2017届高考数学一轮复习第三章函数课时11函数单调性学案文

1、课时11函数的单调性(课前预习案)班级：姓名：一、高考考纲要求1 .理解单调性及其几何意义；2 .会判断函数的单调性.3 .会运用函数的单调性解决相关问题.二、高考考点回顾1 .函数的单调性的定义：给定区间D上的任意x,X2,如果X1<X2,都有(或),则函数f(x)为这个区间D上的单调递增函数(或单调递减函数).如果一个函数在某个区间D上是增函数或减函数，那么就说这个函数在这个区间D上具有单调性，区间D称为单调区间.2 .利用导数判断函数单调性的方法：设函数y=f(x)在某区间内可导，如果,则函数f(x)为单调增函数；如果,则函数f(x)为单调减函数.3 .证明函数单调性的一般方法：定

2、义法：设为？2亡人且M<乂2；作差f(x1)-f(x2)(一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正负号能清楚地判断出)；判断正负号；不结论。用导数证明：若f(x)在某个区间A上有导数，则f'(x)父0,(xwA)Uf(x)在A上为增函数；f'(x)Q(xWA)uf(x)在A上为减函数.4 .求单调区间的方法：定义法、导数法、图象法5 .复合函数y=fb(x)%公共定义域上的单调性：若f与g的单调性相同，则flg(x)】为函数；若f与g的单调性相反，则flg(x)】为函数.注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集三、课前检测1 .设函数f(x)=(2a1)x+b是

3、R上的减函数，则a的范围为()1,111A.a之一B.aWc.a>一一d.a<22222 .函数y=x2+2x3(x>0)的单调增区间是()A.(0,+8)B.(1,+oo)C.(-00,-1)D(-00,-33 .函数y=logi(2x23x+1)的递减区间为()2A.(1,+电)B.(6,3C.(-,+°o)D.(-*-4 424 .已知在区间(0,y)上函数f(x)是减函数，且当x>0时，f(x)>0,若0<a<b,则()A.bf(a)：af(b)B.af(a)：f(b)C.af(b)：bf(a)D.bf(b)：f(a)lnx5 .右f

4、(x)=,e<a<b,则()xA.f(a)f(b)B,f(a)=f(b)C,f(a)<f(b)D.f(a)f(b)16 .有下列几个命题：2函数y=2x+x+1在(0,收)上不是增函数；一1函数y在(_g,_1)U(1,y)上是减函数；x1函数y=，5+4xx2的单调区间是-2,2);已知f(x)在R上是增函数，若a+b>0,则有f(a)+f(b)af(a)+f(b).其中正确命题的序号是课内探究案班级：姓名：考点一判断或证明函数的单调性【典例1】讨论函数f(x)=x+a(a>0)的单调性.xax【变式1】判断函数f(x)=一(aw0)在区间(一1,1)上的单调性

5、。x-1考点二求函数的单调区间【典例2】(1)作出函数f(x)=|x2-1|+x的图象，并根据函数图象写出函数的单调区间(2)已知f(x)=8+2xX2，若g(x)=f(2X2),试确定g(x)的单调区间和单调性.【变式2】设函数f(x)=xa(a>b>0),求f(x)的单调区间，并证明f(x)在其单调区间上的单调性xb考点三函数单调性的应用ax1.【典例3】函数f(x)=在区间(-2,收)上为增函数，则a的取值范围是x2【变式3】若f(x)=loga(2-ax)在0,1上是x的减函数，则a的取值范围是A. (0,1) B .(1,2) C(0, 2)2 ， +叼考点四抽象函数的单

6、调性【典例4】已知函数f(x)的定义域是x#0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有f(xx)=f(x)+f(2x)且当x>1时f(x)>0,f(2)=1,(1)求证：f(x)是偶函数；(2) f(x)在(0,+x)上是增函数；(3)解不等式f(2x21)<2.【变式4】 设f(x)是定义在(0,收)上的增函数, f(x) + f(x3)E2的x的取值范围.f (2) =1,且f (xy) = f (x)十f (y),求满足不等式【当堂检测】1 .下列四个函数：y=x;y=x2+x；y=(x+1)2；y=x+2,其中在(-30,。)上为减x-11-x函数的是()ASB.C

7、.、D.、2 .函数f(x)在(a,b)和(c,d)都是增函数，若x1w(a,b),飞w(c,d),且xcx?那么()A.f(x1)Mf(x2)B.f(x1)>f(x2)c.f(x1)=f(x2)D.无法确定3 .已知函数f(x)是定义在(2,2)上的减函数，若f(m-1)>f(2m-1),实数m的取值范围为()313A.m0B.0：m:二一C.-1:二m:3D.：二m二一2224. f(x)=x2+2(a1)x+2在(-°0,4上是减函数，则a的取值范围是()A.a<-3B.a>-3C.a<5D.a>35,已知f(x)=(3一a"-4a

8、,x<1'是R上的增函数，那么a的取值范围是()logax,x-1D. 1,3rc3cA1,B.；-*3C.,35课后巩固案班级：姓名：完成时间：30分钟A级全员必做题1 .函数f(x)=x33x2+1是减函数的区间是()A.(2,+8)B.(-8,2)C.(-oo,0)d.(0,2)1.2 .已知f(x)为R上的减函数，则满足f(|一|)Af(1)的实数x的取值范围是()xA.(-g,1)B.(1,+°0)C.(-=O,0)u(0,1)D.(-g,-1)u(1,+8)3 .若函数f(x)在区间a,b上具有单调性，且f(a)|_|f(b)<0,则方程f(x)=0在

9、区间a,b上()A.至少有一个实数根B.至多有一个实数根C.没有实数根D.必有唯一的实数根4 .函数y=loga(x2+2x3),当x=2时，y>0,则此函数的单调递减区间是A.(一0°)-3)B.(1)+°°)C.(一-1)D.(一1,+°°)5 .若f(x)=-x2+2ax与g(x)=a在区间1,2上都是减函数，则a的值范围是()x1A.(1,0)50,1)B.(1,0)50,1C(0,1)D.(0,16 .已知定义域为R的函数f(x)在(8,+/)上为减函数，且函数y=f(x+8)为偶函数，则A.f(6)fB.f(6)>f(9

10、)C.f>f(9)D.f(7)>f(10)7 .若f(x)=2x2mx+3当xw2")时是增函数，当xw(,2时是减函数，则f(1)二8 .函数y=log0.5(x2-2x-3)的单调减区间为。B线重点选做题x.(x1)1函数f(x)=a+loga在0,1上的最大和最小值的和为a,则a=.2 .函数f(x)=logz(3ax)在(叫1)上是减函数，则a的取值范围是xea3 .设a>0,f(x)=十x是R上的偶函数.ae(1)求a的值；(2)证明f(x)在(0,千元)上为增函数.参考答案课前检测11.【答案】D【解析】当2a1=0即a=1时，f(x)=b,为常数函数，

11、无单调性；2当2a1#0时，函数f(x)为一次函数.1 1若2a1>0即a时，f(x)为增函数；若2a1<0即a<时，f(x)为减函数.2 22.【答案】A【解析】二次函数的对称轴为x=-1,又因为二次项系数为正数，抛物线开口向上，对称轴在定义域的左侧，所以其单调增区间为(0,二).1 13.【答案】A【解析】由2x23x+1>0解得x<一或x>1,即函数的定义域为x|x<一或x>1.2 2，2333令t=2x3x+1,其对称轴为x=,在(*,)上为减函数，在(一，七)上为增函数.444而y=logit为关于t的减函数，由复合函数的单调性可知，函

12、数y=logi(2x23x+1)的单调减区间是(1,十无).224 .【答案】C【解析】f(x)在区间(0,收)上是减函数，0<a<b,f(a)>f(b).bf(a)>bf(b)>af(b),故选C.5 .【答案】A【解析】汽)=(胆)，=上£),XX当x>e时，(x)<0,函数在(e,十/)上为减函数.-e<a<b,1-f(a)>f(b),故选A.【易误警示】本题容易出现的问题是不能利用导数分析函数的单调性16.【答案】【解析】函数y=2x2+x+1的对称轴为x=,故在(0,+8)上是增函数，错；4一一1函数y=，的单调减

13、区间为(8,1)、(1,十8),但单调区间不能并起来写，不符合减函数定义，x1，错；要研究函数y=j5+4xx2的单调区间,首先要求函数的定义域，由被开方数5+4x-x2>0,解得-1Ex£5,而2,+8)不是上述区间的子区间，错；f(x)在R上是增函数，且a>-b,b>-a,f(a)>f(-b),f(b)>f(-a),f(a)+f(b)Af(a)+f(4),因此是正确的【典例1】【解析】方法一(定义法)：函数的定义域为 x | x ¥ 0.设 Xi, x2 亡 x | x # 0,且 Xi < x2 ,则a a(x1 - x2)( x1

14、x2 - a)f(xj- f(xJ= x x.-=也二一Xix2X1X2(x.a%)(1一)X1X2,a _令 x1 = x2 = x0, 12- = 0 可得到X0这样就把f(x)的定义域分为(一二ja, +无)四个区间,卜面讨论它的单调性.若 0 :二 x1:二 x2一、. aX1 -X2 x1x2 -a <0 .(0,3_Va, -Va,0)0 < x1x2 < a ,<0 ,x1x2 > 0f (%) -f (X2) =x1且Xia(X1 -X2)(XiX? - a)-X2 -X2X1UX2>0,即 f(X1)> f(X2).f(x)在(0,J

15、O上单调递减.ax2 _ a( x(x2 1)(x2 - x1) x2 -1(x1 - 1)(x2 - 1)-1, 1)上为减函数，-1, 1)上为增函数.+ 8,同理可得，f（x）在百,金）上单调递增；在（，_ja】上单调递增；在_ja,o）上单调递减.故函数f（x）在（，ja和ja,口）上单调递增，在_ja,o）和（0,ja】上单调递减.方法二（导数法）：f（x）=1-斗.x由f'（x）之0,解得xwja或xja,即函数在（,病,ja,一）上为增函数；由f<x）<o,解得一石<x<。或0<x<ja,即函数在区间（一ja,o）,（0,ja）上为减函

16、数【变式1】【解析】设一1<%<*2<1,则f(x1)一f乂)x1-1x1-1：二0,x2-1：二0,xx2T>0,x?-X-0,(xx21)(x2-x1)c-220,(x1-1)(x2-1)当a>0时，f(x1)-f(x2)>0,函数y=f(x)在(当a<0时，f(x1)-f(x2)<0,函数y=f(x)在(【典例2】【解析】(1)当x*或xW1时，2125当1<xc1时，y=x+x+1=(x)+一；241由函数图象可以知道函数增区间为(_g,1,121由图象可知：函数减区间为-1,1,二)2(2) g(x)=82(2-x2)-(2-x2

17、)2=-x42x2g(x)=Yx3+4x,令g'(x)>0,得x<-1或0<x<1,令g(x)<0,x>1或1<x<0单调增区间为(，,1),(0,1);单调减区间为(1,依),(1,0).【变式2】【解析】函数f(x)=xt的定义域为(一8,b)U(b,+8),xb任取x1、x2C(8,b)且x1<x2,则f(x1)f(x2)=。=(-1).x1bx2b(x1b)(x2b)a-b>0,x2x1>0,(x1+b)(x2+b)>0,1-f(x1)f(x2)>0,即f(x)在(一8,b)上是减函数.同理可证f(x

18、)在(b,+°°)上也是减函数.，函数f(X)=X+a在(8,b)与(b,+00)上均为减函数.xb【典例3】【答案】(1,+s)【解析】方法一：f(x)=ax±1=a+上2a，故当12a>0即a<1时，函数f(x)2x2x22在(_8，_2)上为减函数，在(1,依)上为减函数，不符合题意；1-当12a<0即a时，函数f(x)在(_8，2)上为增函数，在(-2,+)上为增函数；21 一11当12a=0,即a=一时，f(x)=一为常数函数，无单调性.故a的取值范围是(，收).2 22方法二：(导数法)f(x)=(ax1)'=a(x+2)(a

19、x+1)=2a12,由函数f(x)为增函数知f'(x)之0,解x2(x2)2(x2)2，一1111得a之一.而当a=时，f(x)=为常数函数，无单调性.故aa.2222【变式3】【答案】B【解析】解法一：因为f(x)在0,1上是x的减函数，所以f(0)>f(1),即loga2>loga(2-a).所以扎<2,故选B.12-0解法二：由对数概念显然有a>0且aw1,因此u=2-ax在0,1上是减函数，y=logau应为增函数，得a>1,2排除A,C,再令a=3,则f(x)=log3(2-3x)的定义域为(应,4)，但0,1不是该区间的子集。故排除D,选B.【

20、典例4】【解析】(1)令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),f(1)=0,令x=x2=1,得f(1)=0,f(x)=f(-1，x)=f(一1)+f(x)=f(x),.f(x)是偶函数.(2)设x2>x1>0,则f(x2) - f(x1)= f(x1%)-f(x1)=f(x1)f(x2)-f(x1)=f(x2)Xx1x1-x2>x1>0，.二>1，.二f()>0,x1x即f(x2)-f(x1)>0，.二f(x2)>f(x,)f(x)在(0,+道)上是增函数.(3)f(2) =1 ,f(4) =f (2) + f(2) = 2,f(x)是偶函数，

21、不等式f(2x21)<2可化为f(|2x21|)<f(4),又函数在(0,收)上是增函数，21010|2x1|<4,解得：<x<-,22即不等式的解集为(叵，叵).22【变式4】【解析】由题意可知：f(x)+f(x-3)=f(x2-3x)又2=2f(2)=f(2)f(2)=f(4),于是不等式f(x)+f(x-3)E2可化为：f(x2-3x)<f(4)因为函数在(0,十整)上为增函数，所以不等式可转化为：?-3x<4,0,解得3<xW4,z-3>0,所以x的取值范围是(3,4.【当堂检测】x11.【答案】A【解析】y=±=1+六，

22、故函数的单调减区间为(一8,1),(1,+至).故在(8,0)上为减函数，满足题意.1111y=x2+x的对称轴为x=-,所以函数在(-m,-)上为减函数，在(-，+*)上为增函数，故不符合题意；222函数的对称轴为x=-1,函数在(-8,-1)上为增函数，在(-1,y)上为减函数，故不符合题意；y=x+2=1-1-,在(-°°,1)上为增函数，在(1,十厘)上为增函数，不符合题意.1-xx-1综合上述，只有满足条件.2 .【答案】D【解析】由于分别在两个不同的单调区间内，虽然两个自变量之间的大小关系确定，但对应函x1，x2数值之间的大小关系不确定，故选D.2cm-1<

23、;233 .【答案】B【解析】由题意得2<2m1<2,解得0<m<9.2m-1:2mT4 .【答案】A【解析】函数f(x)的对称轴为x=1_a，由题意得1_a之4,解得a<-3.5 .【答案】D【解析】依题意，有a>1且3a>0,解得1ca<3,又当x<1时，(3a)x4a<35a,当x之13一时，logax>0,所以3-5a<0,解得a>-,所以1<a<3.故选D.5A级全员必做题1 .【答案】D【解析】.f(x)=3x26x,令f'(x)M0解得0MxM2.故函数的单调减区间为(0,2).12

24、 .【答案】D【解析】由已知可得|<1,解得x<1或x>1.x3 .【答案】D【解析】由f(a),f(b)c0可知，在区间(a,b)上必有一根，而函数f(x)在区间a,b上为单调函数，所以函数在该区间上只有一个零点，即方程f(x)=0在该区间上必有口t一的实数根.4 .【答案】A【解析】当x=2时，y=loga5>0,a>1.由x2+2x3>0=xv3或x>1,易见函数t=x2+2x3在(3)上递减，故函数y=loga(x2+2x3)(其中a>1)也在(8,3)上递减.5 .【答案】D【解析】函数f(x)的对称轴为x=a,由题意得aE1；而当a&

25、gt;0时，函数g(x)在(_叫_1)上为减函数，故0：a<1.6 .【答案】D【解析】y=f(x+8)为偶函数，函数f(x)关于直线x=8对称，即f(x)=f(16-x).f(6)=f(10),f(7)=f(9),f(x)在(8,+9)上为减函数,f(9)>f(10),f(7)>f(10),f(7)af(6).故选D.7 .【答案】13【解析】由题可知二次函数的对称轴是x=2,即？=2,解得m=8.4故f(1)=21283=13.8 .【答案】(3,g)【解析】设t=x22x3,则y=log0.5t.由tA0解得x<-1或x>3.而t=x22x-3的对称轴为x=1,故t在(-8,1)上为减函数，在(3,十至)上为增函数.又因为y=log0.5t为t的减函数，故由复合函数的单调性可知：函数的单调减区间是(3,).B级重点选做题1【答案】1【解析】若0<a<1,则函数f(x)为减函数，而当a>1时，函数f(x)为增函数，根据题意有2一一1f(0)+f(1)=a,求得a=1.22 .【答案】(1,3【解析】若0ca<1,则函数t=ax为减函数，而当x<1时，f(x)可能没意义；若a>1,则函数t=ax为增函数函数u=3-ax为减函数，当x<1时，f(