学案20万有引力定律及其应用

1、学案 20 万有引力定律及其应用、概念规律题组1.对于质量分别为 mi和 m2的两个物体间的万有引力的表达式F =G,下列说法中正确的是（）A 公式中的 G 是引力常量，它不是由实验得出的，而是人为规定的C. m1和 m2所受引力大小总是相等的D 两个物体间的引力总是大小相等、方向相反的，是一对平衡力2已知万有引力常量为 G,现在给出下列各组数据，不可以计算出地球质量的是（）A地球绕太阳运行的周期 T 和地球离太阳中心的距离 RB .月球绕地球运行的周期 T 和月球离地球中心的距离 RC 人造地球卫星在地面附近运行的速度v 和运动周期 T课前取基凶厘挖冑*回扣魁念規律和方法核鱼率幕突破讲域结合

2、，宛破重点、热点和难点D .地球的自转周期T、地球的自转线速度和地球的平均密度3如图 1 所示，a、b、c 是地球大气层外圆形轨道上运动的三颗卫星, 且小于 c 的质量，则下列说法错误的是（）A.b 所需向心力最小B.b、c 的周期相同且大于 a 的周期C.b、c 的向心加速度大小相等，且大于 a 的向心加速度D . b、c 的线速度大小相等，且小于 a 的线速度二、思想方法题组a 和 b 质量相等4 如图 2 所示，同步卫星离地心距离为 r，运行速率为 V1,加速度为 a1,地球赤道上的 物体随地球自转的向心加速度为 a2,第一宇宙速度为 V2,地球的半径为 R，则下列比值 正确的是（ ）A

3、.ai_丄a2RV1rC. V2=R5.宇宙飞船和空间站在同一轨道上运动,轨道空间站，可采取的方法是（）A 飞船加速直到追上空间站，完成对接若飞船想与前面的空间站对接，飞船为了追上B 飞船从原轨道减速至一个较低轨道， 再加速追上空间站完成对接 C飞船加速至一个较高轨道再减速追上空间站完成对接D 无论飞船采取何种措施，均不能与空间站对接图 1核鱼率幕突破讲域结合，宛破重点、热点和难点一、万有引力定律及其应用重力与重力加速度1 .关于重力(1) 在地面上，忽略地球自转时，认为物体的向心力为零.各处位置均有GMmmg = -R2-由于 Fn= mRo2非常小，所以对一般问题的研究认为Fn= 0, m

4、g =R2.重力加速度(1) 任意星球表面的重力加速度：在星球表面处，由于万有引力近似等于重力，GMmg, g= R.(R 为星球半径，M 为星球质量)(2) 星球上空某一高度 h 处的重力加速度：Mm, GMGR+ h2=mg，g= R+ h2随着高度的增加，重力加速度逐渐减小.【例 1】(2009 江苏单科 3)英国新科学家(New Scientist)杂志评选出了 2008 年度世界 8 项科学之最，在 XTEJ1650 500 双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞M2的半径 R 约为 45 km,质量 M 和半径 R 的关系满足=三(其中 c 为光速，G 为引力常R 2G)10

5、210 m/s214210 m/s二、天体质量和密度的估算1解决天体圆周运动问题的一般思路利用万有引力定律解决天体运动的一般步骤(1) 两条线索1万有引力提供向心力 F = Fn.2重力近似等于万有引力提供向心力.(2) 两组公式2 21Gpr=mV：=mo2r=m4jnT2 22mgr= m = mo2r = m4jnr(gr为轨道所在处重力加速度)2天体质量和密度的计算(1) 利用天体表面的重力加速度g 和天体半径 R.由于 ? = mg,故天体质量 M = 誓，天体密度P=V = 4 = 4氏 4 定(2) 通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径 r 进行计算.22 3由万

6、有引力等于向心力，即GMrm- = m4jnr,得出中心天体质量M =吉学；量)，则该黑洞表面重力加速度的数量级为8 2A. 10 m/s12 2C. 10 m/s规范思维(B.D.32若已知天体的半径R，则天体的密度p=M=-=-=弟弟3；V 43GT R3KR3若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径3n则天体密度p=亓可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期天体的密度.【例 2】 已知万有引力常量 G,地球半径 R,月球和地球之间的距离r,同步卫星距地面的高度 h,月球绕地球的运转周期 Ti,地球的自转周期 T2,地球表面的重力加速度g.某同学根据以上条件，提出一种估算地

7、球质量M 的方法：同步卫星绕地心做圆周运动，2 3Mm/口由G_h= m得 M =GTJ.(1) 请判断上面的结果是否正确，并说明理由如不正确，请给出正确的解法和结果.(2) 请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果.动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由 知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加.2当卫星的速度突然减小时，向心力皿减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因rr 等于天体半径 R,T,就可估算出中心三、对人造卫星的认识及变轨问题1人造卫星的动力学特征 万有引力提供向心力，即GMTm_=m*=mrw2=口口( (罕罕22人造卫星的运动学特

8、征 (1)线速度v :由GMJm =m得v=角速度3：由 G r2= m $r得w=周期：由GMJm =m4fnr，得 T =2n增大.3卫星的稳定运行与变轨运行分析(1)什么情况下卫星稳定运行？ 卫星所受万有引力恰等于做匀速圆周运动的向心力时，将保持匀速圆周运动.当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用)，万有引力就当 v增大时，所需向心力 严增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运,随着轨道半径的增大，卫星的线速度减小.产,随着轨道半径的增大，卫星的角速度减小.，随着轨道半径的增大，卫星的运行周期此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入

9、新轨道运行时由【例 3】（2010 江苏单科 6）2009 年 5 月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在 A 点从圆形轨道I进入椭圆轨道n, B 为轨道n上的一点，如图 3 所示.关 于航天飞机的运动，下列说法中不正确的有（）A 在轨道n上经过 A 的速度小于经过 B 的速度B 在轨道n上经过 A 的动能小于在轨道I上经过 A 的动能C 在轨道n上运动的周期小于在轨道I上运动的周期D 在轨道n上经过 A 的加速度小于在轨道I上经过 A 的加速度规范思维四、 环绕速度与发射速度的比较及地球同步卫星1. 环绕速度与发射速度的比较近地卫星的环绕速度 v =，;GR= .gR = 7.9

10、 km/s,通常称为第一宇宙速度，它是地球周围所有卫星的最大环绕速度，是在地面上发射卫星的最小发射速度.不同高度处的人造卫星在圆轨道上的运行速度v= “： G*，其大小随半径的增大而减小但是，由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功，所以将卫星发射 到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大.2. 地球同步卫星特点（1）地球同步卫星只能在赤道上空.（2）地球同步卫星与地球自转具有相同的角速度和周期.（3）地球同步卫星相对地面静止.（4）同步卫星的高度是一定的.【例 4】我国成功发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥一号”.设该卫星的运行轨道是1圆形的，且贴近月球表面.已知月球的质量约

11、为地球质量的81，月球的半径约为地球半径的1,地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s,则该探月卫星绕月运行的速率约为（）4A. 0.4 km/sB. 1.8 km/sC. 11 km/sD. 36 km/s五、 双星问题【例 5】（2010 重庆理综）月球与地球质量之比约为1 : 80有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O 做匀速圆周运动.据此观点，可知月球与地球绕O 点运动的线速度大小之比约为（）A. 1 : 6400B. 1 : 80C. 80 : 1D . 6400 : 1规范思维但重力势能、机械能均减少（卫星的发射和回收就是利用了这一原理）

12、v =六、万有引力定律与抛体运动的结合【例 6】（2011 象山北仓两城适应性考试）在太阳系中有一颗行星的半径为 R,若在该星 球表面以初速度 vo竖直上抛一物体，则该物体上升的最大高度为 H.已知该物体所受的其 他力与行星对它的万有引力相比较可忽略不计（万有引力常量 G 未知）.则根据这些条件，可以求出的物理量是（）A. 该行星的密度B. 该行星的自转周期C. 该星球的第一宇宙速度D. 该行星附近运行的卫星的最小周期承时效果橙测限时自虬期速度”练规范丄提龍力【基础演练】1 . （2009 山东 18 改编）2008 年 9 月 25 日至 28 日,我国成功实施了 “神舟”七号载人航 天飞行

13、并实现了航天员首次出舱.飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343 千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343 千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟.下列判断正确的是（）A .飞船变轨前后的机械能相等B .飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态C .飞船在此圆轨道上运动的角速度小于同步卫星运动的角速度D .飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度2. （2011 山东济宁联考）某同学通过 In ternet 查询到“神舟”六号飞船在圆形轨道上运行一周的时间约为 90 分钟，他将这一信息与地球同步卫星进行比较，由此可知（ ）A .“神舟”六号在圆形轨道

14、上运行时的向心加速度比地球同步卫星小B .“神舟”六号在圆形轨道上运行时的速率比地球同步卫星小C .“神舟”六号在圆形轨道上运行时离地面的高度比地球同步卫星低D .“神舟”六号在圆形轨道上运行时的角速度比地球同步卫星小3. （2010 广元市第三次适应性考试）“嫦娥一号”探月飞船绕月球做“近月”匀速圆周运动，周期为 T,则月球的平均密度p的表达式为（k 为某个常数）（）k2A. p=TB. p=kTC. p=T2D. p=kT图 44.（2011 辽宁铁岭模拟）如图 4 所示，假设月球半径为R,月球表面的重力加速度为g0,飞船在距月球表面高度为3R 的圆形轨道I运动，到达轨道的A 点点火变轨进

15、入椭圆轨道H,到达轨道的近月点B 再次点火进入近月轨道川绕月球做圆周运动.贝U（）A .飞船在轨道I上的运行速度为B .飞船在 A 点处点火时，动能增加C .飞船在轨道I上运行时通过A 点的加速度大于在轨道n上运行时通过A 点的加速度D .飞船在轨道川绕月球运行一周所需的时间为5. （2010 安徽合肥月考）随着“神七”飞船发射的圆满成功，中国航天事业下一步的进展备受关注.“神八”发射前， 将首先发射试验性质的小型空间站“天宫一号”， 然后才 发射“神八”飞船，两个航天器将在太空实现空间交会对接.空间交会对接技术包括两部分相互衔接的空间操作，即空间交会和空间对接所谓交会是指两个或两个以上的航

16、天器在轨道上按预定位置和时间相会，而对接则为两个航天器相会后在结构上连成一个 整体关于“天宫一号”和“神八”交会时的情景，以下判断正确的是（ ）A “神八”加速可追上在同一轨道的“天宫一号”B “神八”减速方可与在同一轨道的“天宫一号”交会C “天宫一号”和“神八”交会时它们具有相同的向心加速度D “天宫一号”和“神八”交会时它们具有相同的向心力6.（2010 山东理综 18）1970 年 4 月 24 日，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星 “东方红一号”发射成功，开创了我国航天事业的新纪元.如图 5 所示，“东方红一号”的运行轨道为椭圆轨道，其近地点M 和远地点 N 的高度分别为 43

17、9 km 和 2 384 km，则（ ）A .卫星在 M 点的势能大于 N 点的势能B .卫星在 M 点的角速度大于 N 点的角速度C.卫星在 M 点的加速度小于 N 点的加速度D .卫星在 N 点的速度大于 7.9 km/s7.（2010 安徽理综 17）为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于2011 年10 月发射第一颗火星探测器“萤火一号” 假设探测器在离火星表面高度分别为h1和h2的圆轨道上运动时，周期分别为T1和 T2.火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，引力常量为G 仅利用以上数据，可以计算出（）A .火星的密度和火星表面的重力加速度B 火星的质量和火星对

18、“萤火一号”的引力C 火星的半径和“萤火一号”的质量D 火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力【能力提升】& （2011 大同市一模）2009 年 6 月 19 日凌晨 5 点 32 分（美国东部时间 2009 年 6 月 18 日 下午5 点 32 分），美国航空航天局在佛罗里达州卡纳维拉尔角空军基地41 号发射场用“宇宙神-5”运载火箭将月球勘测轨道飞行器（LRO）送入一条距离月表 31 英里（约合 50km）的圆形极地轨道，LRO 每天在 50 km 的高度穿越月球两极上空 10 次.若以 T 表示 LRO 在离月球表面高度 h 处的轨道上做匀速圆周运动的周期， 以 R 表示月球

19、的半径，则（ ）A. LRO 运行的向心加速度为24nR T2B.LRO 运行的向心加速度为4nR+h T2C.月球表面的重力加速度为4nRT2D.月球表面的重力加速度为4T?R+h3T2R2题号12345678答案9.（2009 北京理综 22）已知地球半径为 R,地球表面重力加速度为g , 不 考 虑 地 球 自 转 的影响.（1）推导第一宇宙速度 V1的表达式;（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h,求卫星的运行周期 T 的表达式.10. （2010 全国I 25）iI 、J /liF、一/图 6如图 6 所示，质量分别为 m 和 M 的两个星球 A 和 B 在引力作

20、用下都绕 O 点做匀速圆周 运动，星球 A 和 B 两者中心之间的距离为L.已知 A、B 的中心和 O 三点始终共线，A和 B 分别在 O 的两侧引力常数为 G.（1）求两星球做圆周运动的周期；在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A 和 B，月球绕其轨道中心运行的周期记为.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2.已知地球和月球的质量分别为5.98X1024kg 和7.35X1022kg.求 T2与两者平方之比.（结果保留 3 位小数）学案 20 万有引力定律及其应用【课前双基回扣】1 . AC 2.BC 3.ABD 4.AD

21、 5.B思维提升1如果对万有引力定律只适用于质点这一条件缺乏深刻理解（或根本不注意适用条件）,往往不能认识到当两物体间的距离r 趋于零时，这两个物体不能看做质点，万有引力定律不适用于此种情况.m1m22 要弄清楚公式 F=G 的各物理量的含义当两物体可以看成质点时，r 是指两质点间距离；对质量分布均匀的球体，r 是指两球心间距离.Mmv24 n3 .对于绕地球运行的卫星， 应利用 G7 = ma= my = mr3= m来分析卫星的向心加速度、线速度、角速度、周期的大小比较及变化，其中r 是卫星的轨道半径.4.赤道上的物体的向心加速度a=30.034 m/s ,远小于地面上物体的重力加速度g=

22、9.8 m/ s2，故近似计算中忽略自转影响，而认为地面上物体的重力和该物体受到的万有引力相等，卫星上的物体处于完全失重状态，故F 引=mg = ma.卫星的向心加速度 a等于卫星所在处的重力加速度g,对近地卫星来讲 g = g= 9.8 m/s2.5.赤道上的物体与地球同步卫星的相同之处是：二者具有与地球自转相同的运转周期和 运转角速度，始终与地球保持相对静止状态，共同绕地轴做匀速圆周运动.【核心考点突破】例 1 C 可认为黑洞表面物体的重力等于万有引力,即 mg=GMm，即 g =GM ,MGM，将R2G2 8 2代入上式得 g = 2R= 245iP m/s2= 1X1012m/ S2规

23、范思维在星球表面，由 mg= GRm，得GM = gR2，若知星球表面重力加速度 星球半径R,可替换 GM，称为黄金代换；g=罟，由重力加速度 g 可将万有引力定 律和其它规律相联系，如运动学公式，机械能守恒定律等，实现综合解题.例 2 见解析解析(1)上面的结果是错误的，地球的半径R 在计算过程中不能忽略.234nR+hR+ h）得 M =正确的解法和结果：m(R+ h)(2)解法一 在地面上的物体所受的万有引力近似等于重力,GT2,GMm”由一RL= mg,解得/曰4nr3得M=_GT2.(i)已知卫星的轨道半径M=誓.解法二 对月球绕地球做圆周运动，由= m(Tn)2r,规范思维本题给出

24、了两种常用的求星球质量的方法：期 T 求质量(注意 r 为卫星到天体球心的距离)；(2)已知星球表面重力加速度gR2径 R 和引力常量 G,由 M =青，求星球质量.例 3 ABC 在椭圆轨道上运动，近地点的速度最大，远地点的速度最小，A 选项正确.由 万有引力定律可知飞机在 A 点受到的引力是个定值，由此结合牛顿第二定律可知飞机在 A 点的加速度是个定值，故 D 项错误.飞机从 A 点进入轨道n相对于轨道I可看成 向心运动，则可知飞机在轨道n上 A 点速度小于轨道I上 A 点速度，再结合动能定义式可知 B 选项正确.根据低轨道卫星的周期小，高轨道卫星周期大可知 C 选项正确.综上知正确答案为

25、 A、B、C.规范思维卫星的变轨问题注意区分这两种情况(1)制动变轨：卫星的速率减小，卫星做向心运动，轨道半径变小，需开动反冲发动机使 卫星做减速运动；(2)加速变轨：卫星的速率增大，卫星做离心运动，轨道半径变大，需开动反冲发动机使 卫星做加速运动.例 4 B 设地球的质量、半径分别为M、R,月球的质量、半径分别为 M、r，则 M=81, r = R.在星体表面，物体的重力近似等于万有引力，若物体质量为 mo,贝 V：R2222M R 16=mog,即 GM = gR ;在月球表面，满足 GM = g r ,由此可得：g=抽抽2g=8 已，已， 地球表面的第一宇宙速度V1= %t gR= 7.

26、9 km/s，在月球表面，有 v =. g r =討示=9x7.9 km/s1.8 km/s.r 和周星球半规范思维(1)解决此类题的关键：要明确卫星的第一宇宙速度等于最大环绕速度.(2)解决万有引力定律的应用问题，尽管题目很多，但基本方法是不变的，即把天体的运 动看成圆周运动，万有引力提供向心力.例 5 C 设地球和月球的质量分别为M、m,地月球心间距为 r,地球和月球的转动半径分别为仆仆2，由题意知31=32=3,则 G；m = M彳 n, G；m = m%，所以:=帶帶=盘盘. .vir1m 1 二者转动角速度相同，可知地球和月球绕0 点运动的线速度大小之比为= =亦，V22M 80即月

27、球与地球绕 0 点运动的线速度大小之比为80 : 1，本题只有选项 C 正确.规范思维本题就是经典的双星模型所谓双星模型，就是有一些天体的运动并非是 一颗星以另一颗星为中心做圆周运动， 而是两颗星都不是运动的中心， 它们绕二者连线 上的某一点做圆周运动，好像“被穿在一根杆上的两个小球”，以两个小球之间杆上的某一点为中心做圆周运动解决这类问题的关键是挖掘出双星问题的根本特点一一角速度相同，并以此列向心力方程.2例 6 CD 由竖直上抛运动规律得 g =器2 HMmgR2M3V2GMT=mgM=gR 尸厂=8nRH，G未知，故 A 错;3 戏规范思维 天体表面的抛体运动经常与万有引力定律结合来求解

28、围绕天体做匀速圆周 运动的物体的有关物理量，解决问题的办法是通过抛体运动求天体表面的重力加速度，再根据万有引力定律求T、3、天体质量或密度.也可以先根据万有引力定律求重力加10.（1）2nG7Lm解析（1）设两个星球 A 和 B 做匀速圆周运动的轨道半径分别为r 和 R,相互作用的万有引力大小为 F，运行周期为 T根据万有引力定律有：F =（R+疔根据已知条件不能分析行星的自转情况，根据GR?= mg=V= gR=由=m（2T）2R=mg 得 T=2nB 错;V2R2H=V0R“2HC 正确；R 2H 2nt”=2n 2= ：2RH , D 正确.V0V0速度，再分析抛体运动.【课时效果检测】1 . BC 2.C3.C 4.AD 5.C 6.BC 7.A9.（1）V1= gR（2）T=暂Rh解析（1）设卫星的质量为 m,地球的质量为8.BD不考虑地球自转的影响，在地球表面附近满足卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力则M，地球表面处的某物体质量为Mm ，2 GR2= m g 贝 U GM = R gV1Mm_mR=m将式代入式，得到V1= V Rg由式可MmmgR