若使PSMhMRQ则有b=2版x。即x2-2Vbcx+bc=0Xc一x=x2=j'/bc°SR=2.bcM为SR的中点.若使PSMhQRMbc.2bbc贝U有一=,°.x=°x2bc-xbc.MR_2痴x_2版1cQBROMS一x"2bbc"一b-BP-OS0bcM点即为原点Q综上所述，当点M为SR的中点时.A

6、PSMhAMRQ当点M为原点时，APSMhAMRQ方法二：若以P、S、M为顶点的三角形与以QMR为顶点三角形相似，-12PSM=/MRQ=90s,.有,：PSMh，MRG口，PSWQRMB种情况。当.：PSMh，MRQ寸.SPM=-RMQ-SMP=-RQM由直角三角形两锐角互余性质.知2PMS叱QMR90°。.2PMQ=90°。取年中点为N.连结他则MN=1PQ=1(QR+PS).，MNI直角梯形SRQP勺中位线，点M为SR的中点当PSMTQRM寸，RM=QR=QB又幽=RO,即m点与o点重合。.点M为原点0。MSPSBPMSOS综上所述，当点M为SR的中点时，APSMh4

7、MRQ当点M为原点时，APSMhQRM点拨：通过对图形的观察可以看出CF是一对关于y轴的对称点，所以(1)的关键是求出其中一个点的坐标就可以应用三点式或y=ax2+c型即可.而对于点P既然在抛物线上，所以就可以得到它的坐标为(a,1a2+1).这样再过点B作BNLPS.得出的几何图形求出PB、PS的大小.最后一问的关键是要找出PSM与MRQ目似的条件.【例2】探究规律：如图264所示，已知：直线m/n,A、B为直线n上两点，CP为直线m上两点.(1)请写出图264中，面积相等的各对三角形；(2)如果AB、C为三个定点，点P在m上移动，那么，无论P点移动到任何位置，总有与ABC的面积相等.理由是

8、：.图2-615解决问题：如图265所示，五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图2-6-6所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路(2-6-6中折线CDE还保留着；弓大爷想过E点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多.请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案(不计分界小路与直路的占地面积).(1)写出设计方案.并画出相应的图形；(2)说明方案设计理由.图2-6Y图"6解：探究规律：(l)ABCABPAOCDABOP、CP解口CPB(2) AABP因为平行线间的距离

9、相等，所以无论点P在m上移动到任何位置，总有ABP与4ABC同底等高，因此，它们的面积总相等.解决问题：画法如图267所示.连接EC过点D作DF/EC交CM于点F,连接EF,EF即为所求直路位置.设EF交CD于点H,由上面得到的结论可知：Saecf=Saecd,Sahcf=Saedh,所以s五边形abcde=S五边形abcfe,S五边形edcmn=S四边形efmn点拨：本题是探索规律题，因此在做题时要从前边问题中总结出规律，后边的问题要用前边的结论去一做，所以要连接EC,过D作DF/EC再运用同底等高的三角形的面积相等.【例3】(2005,成都模拟，12分)如图268所示，已知抛物线的顶点为M

10、(2,4),且过点A(1,5),连结AM交x轴于点B.求这条抛物线的解析式；求点B的坐标；设点P(x,y)是抛物线在x轴下方、顶点M左方一段上的动点，连结PO,以P为顶点、PQ为腰的等腰三角形的另一顶点Q在x轴上，过Q作x轴的垂线交直线AM于点R,连结PR设面PQR的面积为S.求S与x之间的函数解析式；在上述动点P(x,V)中，是否存在使SapqR=2的点？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.解：(1)因为抛物线的顶点为M(2,4)所以可设抛物线的解析式为y=(x2)2-4.因为这条抛物线过点A(1,5)所以5=a(12)24.解得a=1.所以所求抛物线的解析式为y=(x2)2-4(2)

11、设直线AM的解析式为y=kx+b.因为A(1,5),M(2,4)kb=5图26-9所以I,2kb=4解得k=-3,b=2.所以直线AM的解析式为y=3x+2.当y=0时，得x=2,即AM与x轴的交点B(2,0)33(3)显然，抛物线y=x24x过原点(0,0当动点P(x,y)使POQ是以P为顶点、PO为腰且另一顶点Q在x轴上的等腰三角形时，由对称性有点Q(2x,0)因为动点P在x轴下方、顶点M左方，所以0vxv2.21因为当点Q与B(同，0)重合时，PQ林存在，所以x-,331所以动点P(x,y)应满足条件为0vxv2且xwq,3因为QR与x轴垂直且与直线AM交于点R,所以R点的坐标为(2x,

12、6x+2)如图269所示，作PHXORTH,则PH=xQxP|T2xx|=x,QR46x2|1 1而S=APQR勺面积=2QR-PH=2|-6x2|x下面分两种情形讨论：_1一当点Q在点B左万时，即0vxw时,3当R在x轴上方，所以一6x+2>0.所以S=2(-6x+2)x=3x2+x;.，、一rr1一当点Q在点B右万时，即-vx<2时3点R在x轴下方，所以一6x+2<0.所以S=2(6x+2)x=3x2-x;即S与x之间的函数解析式可表示为-3x2r(0；：x；：-)S=c2,1c、3x-x(-:x：2)3(4)当S=2时，应有一3x2+x=2,即3x2-x+2=0,显然&

13、lt;0,此方程无解.或有3x2x=2,即3x2x2=0,解得xi=1,x2=当x=l时，y=x24x=3,即抛物线上的点P（1,3）可使Sapqr=2;当x=2V0时，不符合条件，应舍去.3所以存在动点P,使Sapq=2,此时P点坐标为（1,-3）点拨：此题是一道综合性较强的探究性问题，对于第（1）问我们可以采用顶点式求得此抛物线，而（2）中的点B是直线AM与x轴的交点，所以只要利用待定系数法就可以求出直线AM从而得出与x轴的交点B.（3）问中注意的是Q点所处位置的不同得出的S与x之间的关系也随之发生变化.（4）可以先假设存在从而得出结论.出、综合巩固练习：（100分90分钟）1 .观察图2

14、610中）至中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放.记第图2-6-11n12345713713(1)(3)'S2-6-10填下表：n个图中小黑点的个数为y.解答下列问题：当n=8时，y=根据上表中的数据，把n作为横坐标，把y作为纵坐标，在图2-611的平面直角坐标系中描出相应的各点（n,y）,其中1Wnw5；（4）请你猜一猜上述各点会在某一函数的图象上吗？如果在某一函数的图象上，请写出该函数的解析式.2 .（5分）图2612是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子.观察图形的变化规律,写出第n个小房子用了块石子.CQB图2-6-12图2-6-133 .（10分）已知RtABC中，AC=

15、5BC=12/ACB=90°,P是AB边上的动点（与点AB不重合），Q是BC边上的动点（与点B、C不重合）.如图2613所示，当PQ/AC,且Q为BC的中点时，求线段CP的长；当PQ与AC不平行时，CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围，若不可能，请说明理由.4 .如图2614所不',在直角坐标系中，以A（1,一1）,B（1,1）,C（1,1）,D（1,l）为顶点的正方形，设正方形在直线11：y=x及动直线I2：y=x+2a（l<a<1）上方部分的面积为S（例如当a取某个值时，S为图中阴影部分的面积），试分别求出当a=0,a=1时，相应的

16、S的值.图2-6-145. （10分）如图2615所示，DE是4ABC的中位线，/B=90°,AF/BC.在射线AF上是否存在点M使MECCIADE相似？若存在，请先确定点M,再证明这两个三角形相似；若不存在，请说明理由.图2-6-156.如图2616所示，在正方形ABCD,AB=1,AC是以点B为圆心.AB长为半径的圆的一段弧点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作AC所在圆的切线，交边DC于点F石为切点.当/DE已45°时，求证点G为线段EF的中点；设AE=x,FC=y,求y关于x的函数解析式；并写出函数的定义域；一一.5.图2617所不，将4DEF沿直

17、线EF翻折后得D1EF,当EF=时，讨论人口口与46EDF是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由。（图2618为备用图）7. （10分）取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD寸折，折痕为MN如图2619（1）所示;第二步：再把B点叠在折痕线MNk,折痕为AE,点B在MNk的对应点B',得RtAB'E,如图2619(2)所示；第三步：沿EB'线折叠得折痕EF,如图2619所示；利用展开图2619(4)所示探究:(l)4AEF是什么三角形？证明你的结论.(2)对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请

18、说明理由.8. (10分)某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要结论.一是发现抛物线y=ax2+2x+3(aw0)当实数a变化时，它的顶点都在某条直线上；二是发现当实数a变化时，若把抛物线y=ax2+2x+3(aw0)顶点的横坐标减少1 ,纵坐标增加1,得到A点的坐标；若把顶点的横坐标增加-,纵坐标增加1,得aaaa到B点的坐标，则A、B两点一定仍在抛物线y=ax2+2x+3(a0).请你协助探求出实数a变化时，抛物线y=ax2+2x+3(aW0)的顶点所在直线的解析式；问题中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗？并说明理由；在他们第二个发现的启发下，运用“一般一特殊一一般”的思想，你还能发现什么？你能用数学语言将你的猜想表述出来吗？你的猜想能成立吗？若能成立，请说明理由。9 .已知