【数学】届高三数学一轮复习：基本初等函数

1、中学教考网 zjijhwmin屋渤盗勿知识改变命运，学习成就未来20222022学年度高三数学(人教版A版)第一轮复习资料第4讲根本初等函数一.【课标要求】1 指数函数(1) 通过具体实例(如细胞的分裂，考古中所用的14c的衰减，药物在人体内残留量 的变化等)，了解指数函数模型的实际背景；(2) 理解有理指数幕的含义，通过具体实例了解实数指数幕的意义，掌握幕的运算。(3) 理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象， 探索并理解指数函数的单调性与特殊点；(4) 在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型2 对数函数(1) 理解对数的概念及其运算性质，

2、知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或 常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；(2) 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3. 知道指数函数 y ax与对数函数y loga x互为反函数(a>0, aM 1 )。4. 幕函数(1) 了解幕函数的概念(2 )结合函数y=x,231，y=x，y=x，y=x2，y=1丄的图象，了解它们的变化情况x【命题走向】指数函数、对数函数、幕函数是三类常见的重要函数，在历年的

3、高考题中都占据着重要 的地位。从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幕函数的考查，大多以根本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法那么，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。预测2022年对本节的考察是:1.题型有两个选择题和一个解答题；2题目形式多以指数函数、对数函数、幕函数为载体的复合函数来考察函数的性质。 同时它们与其它知识点交汇命题，那么难度会加大三.【要点精讲】1.指数与对数运算(1)根式的概念:定义：假设一个数的n次方等于a(n1,且n N )，那么这个数称a的n次方根。即假设xn a，那么x称a

4、的n次方根n 1且n N ),1) 当n为奇数时，a的n次方根记作 na ；2) 当n为偶数时，负数 a没有n次方根，而正数a有两个n次方根且互为相反数，记作 na(a 0).©中学教孝网 ww. zKikw 性质：1) (. a)a ； 2) 当 n 为奇数时，.aa ；3)当n为偶数时，垢|a|a(a °)(2).幕的有关概念规定：n1) a a aea(njN* ； 2)a01(a0)；Vn个3) a p1 /p (P Q，4)apma下n am(a0,m、nN*且 n 1)、-性质：1) ar as ars(a0, r、sQ)；、/ r、s2) (a )r s .a

5、 (a 0, r、sQ)；r3) (a b)rra b (a 0,b0,r Q)。(注)上述性质对r、s R均适用。(3).对数的概念定义：如果a(a 0,且a 1)的b次幕等于N,就是abN，那么数b称以a为底N的对数，记作log a N b,其中a称对数的底，N称真数*1) 以10为底的对数称常用对数，log 10 N记作lg N ;2) 以无理数e(e 2.71828 )为底的对数称自然对数，log。N，记作In N ; 根本性质：1) 真数N为正数(负数和零无对数)；2) loga1 0 ；3) log a a 1 ; 4)对数恒等式：alogaN N。 运算性质：如果a 0,a 0,

6、M0, N 0,那么1) log a (MN ) log a M log a N ;M2) log a log a M log a N ;N3) log a M n n loga M (n R)- 换底公式：loga N log m N (a 0,a0, m 0, m 1, N 0),log ma中学教考网 ZKikw.tnmSciotolog a b。 m1) log a b log b a 1; 2) logam bn2 指数函数与对数函数1指数函数：定义：函数y axa 0,且a 1称指数函数,1函数的定义域为 R； 2函数的值域为0,；3当0 a 1时函数为减函数，当 a 1时函数为增

7、函数。函数图像：0<n< 1a> 1O1 指数函数的图象都经过点0，1，且图象都在第一、二象限；2 指数函数都以x轴为渐近线当0 a 1时，图象向左无限接近 x轴，当a 1时, 图象向右无限接近x轴；3 对于相同的aa 0,且a 1，函数y ax与y a x的图象关于y轴对称-函数值的变化特征：0 a 1a 1x 0时0 y 1，x0时y1，x 0时y 1，x0时y1，x 0时y 1x0寸0y 1，2对数函数：定义：函数y loga xa 0,且a 1称对数函数,1函数的定义域为0, ； 2函数的值域为 R；3 当0 a 1时函数为减函数，当 a 1时函数为增函数；4 对数函

8、数y log a x与指数函数 y axa 0,且a 1互为反函数函数图像：©中学教考网 nihw.ajm0<fl< 1a> 11Oiyor1对数函数的图象都经过点0,1,且图象都在第一、四象限；2 对数函数都以y轴为渐近线当0 a 1时，图象向上无限接近 y轴；当a 1时, 图象向下无限接近 y轴；4对于相同的aa 0,且a 1，函数y logax与y log1 x的图象关于x轴对称。a函数值的变化特征:0 a 1a 1x1时y0，x 1时y 0，x1时y0，x1时y0，0 x 1时y 0.x0时0y 1 .3幕函数1掌握5个幕函数的图像特点2 a>0时，幕

9、函数在第一象限内恒为增函数，a<0时在第一象限恒为减函数3 过定点1，1当幕函数为偶函数过-1,1,当幕函数为奇函数时过-1，-1 当a>0时过0，04幕函数一定不经过第四象限四【典例解析】题型1 :指数运算22丄丄例 1. 1计算：33 3540.5 0.008 30.02 2 0.322 0.06250.25 ;89412化简:28a'b 2 a3麵亘堡。4b3 23怎 a§a 引為 a©中学教考网8 -解：(1)原式=()327149 2(G)22)316254( )4100004 7 254 21792)13、313、3(2) 原 式=(a3)1

10、a3(a3)3 (2b3)31a31 1(2b3) (2b3)21a312b32 1a3)21 1 1(a2 a3)5(a1 1 1a3(a3 2b3)a-11a3 2b35a6a61a3点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幕的形式，然后利用分数指数幕 的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幕的形式保存；一般的进行指数幕 运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幕，化小数为分数运算，同时兼顾运算的 顺序。1 1 2 2例2. (1)X2 x 2 3，求x3 X 3 2的值一 x刁x刁31 1解： x2 x "3，1 1 (x2 X2)29，x 2 x 19， x

11、 x 17，- (x x1)249，33又 x2 x 21 1(x2 x 2) (x 1 x 1)3 (7 1)18，x2 x 2347 218 3点评：此题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。题型2:对数运算(2).(江苏省南通市2022届高三第二次调研考试)幕函数y f (x)的图象经过点(2,)，8那么满足f (x) = 27的x的值是 .1答案3例3 计算(1)(lg 2)2 lg2 lg50 lg 25 ； ( 2) (log3 2 log9 2) (log 4 3 logs 3)；(3)lg5lg 8000 (lg23)21 1lg 600-lg 0.036-l

12、g 0.12 2解：(1)原式 (lg 2)2(1 lg5)lg 2(1 1)lg2 2lg5(2)原式(空竺)(里lg3 lg9 lg 43lg 2 5lg 35 ；2lg 3 6lg 24 ；lg52 (lg2 lg5 1)lg 2 2lg52(lg 2 lg5) 2 ；lg3 lg2 lg 2 lg3 lg3 lg8 )(lg3 2lg3 ) (2lg 2 3lg 2)3lg5 3lg2(lg5 lg 2)(3)分子=lg 5(3 3lg 2) 3(lg 2)2八T6分母= (lg6 2) lg lg 62 lg4 ；1000 10100、3原式=。4点评：这是一组很根本的对数运算的练习

13、题，虽然在考试中这些运算要求并不高， 但是数式运算是学习数学的根本功， 通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法那么，以及学习数式变换的各种技巧:-例4 设a、b、c为正数，且满足a2 b2 c2b c()求证：log2(1) log2(1ab c(2)假设 Iog4(1) 1，logs (aa亍)b c)1 ;，求 a、b、3c的值。证明：(1)左边, a b log2-alog 2 旦log2(alog2(aab22, a 2ab b log? -ab,2ab c2log2 2 1；b cb c解：(2)由 log4(1)1 得 14，aa3a b c 0由 log8(a bC) I 得a

14、bC8_由得b由得c 3ab，代入 a2 b2 c2 得 2a(4a 3b) 0，4a 3b 0 a 0，由、解得a 6， b 8，从而c 10。点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法那么为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。题型3：指数、对数方程 例5.(江西师大附中2022届高三数学上学期期中)x2 b定义域为R的函数f(x)2x1(1)(2)求a, b的值;假设对任意的t R，不等式f (t22t) f(2t2(1)因为f (x)是R上的奇函数，所以f (0)从而有f (x)2-.又由 f(1) f(a2x11)知k)0恒成立，求k的取值范围.1 b2 a121 a0

15、,即0,解得b1-，解得a24 a12x 12x 1(2)解法一：由(1)知 f(x) -72x 1 2由上式易知f (x)在R上为减函数，又因 f (x)是奇函数，从而不等式2t)2tf (t22t) f (2t2 k) 0等价于 f(t2因f(x)是R上的减函数，由上式推得 t2f(2t2 k) 2t2k.f( 2t2k).即对一切tR有3t2 2tk 0,从而12k0,解得k解法二：由(1 )知f (x)又由题设条件得即(22t2 k 1整理得23t22乎2t2 2tt22)( 2t2t k 1，11 22t 1)因底数2x 12x 1 2,2灯k 12屮 k 12(2t2 2t 1 2

16、)( 22t2 k2>1，故 3t2 2t k1) 00上式对一切t R均成立，从而判别式4 12k0,解得k例6. (2022广东理7)设a R，假设函数yaxe 3x， xB. a 3R有大于零的极值点，那么(1C. a -3D.【解析】f '(x)3aeax，假设函数在R上有大于零的极值点，)13即 f '(x)3aeax 0 有丄1 n( 3)，由x 0我们 a a中学教考网 njhw.mm正根。当有f'(x)3 aeax 0成立时，显然有a0,此时x马上就能得到参数 a的范围为a 3.点评：上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指

17、数、对 数因式的普通等式或方程的形式，再来求解。题型4:指数函数的概念与性质那么f (f (2)的值为 2.例7 .设f(X)2ex 1,x<2,2Iog3(x1),A. 0B. 1C. 2D. 3解：C; f (2)Iog3(22 1) 1 , f (f(2)2e'点评：禾U用指数函数、对数函数的概念,1例 8. f(l°gaX) X X (a求解函数的值0,且a "试求函数f(x)的单调区间。解：令 log a X t，那么 x=at , t Ro 所以 f (t) a a t 即 f (x) ax因为f(-x)=f(x),所以Xa , (x R)。f(x

18、)为偶函数，故只需讨论f(x)在0 , +8)上的单调性。任取X1,X2 ,且使0X1X2 ,那么f (X2)X2(a(aX1f (X1)a X2) (aX1 aX2 )(1 aX1 aX1 a )X2 )X1 X2(1)当a>1时，由0即f(x)在0, +8 上单调递增。X1X1X2X1X21，所以 f(X2)f(X1)0 ,(2 )当 0<a<1 时，由 0 X1 x2，有 0 f(X2) f(X1)0，即 f(x)在 0 , +m 上单调递增。综合所述，0 , +8是f(x)的单调增区间，(一8,0)aX11 ,所以是f(x)的单调区间。点评：求解含指数式的函数的定义域

19、、值域，甚至是证明函数的性质都需要借助指数函数的性质来处理。特别是分a 1,0 a 1两种情况来处理。题型5：指数函数的图像与应用(新x|B. 1 < m<01 x 1x(2)2x 1例9 .假设函数yA. m < 1解：y画图象可知K m<0。m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是(C.(x(X1)1)邮箱:页zxjkw163 中学教考网VbWW. ZKiMv.mm答案为Bo点评：此题考察了复杂形式的指数函数的图像特征，解题的出发点仍然是 a 1,0,a 1两种情况下函数y ax的图像特征。例10.设函数f (x)2|x1|x11,求使f(x) 2 2x的取值范围

20、。_3解：由于y 2x是增函数，f(x) 2.2等价于|x 1| |x 1|1) 当x 1时，|x 1| |x 1| 2 ,式恒成立；3 32) 当 1 x 1 时，|x 1| |x 1| 2x，式化为 2x ，即一x 1；243)当x1时，|x 1| |x 1|2，式无解;3综上x的取值范围是 3。4点评：处理含有指数式的不等式问题，借助指数函数的性质将含有指数式的不等式转化为普通不等式问题(一元一次、一元二次不等式)来处理 -题型6:对数函数的概念与性质例11. (1)函数y log2 x 2的定义域是()A. (3,)B. 3,)C. (4,)D. 4,)2(2) (2006 湖北)设

21、f(x) lg -x那么 f(£)f ()的定义域为()2x2xA. (-4,0)(0,4)B.(-4,- 1)(1, 4)C. ( 2,- 1)(1, 2)D.(-4,- 2)(2, 4)解：(1 ) D (2) Bo点评：求函数定义域就是使得解析是有意义的自变量的取值范围，在对数函数中只有真数大于零时才有意义。对于抽象函数的处理要注意对应法那么的对应关系。例12. (2022广东三校一模)设函数 f X 1 x 22In 1 x .(1) 求f x的单调区间；1(2) 假设当x1,e 1时,(其中e 2.718)不等式f x m恒成立，求实数m的e取值范围；(3) 试讨论关于x的

22、方程：f x x2 x a在区间0,2上的根的个数.解(1 )函数的定义域为1,1,f x 2 x 12x x 21 分x 1x 1那么增区间为递增,恒成立.方程f中学教孝网 xKjhw.cDin0;x 0,0,减区间为2x x 20,得12, f e 11,00,由(1)知2,且 e21,e时，f x 的最大值为ex2x a,即 x 121n 11在 1,0上递减，在0, ee2,2时，不等式f x2ln 11；由 g xx 1.所以g(x)在0,1上递减，在1，2上递增.而 g(0)=1，g(1)=2-2ln2 ，g(2)=3-2ln3 ，二 g(0) >g(2) > g(1)

23、10所以，当a > 1时，方程无解;3-2 In3v a < 1时，方程有一个解,2-2 In2v a w a w 3-2In3时，方程有两个解;a =2-2In2时，方程有一个解;13a v 2-2ln2时，方程无解.字上所述，a (1,) (,2 2ln2)时，方程无解;a (3 2 In3,1或a =2-2In2时，方程有唯一解；a (2 2 In 2,3 2In 3时，方程有两个不等的解 .14分例13.当a>1时，函数y=logax和y=(1 a)x的图象只可能是()©中学教孝网嘶 ,勒附com又a>1时，y=(1 a)x为减函数。答案：B点评：要正

24、确识别函数图像，一是熟悉各种根本函数的图像，二是把握图像的性质，根据图像的性质去判断，如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性例14.设A、B是函数y= log2x图象上两点，其横坐标分别为 a和a+4,直线I: x=a+2与 函数y= Iog2x图象交于点 C与直线AB交于点D。(1) 求点D的坐标；(2) 当厶ABC的面积大于1时，求实数a的取值范围-解：(1)易知 D 为线段 AB 的中点,因 A(a, Iog2a ), B(a+4, Iog2(a+4)，所以由中点公式得 D(a+2, log2 a(a 4)。(2)SABC=S梯形 AA' CC +S 梯形 CC B' B

25、- S梯形 AA' B' B=Iog2(a a(a2)24)其中A' ,B' ,C'为A,B,C在x轴上的射影。由 Saabc= Iog2>1,得 0< a<2 . 2 2。a(a 4)点评：解题过程中用到了对数函数性质，注意底数分类来处理，根据函数的性质来处理复杂问题。题型&指数函数、对数函数综合问题例15.在xOy平面上有一点列 P1(a1,b1),P2(a2,b2),Pn(an,bn)，对每个自然数 n点Pn 位于函数y=2000(旦)x(o<a<1)的图象上，且点Pn,点(n,0)与点(n +1,0)构成一个

26、以Pn为顶点的10等腰三角形。(1)求点Pn的纵坐标bn的表达式；假设对于每个自然数 n，以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；设Cn=lg(bn)(n N*)，假设a取中确定的范围内的最小整数，问数列Cn前多少项的和最大？试说明理由.1解：(1)由题意知:1 .a n ?an =n+ , bn=2000()2 10函数 y=2000( )x(0<a<10)递减，10对每个自然数 n,有bn>bn+1>bn+2。那么以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1>bn，a 2 a即滋)2+(亦)1>

27、0，解得 a< 5(1+ 2 )或 a>5( 5 1)。中学教考网加少知识改变命运，学习成就未来°. 5( -.：5 1)<a<10。(3) T 5( -' 5 1)< a<10 , a=77 n 1、，二bn=2000() 2。数列bn是一个递减的正数数列，10对每个自然数nA 2,Bn=bnBn-1。于是当 bn A 1 时，Bn<BnT，当 bn<1 时，BnW Bn-1, 因此数列 Bn的最大项的项数 n满足不等式bn A 1且bn+1 <1 ,17 n _由 bn=2000() 2 A 1 得：n w 20。 n

28、=20o点评：此题题设从函数图像入手，表达数形结合的优越性，最终还是根据函数性质结合数列知识，以及三角形的面积解决了实际问题。例16.函数f(x) loga(ax、x)(a 0,a 1为常数)(1)求函数f(x)的定义域；(2)假设a=2，试根据单调性定义确定函数f (x)的单调性-(3)假设函数y=f(x)是增函数，求a的取值范围。解：(1)由 axx 0得- x ax/ a > 0, xA0x 012 2x2"x a xa f(x)的定义域是x(12 -)。a(2) 假设a=2,那么 f (x)log 2(2x、x)设 x1x214那么(2X1 X1)(2x2X2)2(X1

29、X2 ) ( X1x2)C.X1.X2)2(.X1、X2)10f(xj f(X2)故f (x)为增函数。(3)设中学教考网 ZKikw.rnmx1x2那么 aX1a X21宓 Xi) (ax2X2)a(Xi X2) ( XiX2)(,XiX2)a( & X2)10ax1x1 ax2/f(x)是增函数,二 f(X1)> f(X2)即 loga(aXiXi) Ioga(ax2X2)联立、知a> 1,a (1，+8)。点评：该题属于纯粹的研究复合对函数性质的问题， 般函数求定义域、单调性的解题思路，对“路处理即可 题型9:课标创新题例17.对于在区间 m, n上有意义的两个函数

30、f(x)与 g(x)，如果对任意的x我们抓住对数函数的特点，结合一om,n，均有 f (x) g(X) 1，那么称 f(X)与 g(x)在m, n上是接近的，否那么称f(x)与g(x)在m,n上是非接近的，现有两个函数f,x) loga(x13a)与 f 2(x) log a (a 0, a x a1)，给定区间 a 2, a 3。(1)假设f1(x)与f2(x)在给定区间2, a 3上都有意义，求a的取值范围;(2)讨论f,x)与f2(x)在给定区间a 2,a3上是否是接近的。解：(1)两个函数f1(x) log a(x3a)与 f 2(x)log a X-(a 0, a 1)在给定 a区间

31、a 2,a 3有意义，因为函数 y x 3a给定区间2,a3上单调递增，函数在1y给定区间x a2, a 3上恒为正数,故有意义当且仅当(2)构造函数(a2) 3aF(x)f,x)f2(x)loga(xa)(x3a)，对于函数t (x a)(x 3a)来讲,显然其在(,2a上单调递减，在2a,)上单调递增。zxjkw163 ©中学教考网且ylog a t在其定义域内一定是减函数由于0 a 1，得0 2a所以原函数在区间a 2,a3内单调递减，只需保证|F(a 2)|loga4(1|F(a 3)| |loga3(3a)| 12a) | 11a 4(1 a) a2a)丄a3(3957时，f,x与f2x在区间a 2,a 3上是接近的;125712时，fix与f2x在区间a 2,a 3上是非接近的-点评：该题属于信息给予的题目，考生首先理解“接近与“非接近的含义，再对含 转化成含有对数因式的不等式问题，解不等式即例