九年级数学初中数学旋转的专项培优易错难题练习题及详细答案

1、九年级数学初中数学旋转的专项培优易错难题练习题及详细答案一、旋转1.如图所示，ABC和4ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，/BAC=/DAE=90,EC的延长线交BD于点P.（1）把4ABC绕点A旋转到图1,BD,CE的关系是（选填相等”或不相等”）；简要说明理由；（2）若AB=3,AD=5,把4ABC绕点A旋转，当/EAC=90时，在图2中作出旋转后的图形，PD=,简要说明计算过程；（3）在（2）的条件下写出旋转过程中线段PD的最小值为,最大值为.A部一部与郅E【答案】（1）BD,CE的关系是相等；（2）534或20扃；（3）1,71717【解析】分析：（1）依据ABC和ADE是有公共顶点

2、的等腰直角三角形，/BAC=/DAE=90,即可BA=CA/BAD=/CAE,DA=EA进而得至UAABDAACEL,可彳导出BD=CR（2）分两种情况：依据/PDA=/AEC,/PCD=/ACE,可得PC2ACE即可得到PD=CD，进而得至|JPD=$/34;依据/ABD=/PBE,/BAD=/BPE=90,可得AECE17BADsbpe,即可得至Upl-霹，进而得出PB=6734,PD=BD+PB=2034；（3）以A为圆心，AC长为半径画圆，当CE在。A下方与。A相切时，PD的值最小；当CE在在。A右上方与。A相切时，PD的值最大.在RPED中，PD=DE?s冠PED,因此锐角/PED的

3、大小直接决定了PD的大小.分两种情况进行讨论，即可得到旋转过程中线段PD的最小值以及最大值.详解：（1）BD,CE的关系是相等.理由：ABC和4ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，/BAC=ZDAE=90,BA=CA,/BAD=ZCAEDA=EA.ABDAACE,BD=CE故答案为相等.（2）作出旋转后的图形，若点C在AD上，如图2所示：-ce=Vac2ae2痴， /PDA=ZAEC,/PCD=ZACE.,.PCDAACEPDCDAECE PD=5、5；17若点B在AE上，如图2所示: /BAD=90；ABD中，BD=JaD2Ab2734，BE=AE-AB=2, /ABD=ZPBE/BAD=Z

4、BPE=90, .BADABPEPBBEPB2,即i,ABBD3.34解得pb=扃,34.PD=BD+PB=734+-6V34=207343417故答案为5.34或20.34；1717PD(3)如图3所示，以A为圆心，AC长为半径画圆，当CE在。A下方与OA相切时,的值最小；当CE在在。A右上方与。A相切时，PD的值最大.如图3所示，分两种情况讨论：在RtPED中，PD=DE?sinPED因此锐角/PED的大小直接决定了PD的大小.当小三角形旋转到图中4ACB的位置时，在RtACE中，CE%232=4,在RDAE中，口二斤亨5亚,四边形ACPB是正方形，PC=AB=3,PE=3+4=7,在Rt

5、APDE中，PD=VDE1_PE2J50491,即旋转过程中线段PD的最小值为1；当小三角形旋转到图中ABC时，可得DP为最大值，此时，DP=4+3=7,即旋转过程中线段PD的最大值为7.故答案为1,7.点睛：本题属于几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、圆的有关知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会分类讨论的思想思考问题，学会利用图形的特殊位置解决最值问题.2.如图1,4ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6cm,点D从。点出发，沿OM的方向以1cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将4

6、ACD绕点C逆时针方向旋转60得到ABCE连结DE.(1)求证：4CDE是等边三角形；(2)如图2,当6vtv10时，4BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出4BDE的最小周长；若不存在，请说明理由；(3)如图3,当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析(2)见解析(3)存在【解析】试题分析：(1)由旋转的性质得到/DC&60。，DC=EC,即可得到结论；(2)当6vt10时，由旋转的性质得到BE=AD,于是得到Cadbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根据等边三角形的性质得到DE=

7、CD,由垂线段最短得到当GDIAB时，4BDE的周长最小，于是得到结论；(3)存在，当点D于点B重合时，D,B,E不能构成三角形，当046时，由旋转的性质得到/ABE=60,/BDE60,求得/BED=90,根据等边三角形的性质得到ZDEB=60；求得/CEB=30；求得OD=OA-DA=6-4=2,于是得到t=2+1琢当6t10s时，由旋转的性质得到/DBE=60,求得/BDE60,于是得到t=14+1=14.试题解析：(1)证明：二,将4ACD绕点C逆时针方向旋转60得到ABCE/DGE=60；DG=EG, .CDE是等边三角形；(2)存在，当6t10时，由旋转的性质得，BE=AD, Ca

8、dbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,由(1)知，4cde是等边三角形，DE=GD, Cadbe=CD+4,由垂线段最短可知，当GDIAB时，4BDE的周长最小，此时，GD=2,3cm, .BDE的最/、周长=CD+4=273+4;(3)存在，二当点D与点B重合时，D,B,E不能构成三角形，当点D与点B重合时，不符合题意；当0490,，此时不存在；当t10s时，由旋转的性质可知，ZDBE=60,又由(1)知/CDE=60,/BDE=ZCDE+/BDC=60+ZBDC,而/BDC0, /BDE60； 只能/BDE=90；从而/BCD=30, .BD=BC=4,1.OD=14cm,-t=

9、14+1K4综上所述：当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形.点睛：在不带坐标的几何动点问题中求最值，通常是将其表达式写出来，再通过几何或代数的方法求出最值；像第三小问这种探究性的题目，一定要多种情况考虑全面，控制变量，从某一个方面出发去分类.3.在平面直角坐标系中，。为原点，点A(3,0),点B(0,4),把AABO绕点A顺时针旋转，得aABO,点B,。旋转后的对应点为B；0.(1)如图1,当旋转角为90。时，求BB的长；(2)如图2,当旋转角为120时，求点0的坐标；(3)在(2)的条件下，边0B上的一点P旋转后的对应点为P；当OP+AP取得最小值时，求点P的坐标.(直

10、接写出结果即可)【答案】(1)5亚；(2)0(9,随)；(3)P(27,63).2255【解析】【分析】(1)先求出AB.利用旋转判断出ABB是等腰直角三角形，即可得出结论；(2)先判断出/HAO=60：利用含30度角的直角三角形的性质求出AH,0H,即可得出结论；(3)先确定出直线0C的解析式，进而确定出点P的坐标，再利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论.【详解】(1).A(3,0),B(0,4),.1.0A=3,0B=4,，AB=5,由旋转知，BA=BA,/BAB=90,ABB是等腰直角三角形，BB=&AB=542；(2)如图2,过点。作OHx轴于H,由旋转知，OA=OA=3,/O

11、AO=120；/HAO=60,0ZHOA=30；.AH=-AO=-,OH=V3AH=3/1,z.OH=OA+AH=-,2222933、.O(;22(3)由旋转知，AP=AP,.OP+AP=OP+AP.如图3,作A关于y轴的对称点C,连接OC交y轴于P,OP+AP=OP+CP=OC,此日OP+AP的值最小.点C与点A关于y轴对称，C(-3,0).O(9,3!叵)，直线OC的解析式为y=V3x+33,4x=0,.-.y=3Zl,/.P(0,22555335.OF=OP=33,5作PDOH于D.OD=-OP=33,210K2图3/BOA=ZBOA=90；/AOH=30；/DPO=30,PD=V3OD

12、=,1-DH=OH-OD=6,OH+PD=-27,.P(_27,6/1)105555【点睛】30度角的直角三本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，含角形的性质，构造出直角三角形是解答本题的关键.4.已知4ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6,点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将4ACD绕点C逆时针方向旋转60得至iJBCE连接DE.(1)如图1,猜想：4CDE的形状是三角形.(2)请证明(1)中的猜想(3)设OD=m,当6vmv10时，4BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出4BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由.是否存在m的值

13、，使4DEB是直角三角形，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由.CC三图1图2【答案】（1）等边；（2）详见解析；（3）2氏+4；当m=2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形.【解析】【分析】（1）由旋转的性质猜想结论；（2）由旋转的性质得到/DCE=60。，DC=EC,即可得到结论；（3）当6vmv10时，由旋转的性质得到BE=AD,于是得到CadbE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根据等边三角形的性质得到DE=CD,由垂线段最短得到当0DAB时，4BDE的周长最小，于是得到结论；存在，分四种情况讨论：a）当点D与点B重合时，D,B,E不能构成三角形；b）当0

14、用6时，由旋转的性质得到ZABE=60,/BDEv60,求得/BED=90：根据等边三角形的性质得到/DEB=60,求得/CEB=30,求得OD=OA-DA=6-4=2=m;c）当6m10时，由旋转的性质得到ZDBE=60,求得/BDE60,于是得到m=14.【详解】（1）等边；（2）二将4ACD绕点C逆时针方向旋转60得到4BCE1/DCE=60,DC=EC,.CDE是等边三角形.（3）存在，当6vt10时，由旋转的性质得：BE=AD, Cadbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,由（1）知，4CDE是等边三角形，.DE=CD, .Cadbe=CD+4,由垂线段最短可知，当CDAB时

15、，4BDE的周长最小，此时，CD=2J3, .BDE的最小周长=CD+4=273+4；存在，分四种情况讨论：a）二当点D与点B重合时，D,B,E不能构成三角形，当点D与点B重合时，不符合题意；b）当0用90,，此时不存在；d）当m10时，由旋转的性质可知，/DBE=60,又由（1）知/CDE=60,ZBDE=ZCDEnZBDC=60+ZBDC,而/BDC0,./BDE60,.只能/BDE=90；从而/BCD=30,BD=BC=4,，OD=14,，m=14.综上所述：当m=2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形.【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，

16、直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.5.如图1,四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与CD不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG连接BG,DE.（1）猜想图1中线段BG线段DE的长度关系及所在直线的位置关系，不必证明;将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针方向旋转任意角度”，得到如图2情形.请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断.（2）将原题中正方形改为矩形（如图3、4）,且AB=a,BC=b,CE=kaCG=kb（ahk0）,第（1）题中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图由.4为例简要说明理1(3)在第

17、(2)题图4中，连接DGBE,且a=3,b=2,k=-,求BE2+DG2的值.【答案】(1)BG，DE,BG=DE;BG，DE,证明见解析；(2)BGiDE,证明见解析；(3)16.25.【解析】分析：(1)根据正方形的性质，显然三角形BCG顺时针旋转90。即可得到三角形DCE,从而判断两条直线之间的关系；结合正方形的性质，根据SAS仍然能够判定BC84DCE,从而证明结论；(2)根据两条对应边的比相等，且夹角相等可以判定上述两个三角形相似，从而可以得到(1)中的位置关系仍然成立；(3)连接BE、DG.根据勾股定理即可把BE+DG2转换为两个矩形的长、宽平方和.详解：(1)BGDE,BG=DE

18、二.四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，.BC=DQCG=CE/BCD=/ECG=90,/BCG=ZDCE.-.BCGADCEBG=DE,/CBGNCDE又/CBG+/BHC=90,/CDE+/DHG=90；.BGDE.(2) AB=a,BC=b,CE=kaCG=kb,BCCGbDCCEa又/BCG=ZDCE,.,.BCGADCE/CBG=ZCDE又/CBG+/BHC=90,/CDE+/DHG=90；BGXDE.(3)连接BEDG.根据题意，得AB=3,BC=2,CE=1.5,CG=1,BGDE,/BCD=ZECG=90BE2+DG2=BO2+qE2+DQ2+OG2=BC?+CC2+cE?

19、+CG2=9+4+2.25+1=16.25.点睛：此题综合运用了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理.6.如图1,4ABC中，CA=CB,ZACB=90,直线l经过点C,AFL于点F,B已l于点E.(1)求证：4AC阵4CBE(2)将直线旋转到如图2所示位置，点D是AB的中点，连接DE.若AB=4,ZCBE=30:求DE的长.jH1配了【答案】(1)答案见解析；(2)屈乖【解析】试题分析：(1)根据垂直的定义得到/BEC=/ACB=90,根据全等三角形的性质得到/EBO/CAF,即可得到结论；(2)连接CD,DF,证得BCEACF,根据全等三角形的性质得到BE=CF,CE

20、=AF,证得DEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到EF=&DE,EF=C&BE,进而得到DE的长.试题解析：解：(1).BEXCE,ZBEC=ZACB=90,/EBG/BCE=/BCEnZACF=90；./EBO/CAF.-.AFXl于点F,./AFC=90：AFCBEC90在ABCE与AACF中，EBCACF,/.AACFACBE(AAS);BCAC(2)如图2,连接CD,DF.BEXCE,./BEC=/ACB=90,/EBG/BCE=/BC&/ACF=90；./EBO/CAF.-.AFXl于点F,./AFC=90：AFCBEC90在ABCE与ACAF中，EBCACF,ABCE

21、ACAF(AAS);BCACBE=CF.,点D是AB的中点,CD=BD,/CDB=90；./CBD=/ACD=45；而BECF/EBO/CAF,./EBD=/DCF.在BDE与CDF中，EBDFCD,BDCF.,.BDEACDF(SAS,，/EDB=/FDC,DE=DF,/BDE+/CDE=90；/FDG/CDE=90；即/EDF=90:EDF是等腰直角三角形，EF=6DE,.EF=C9CF=C9BE./CA=CB,/ACB=90；AB=45y2,.BC=4.又/CBE=30,.-.ce=2bc=2,be=V3ce=273,ef=ce+be=2+273,.de=-E2=23=42+46.屏点睛

22、：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，证得ABC4ACF是解题的关键.7.已知：在ABC中，BC=a,AC=b,以AB为边作等边三角形ABD.探究下列问题：(1)如图1,当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3,且/ACB=60,则CD=;(2)如图2,当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6,且/ACB=90,则CD-；(3)如图3,当/ACB变化，且点D与点C位于直线AB的两侧时，求CD的最大值及相应的/ACB的度数.【答案】(1)3m；(2)3；63工(3)当/ACB=120时，CD有最大值是a+b.【解析】【分析】(1)a

23、=b=3,且/ACB=60,AABC是等边三角形，且CD是等边三角形的高线的2倍，据此即可求解；(2)a=b=6,且/ACB=90,AABC是等腰直角三角形，且CD是边长是6的等边三角形的高长与等腰直角三角形的斜边上的高的差；(3)以点D为中心，将4DBC逆时针旋转60,则点B落在点A,点C落在点E.连接AE,CE,当点E、A、C在一条直线上时，CD有最大值，CD=CE=a+b【详解】(1),.a=b=3,且/ACB=60,.ABC是等边三角形，入.3，OC=工,，CD=;(3)以点D为中心，将4DBC逆时针旋转60,则点B落在点A,点C落在点E.连接AE,C匕 .CD=ED,/CDE=60；

24、AE=CB=a.CDE为等边三角形, .CE=CD当点E、A、C不在一条直线上时,有CD=CEAE+AC=a+lb当点E、A、C在一条直线上时，CD有最大值，CD=CE=a+b只有当/ACB=120时，/CAE=180,即A、GE在一条直线上，此时AE最大 ./ACB=120,因此当/ACB=120时，CD有最大值是a+b.CD有最大值的条件,本题主要考查了等边三角形的性质，以及轴对称的性质，正确理解是解题的关键.8.如图2,边长为2的等边ABC内接于。O,4ABC绕圆心O顺时针方向旋转得到rttMEL,Ae别与AB、AC交于E、D点，设旋转角度为成配值而阴.图1图2(1)当R=_,AB,qA

25、BC出现旋转过程中的第一次完全重合；(2)当以=60时(如图1),该图()A.是中心对称图形但不是轴对称图形B.是轴对称图形但不是中心对称图形C.既是轴对称图形又是中心对称图形D.既不是轴对称图形也不是中心对称图形(3)如图2,当当父状120,4ADE的周长是否会发生变化，如会变化，说明理由，如不会变化，求出它的周长.【答案】(1)120;(2)C;(3)的周长不变.【解析】【分析】(1)根据等边三角形的中心角为120。可直接求解；(2)根据题意可知，当我=60时，点A、小、B、E、C：为。的六等分点，所有的三角形都是正三角形，由此可得到所有图形即是轴对称图形，又是中心对称图形；(3)得到结论

26、：周长不发生变化，连接根据弦相等，则它们所对的弧相等的性质可得如二品，即招*国，再根据等弧所对的圆周角相等，得由等角对等边的性质可得E/二附同理二加7因此可求小四的周长+FD+DAA+ED+DC=AC=2=【详解】解：(1)120.如图，可根据等边三角形的性质直接根据三角形的内角和求得/0=120；C（3）小DE的周长不变;理由如下：连接AA,AR=AC，叼同理，c考点：正多边形与圆，圆周角定理9.如图1,在4ABC中，E、D分别为AB、AC上的点，且ED/BC,。为DC中点，连结EO并延长交BC的延长线于点F,则有S四边形EBCD=SzEBF.（1）如图2,在已知锐角/AOB内有一个定点P.

27、过点P任意作一条直线MN,分别交射线OA、OB于点M、N.将直线MN绕着点P旋转的过程中发现，当直线MN满足某个条件时，MON的面积存在最小值.直接写出这个条件：.0）、（6,3）、（2）如图3,在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点A、B、C、P的坐标分别为（6,（4、2）,过点P的直线l与四边形OABC一组对边相交，将3C图N四边形OABC分成两个四边形，求其中以点。为顶点的四边形面积的最大值.【答案】（1）当直线MN旋转到点P是线段MN的中点时，AMON的面积最小；（2）10.【解析】试题分析：（i）当直线旋转到点P是MN的中点时SAmon最小，过点M作MG/OB交EF于G.由全等三角形的

28、性质可以得出结论；（2）如图3过点P的直线l与四边形OABC的一组对边OCAB分别交于点M、N,由（i）的结论知，当PM=PN时，4MND的面积最小，此时四边形OANM的面积最大，S四边形OANM=SOAD-SXMND.如图3，过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N,利用S四边形ocmn=Saoc-SamnT,进而得出答案.试题解析：（1）当直线MN旋转到点P是线段MN的中点时，AMON的面积最小.如图2,过点P的另一条直线EF交OA、OB于点E、F,设PFvPE,过点M作MG/OB交EF于G,可以得出当P是MN的中点时S四边形MOFG=S/MON.S四边形mofgc

29、Saeof,SamonSaeof.，当点P是MN的中点时SAMON最小.圈2）（2）分两种情况：如图3过点P的直线l与四边形OABC的一组对边OGAB分别交于点M、N.延长OCAB交于点D,易知AD=6,Saoad=18.由（1）的结论知，当PM=PN时，AMND的面积最小，此时四边形OANM的面积最大.过点P、M分别作PRXOA,MMiOA,垂足分别为Pi、Mi.由题意得MiPi=PiA=2,从而OMi=MMi=2,又P（4,2）,B（6,3）.PiA=MiPi=OMi=PiP=2,MiM=OM=2,可证四边形MMiRP是正方形.MN/OA,/MND=90；NM=4,DN=4,求得Samnd

30、=8.F四边机ANM=*I*f如图3，过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CROA分别交M、N.延长CB交x轴于T点，由B、C的坐标可得直线BC对应的函数关系式为y=-x+9.则T点的坐标为（9,0）.II1981.Saocfx9k4.由（i）的结论知：当PM=PN时，AMNY的面积最小，此时四边形OCMN的面积最大.过点P、M点分别作PPiOA,MMiOA,垂足为Pi,Mi.从而NPi=RMi,MMi=2PR=4.，点M的横坐标为5,点P（4、2）,PiMi=NPi=i,TN=6.8133综上所述：截得四边形面积的最大值为10.*yfr1，Samnt=?X6X4=12S四边形ocmn=

31、Saoct-Qmnt=4-12=10.图图3考点：1.线动旋转问题；2.正方形的判定和性质；3.图形面积求法；4.分类思想的应用10.(1)问题发现如图1.4ACB和4DCE均为等腰直角三角形，/ACB=90,B,C,D在一条直线上.填空:线段AD,BE之间的关系为.(2)拓展探究解决问题如图3,线段PA=3点B是线段PA外一点，PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90得到线段AC,随着点B的位置的变化，直接写出PC的范围.如图2QACB和4DCE均为等腰直角三角形，/ACB=/DCE=90，请判断AD,BE的关系，并说明理由.期】【答案】(1)AD=BE,ADBE.(2)AD=BEAD

32、XBE.(3)5-3&PC5+32.【解析】【分析】(1)根据等腰三角形性质证交AD于点F,由垂直定义得(2)根据等腰三角形性质证得/OHB=90,ADBE；ACDABCE(SAS,得AD=BE,/EBC=ZCAD,延长BEADBE.ACDABCE(SAS,AD=BE,/CAD=/CBE由垂直定义(3)作AEAP,使得AE=PA则易证APEACP,PC=BE当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE故5-3T2WBEW5+32.【详解】(1)结论：AD=BE,ADBE.理由：如图1中， ACB与DCE均为等腰直角三角形,.AC=BC,CE=

33、CD/ACB=ZACD=90；在RtACD和RtBCE中AC=BCACD=BCECD=CE .ACDABCE(SA,.AD=BE,/EBC4CAD延长BE交AD于点F,BCAD, /EBC-+ZCEB=90, /CEB=AEF /EAD+/AEF=90, ./AFE=90即ADBE.AD=BE,ADBE.故答案为AD=BE,ADXBE.(2)结论：AD=BE,ADBE.理由：如图2中，设AD交BE于H,AD交BC于O.ACB与DCE均为等腰直角三角形，.AC=BC,CE=CD/ACB=/ECD=90, .ACD=ZBCE,在RtACD和RtBCE中AC=BCACD=BCE,CD=CE .ACD

34、ABCEE(SAS, .AD=BE,/CAD=/CBE /CAO+/AOC=90；AAOC=ZBOH, /BOH+ZOBH=90；/OHB=90；ADXBE,.AD=BE,ADBE.(3)如图3中，作AEXAP),使得AE=PA则易证APEACP.PC=BE图3-1中，当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE=5-3/2,图3-2中，当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE=5+3/2,.5-3拒WBEW5短，即5-3亚&PCW5+32-13-1本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会

35、添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题.11.正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB的中点，连接EF.(1)如图1,若点G是边BC的中点，连接FG,则EF与FG关系为：；(2)如图2,若点P为BC延长线上一动点，连接FP,将线段FP以点F为旋转中心，逆时针旋转90,得到线段FQ,连接EQ,请彳#想BF、EQ、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论.(3)若点P为CB延长线上一动点，按照(2)中的作法，在图3中补全图形，并直接写出BF、EQBP三者之间的数量关系:G图1图2部【答案】（1）证明见解析（2）BF+EQ=BP（3）BF+BP=EQ【解析】试

36、题分析：（1）EF与FG关系为垂直且相等（EF=FG且EFFG）.证明如下：点E、F、G分别是正方形边AD、AB、BC的中点，AEF和BGD是两个全等的等腰直角三角形.，EF=FG/AFE=/BFG=45/EFG=90,即EFFG.（2）取BC的中点G,连接FG,则由SAS易证FQEFPG从而EQ=GP因此EF应BPEQ.（3）同（2）可证FQEFPG（SAS,得EQ=GP因此，EFGF&BG&GPBPEQBP.12.在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点0（0,0）,点A（5,0），点B（0,3）.以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC,得到矩形ADEF,点O,B,C的对应点分别为D,E

37、,F.图图（I）如图，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；（n）如图，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H.求证AADBAAOB;求点H的坐标.（出）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为KDE的面积，求S的取值范围（直接写出结果即可）.【答案】（I）点D的坐标为（1,3）.（n）证明见解析；点H的坐标为（17,3）.（出）303.34303.34【解析】分析：（I）根据旋转的性质得AD=AO=5，设CD=k在直角三角形ACD中运用勾股定理可CD的值，从而可确定D点坐标；（n）根据直角三角形全等的判定方法进行判定即可；由知BADBAO,再根据矩形的性质得CBAOAB.从而BADCBA,故B

38、H=AH,在RtACH中，运用勾股定理可求得AH的值，进而求得答案；（出）303庖S303后44详解：（I）.点A5,0，点B0,3,OA5,OB3.四边形AOBC是矩形，ACOB3,BCOA5,OBCC90.;矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到的，ADAO5.在RtVADC中，有AD2AC2DC2,DCAD2AC2.52324.BDBCDC1.点D的坐标为1,3.(n)由四边形ADEF是矩形，得ADE90.又点D在线段BE上，得ADB90.由(I)知，ADAO,又ABAB,AOB90,RtVADBRtVAOB.由VADBVAOB,得BADBAO.又在矩形AOBC中，OA/BC,CBAOAB

39、.BADCBA.BHAH.设BHt,则AHt,HCBCBH5t.在RtVAHC中，有AH2AC2HC2,1722217t2325t.解得t.，BH5，点H的坐标为,35(出)303后S303扃.44.点睛：本大题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理以及旋转变换的性质等知识，灵活运用勾股定理求解是解决本题的关键13.(1)发现如图，点A为线段BC外一动点，且BCa,ABb.填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为(用含a,b的式子表示)(2)应用点A为线段BC外一动点，且BC3,AB1.如图所示，分别以AB,AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE.找出

40、图中与BE相等的线段，并说明理由；直接写出线段BE长的最大值.(3)拓展如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为2,0，点B的坐标为5,0，点P为线段AB外一动点，且PA2,PMPB,BPM90,求线段AM长的最大值及此时点P的坐标.【答案】(1)CB的延长线上，a+b;(2)DC=BE,理由见解析；BE的最大值是4;(3)AM的最大值是3+2J2,点P的坐标为(2-J2，J2)【解析】【分析】(1)根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；(2)根据等边三角形的性质得到AD=AB,AC=AE/BAD=/CAE=60,推出CADEAB,根据全等三角形的性质得到CD=BE

41、由于线段BE长的最大值二线段CD的最大值，根据(1)中的结论即可得到结果；(3)连接BM,将4APM绕着点P顺时针旋转90得至iJPBN,连接AN,得到4APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=PA=2,BN=AM,根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为2J2+3；如图2,过P作PEx轴于E,根据等腰直角三角形的性质即可得到结论.【详解】解：(1);点A为线段BC外一动点，且BC=a,AB=b,，当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b故答案为CB的延长线上，a+b;(2)CD=BE,理由：4ABD与4ACE是等边三角形，.AD=AB,AC=AE/BAD=/CAE=60,ZBAD+ZBAC=ZCAE+ZBAC,即/CAD=Z