指数均值与对数均值不等式-2026高考数学一轮常考题

指数均值与对数均值不等式

一.基本原理

--------(Q¥b)

1.对数均值不等式：两个正数。和的对数平均定义：L(a,b)=hna-\nb

a(a=b).

对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：

4cib<L(a,b)<"十"

2

(此式记为对数平均不等式)，取等条件：当且仅当时，等号成立.

证明如下：不失一般性，可设(1)先证：几<L(a,b)……①

不等式①oIna-lnZ?<=>lr)gv—J—<=>2\nx<x——(其中x二>1)

b\b\ax\b

]9ii

构造函数/(x)=21nx—(x——),(x>l),则/'(x)=—-l-==—(l-―)2.

XXXX

因为x>l时，fM<0,所以函数/(X)在(1,一)上单调递减，故/(x)</(l)=O,从

而不等式①成立.

(2)再证：应力)〈萼

2

2(--1)

__„_..,2(a-b).a<b,2(x-l)

不等式②oIna-Inb>------oIn—>--------qInx>-------

a+bb(£+1)(x+1)

b

构造函数g(x)=lnx-孚?则g'(%)=4(1)2

(x+1)X*+1)2X(X+1)2

因为x>l时，g'(x)>0,所以函数g(x)在(Ly)上单调递增,

故g(x)vg(l)=0,从而不等式②成立；综合(1)(2)知，%Ya,bsR：都有对数平均

不等式疝j成立，当且仅当。=8时，等号成立.

2

注：对数均值不等式实际上是对数不等式链：型二在双变元情

x+\2x

形下的应用.

2.对数不等式链

1

x-\2(x-l)3(X2-1)I[-I11I「、

-----<<-----------<\nx<yjx——f=<一(x—)<x—1,x£(1,-KO)；

xx+1---X2+4X+1------------------772元

xT1/kr1i3(炉-1)2(x-l)1十八

-----<—(x——)<yjx——f=<Inx<-----------<---------<x-\,xe(0,1).

x2xy/xx+4x4-1x+l

小卡eX2-ex'o演+0r2

3.指数均值不等式.若西,々£冗，则e2<---------二十。.

9-X2

证明：(方法1.双变量消元直接证明)

,百eXi~X2-1

欲证e2<--------,两边同除以涉，即证e2<----------,即证

菁一W斗一/

.一.6司一均

(为一七"工〉《*__],即证(内_电"工_-』+1>0

令x-％=f«<°)即证不等式/)_/+1>0当，V0时恒成立.

设。(，)=/_/+1，・・・"a)=e2+f-e2.g_/=、+：/_/=_/e2_(；+ij

i_1(t\

而涓>_Lt+1,即"--4-1>0,・・・“(/)<0,.・.°⑺在(-0。,0)上是减函数，又

2V2J

0(0)=0・・・。(/)>0恒成立，得证.

2l>V2v,v,X2

接着证明右边的不等式^e—'-ee4+e%同样设e——ee+e等价于

x2-xi2x2-xi2

X2Xz

2(e-2)<(x2-/乂*+e).令9一％=m(m>0),x2=xi+m,则

2(人心一-)<〃?(05+*+州)，两边同时除以人得2,"-1)

设h(m)=/n(1+d")—2伫,-1)=m+mem-2d”+2,厅(m)=1+(d"+me")-2d”=1

+rnem-em=l+(m-l)e,n,再求h,f(m)=em+=me,n>0(因为〃z>()),所以

h\m)在(0,-KO)上单调递增.由于"(0)=1+(0-1)e°=0,因为h\m)在(0,-Ko)上单调递

增，所以献m)在(0,+8)上单调递增,/?(m)>/i(0)=0+0-2x(l-l)=0,即

机（1+*）—2（*一1）＞0,所以2卜〃'-1）＜〃7（1十6〃）也就是

占一凡2

2

泊-产产+泊

综上，不等式e2<-------<得证.

%一西2

(方法2.对数均值不等式转化)

设％=In々=Inb,则。=ex',b=ex-,将a=e",力=ex-代入对数均值不等式

而<a"中,可得<二一滤，即<上《

xx

\r\a-\nbx}—x2\~2

心心、x

4ftlxr।ct—ba+be”—c'e'+e”

把。=e\b=*代入---------<-----=--------<--------

In(2-InZ?2x1-x22

^2.0内一0*20』+0叼

综上，由对数均值不等式可得到指数均值不等式e2<£__」<上工^.

X]—戈22

二.典例分析

例1.(2011年辽宁卷)己知函数/(人)=ln八一OA?十(2-〃)人

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若函数)，=/0)的图像与x轴交于A3两点，线段AB的中点的横坐标为飞,证明:

尸(马)<0

/

解：(2)/(x0)=--2ar0+(2-«),由

xo

[Inx.-ar.2+(2-a)x,=0(1)

/(x)=/(z)=o=1\.

[lnx2-ajc2~+(2-a)x2=0(2)

2

(1)-(2):In%1-lnx2=a(x：-%2)+(^-2)(%1-x2),同除以(可—/)得，

InX-Inx[一〃(X]+々)+(2-a)=0

x\~xi

\2

要证<0,只需证----2ax()+(2-a)=------tz(x)+x2)+(2-«)<0；

/M+x2

只需证----a(x.+M)+(2-a)~~-a(x.+/)+(2-a)；

M+W'"'7内-工2'~V7

根据对数平均不等式"旦〉一：，故原命题得证.

2例玉-lnx2

例2.(2010天津卷)已知函数/(幻二旄

(1)求函数、f(x)的单调区间;

3

(2)如果与工工2，且/(王)=/(工2)，证明：2+工2＞2.

解析：(2)/'(%)=/(工2)等价于1避7'=工2"必=＞lnK]-X]=111%2-々，故可得：

:1,由对数均值不等式可得：1=故芭+招＞2.

In$-Inx2In$-Inx22

1

小结：由上例可知，形如：f(x)=Inx+kx-\-bf(x)=Inx+ax+bx+c^t对数式

单独放，在构造对数均值不等式的方向上均是可行的.同时，一些指数结构通过指对转化,

亦可转化为上面两个形式，利用对均不等式可得偏移.

例3.(2021新高考1卷)己知函数/(x)=x(l-Inx).

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)设〃为两个不相等的正实数，且blna—aln〃=a—〃，证明：2＜，+！＜0.

ab

解析：证明，+2＞2同证法2.以下证明为+9＜。.不妨设公=为，贝打=X＞1,

ab玉

由$(1一】nM)=$(1Tn占)得再(1Tn再)=必[1—ln(3)],In百=1-,

Z—1

要证.11+占＜£，只需证(1+，)内＜6，两边取对数得ln(lT)+lnX1＜1,

即ln(l+/)+l—粤＜1,即证蚂匕。＜当.记g(s)=则匕&se(o,y),贝|J

r-1tt-\s

g(s)=币一"•记心)=号-31+s),则I⑸=了1-占＜。，

s~

所以，〃(S)在区间(0,+8)内单调递减.Ms)v〃(O)=O,则g＜s)＜0,

所以g($)在区间(O,y)内单调递减.由以(L+oo)得f-l«0,+oo),所以g(r)vg(T，

即蚂曳.

tt-\

例4.(2022全国甲卷)已知函数/(x)=J-ln1十1一。.

x

(1)若)(X)之()恒成立，求。的取值范围；

(2)若/(X)有两个零点刀,工2，证明：X\X2＜1•

解析：(2)此时，，二J有两个解玉,々，且。

X

4

xX22x

此时，e'=tx^e=tx^,两式相除，可得：e'~'=—<=>x^-x]=Inx,-In.

于是，欲证不匕<1只需证明：(对数均值不等式).易证！

Inx2-In%

例5.(2022新高考2卷)已知函数/(X)

(1)当。=1时，讨论/口)的单调性；

(2)当x>0时，/(x)<-l,求。的取值范围；

(3)设〃cN',证明：/—+—+…+/—>/〃(〃+D.

Vr+1\12~+2V/r+n

解析：(1)略.

(2)由当x>0时，/(x)<-l,得xe"—/<-1在区间(。,+8)内恒成立，即才

X

在区间(0,+8)内恒成立，在不等式，一;>21n«，>l)中，

X।X

令,=。*>0)，可得当%>0时，/一三>21n〃，即故当工>0时，不等式

ex-]-

----->e2成立.

x

当时，~1•在区间(°，+8)内恒成立，即在区间(0,+8)内

2xx

恒成立，满足题意.

当物-1>0,即则/⑼=2〃—1>0,因为g'(x)为连续不间断函数,故存在天£(0,”),

使得XZxe(O,%),总有，(力〉0,故g(x)在(。,/)为增函数，故g(x)>g(O)=O,故人(力在

(0,%)为增函数,故〃(少我⑼一,与题设矛盾.

(3)由于<L(a,b)

<=>\na-\nb<a<z>In—<—ho21nxvx-，（其中x=接下来

&b\bxVh

5

由上述不等式'房＞/〃（一＞'进一步求和可得:

个I<.k+1.23〃+1、.

X；,>=/〃(；x;x…x------)=ln(n+1),

仁心+k?k12n

111,,,、

gni------+]---------+…+/>bi(n+I)

即庐TTVF72斤金

例6.（2021年全国乙卷）设函数/（力二加（"力，已知x=0是函数yu3G）的极值点.

（1）求。；

X+f(X)

(2)设函数g(x)=处]•证明:g(x)<L

|1—r

解析：（2）令火x）=lnx-（x-l）,因为d（x）=-—l=—,所以奴x）在区间（0,1）内是增函

XX

数，在区间（l，y）内是减函数，所以以X）K°⑴=0,即InxWx-1（当且仅当x=l时取等

号）.故当xvl且4工0时，丁匚＞0且「一工1,InJ—＜J-—1,即一1!!（1-入）＜丁匚，所

\-x1-x\-xi-x\-x

Vv1X-11

以ln（l，D＞—7・当xe（0，l）时，0＞ln（l-x）＞-所以/［一＜:-二1一一，即

x-\x-\In（l-x）xx

所以g（x）＜l.当xe（YO,0）时，ln（l-.r）＞^-＞0,同理可证得

in（I-x）xx-\

综上所述，当人y且XHO时，j）vl,即g（x）＜l.

二Aln"（l：-x）

例8.（湖北省七市州2025届高三联考）已知函数/＞0）的图象「与椭圆

C.+y2=si）交于4,3两个不同的点.租0,/（0））是「上的点，「在匕处的切线交x轴

于点q（4，。），过G作'轴的垂线交「于外「在R处的切线交工轴于点口（%，0）,过0作、

轴的垂线交「于鸟，重复上述操作，依次得到&（生，0），2（包，。）一、0（q，0）.

（1）求4，。“；

（2）记直线A8的斜率为h

⑴设“0以,8。.2+2的面积分别为名工,证明:kvSn+T-

6

(ii)若a，=anan^,求证：k＜苏q.

解析：(i)由题意/。)=解k=/1o)=/,/⑼=/，「在外处的切线方程为y=a+/；

令尸0,可得x=-l,即％=-1.由Q,(q,O)可知勺("""")，「在2处的切线方程为

y=t^(x-an+｝)-令＞，=。可得x=%-l,即%川=%-1;所以数列｛〃“｝是以4为首项，公

差为-1的等差数列，所以

(2)⑴设A(M，X),3(%,)，2),由题意为,々不同时为。，不妨令人尸。且西＜士；

s.吟|。4|，9=9以a2|•由⑴可知以Q1=|QQ川|=《-%=1；

则S”=^=/e31=卷=/y.要证出＜s"+。，即证z=21二&=£1二£1＜生二竺，即

2222X1-七K一W2

9+e"令叫=*，…已即证产卜＜中，再令有色-I),

<------

Ing-\r.m2m

%一七2]

即证学，即证hU＞且曰.构造函数g(x)=l似-生二^(x＞l),贝IJ

hU22+1x+\

8'3=牛某＞°，所以gg)在上单调递增；即g(6＞g⑴=°•所以得

A(X+I)inx右

证.即&＜s"+却

毛+4=①

a"

(ii)由(i)可知，kJ二上土工所以X+%>2%.因为,,①—②得

224+^=1®

CT

-及=。；即"一』，，'+")+(y—%)(y+%)=°，即％+%=一。，()[+刈)・

①+②得亨+舟上2,因为…，所以—四所以亨斓号

所以2=/+)，；+)八(*+：2)2+。+乃)2=。％("%)\()1+),2)2>2'+2攵2.即

a21-2/222

/44+女2一]<0.当片=44用=〃(〃+])时，有〃(〃+1)&4+公_]<0,即

(成2+1)[(〃+1)%2一]k0；所以仇+1伙2_1<(),从而k<[量.

例9.(2024年四川省预赛)已知/为正实数,若曲线y=fe'与椭圆C:]+)a=1交于A、

7

B两个不同的点,求证:直线AB的斜率k〈与

解析：设A(X，X),I(W，%)，其中王〈%.注意到对数不等式：若则

a-ba^b而,,组ex,+eA2

-----------<------・^<z=er\,/?=et22,得-------<-------

\na-\nb2x}-x22

AzA='⑹2）<9）=21+22...•.y+%>2%.①将%+y；=1和

xi-x2x\~Xz22-2

(%+/)(百一占)

玉■+£二】相减，得+（y+为）（，一%）=°，，x+w=-2女（凶+%）

222

2、22

②.再将五十),；=1和工+货=1相加，得五产+y2+y；=2③.注意到：X产X2时，

222

立区.＞巴@,结合①®③知:

由x；+£>2XX知

}224

99（%+%）［（）］+%『公（凶+）（必）

,十居24%2y+1>4/+2公,

2=~±y^+K+＞-----------------r-十

4242

6

.•.2k4+*_］＜0=（2公一1）（公+1）＜0,解得左

三,习题演练

1.已知函数/（x）=ev-^x2-ar（XG/?）.

(1)若函数/(x)在R上是增函数，求实数。的取值范围;

(2)如果函数8(工)=/(力-(。-3卜恰有两个不同的极值点用,々，求证:

j2a.

1

解析：(2)根据条件，g(x)=/(x)-a——x2=ex-CLK2-ax贝11

2t

x

/（为）=0=e'-2ax}-a=0

(g'(x)=ex-lax-a-2,因为与马是极值点，所以

/（x2）=0*_2ax,-a=0

8

0*1_0*2X+Y0*1—Z>X20*1_z>X2

两式相减得2。=^——.所证不等式等价于%Evin―J=e2__L_

XT2X一式2~X2

*-应_|

设玉＞W两边同除以涉得62＜---------令r=内-羽，f«0,+oo）.所证不等式只

王一马

需证明：

1f-]LL/、1「：，'-

"＜——e。叱-d+i＜（）.设〃（刈=加2一d+1,贝^"（可=一"〃__+].易

/V2）_

证涓一（；+1卜（），所以//（x）vp（O）=O,因此p⑺在（0,十X））上单调递减，

〃⑺vp（0）=0.所以原不等式成立，即后受＜M2a.

2.己知函数/（力=。'一；"2-2内，其中awR.

（1）若函数/（力在[0,+8）上单调递增，求〃的取值范围；

（2）若函数/（x）存在两个极值点币&（%＜々），当31n2-4,3三时，求学|的