2017年高考天津文科数学试题及答案

1、2017年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(文科)、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)【2017年天津，文1,(A) 2【答案】B【解析】AJ B =i,2,4,6 ,(2)【2017年天津，文2,(A)充分不必要条件5分】设集合A=1,2,6,B=2,4,C=1,2,3,4,则(AlJB)p|C=()(B)1,2,4(C)1,2,3,4(D)123,4,6(AJB)fC=124,6H1,2,3,4=1,2,4,故选B.5分】设xwR,则2x之0”是“x_1W1”的()(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不

2、必要条件【解析】2x岂0解得：x<2;x1|W1解得：0MxM2,xW2u0ExM2,故选B.(3)【2017年天津，文3,5分】有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫，从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()(A)4(B)-(C)-(D)-5555【答案】C【解析】从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔”基本事件总个数：C2,而事件取出的2支彩笔中含有红色彩笔”包含基本事彳个数：C；P=&=2,故选C.105(4)【2017年天津，文4,5分】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入的N的值为19,则输出的N的值为()

3、(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】C【解析】阅读流程图可得，程序执行过程如下：首先初始化数值为N=19,第一次循环：NN=N-1=18,不满足N<3;第二次循环：N=6,不满足N<3;第二次循3环：N=N=2,满足NE3;此时跳出循环体，输出N=3,故选C.322(5)【2017年天津，文5,5分】已知双曲线4=1(a>0,b>0)的左焦点为F,点A在ab2双曲线的渐近线上，3AF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(A) a<b<c【答案】C(B) b<a<c(C) c<b<a(D) c<a<bIS

4、 X【解析】因为f(x)在R上是奇函数，所以有f(_x)=f(x),即a=_f(iog24=f(log£)；又因为f(x)在R上是增函数，且20.8<21=log24(log24.1<log25,所以c<b<a,故选C.(7)【2017年天津，文7,5分】设函数f(x)=2sin(eox+2,xwR,其中切>0,忖,若f(，)=2且f(x)的最小正周期大于2元，则()(A)0,中=四(B)6=2,中=口(C)切=_也(D)0,中=工312312324324【答案】A【解析】函数f(x)=2sin(sx+叼,xwR,f()=2,f(11)=0,振幅为2,所

5、以如图所示：88若函数图象如图表1所示，3T=四.笑，解得T=冗，不满足最小正周期大于2n488所以函数图象如图表2所示，1=小_区，解得T=3n,8=2,又因为“生)=24"8"8，-38所以2乂区+中=工，所以中=四，故选A.38212工x2,x：1(8)【2017年天津，文8,5分】已知函数f(x)=«2,设aR,若关于x的不等x-,x-1xx式f(x)之+a在R上恒成立，则a的取值范围是()2(A)-2,2(B)N2V3,2(C)2,2并(D)2并,3【答案】A【解析】函数f(x)的图象如下图(左)，若关于x的不等式f(x)至;+a在R上恒成立，则不妨设g

6、(x)=x+a,f(x)>-+a在R上恒成立"表示y=f(x)图2|2象与y=g(x)图象应如下图(右)所示找到两个临界位置：f(x)与g(x)相21.一.一切时，x>1,f'仅)=1一二=，解得凡=2,y0=3,代入g(2)=3,解得x22.,一+a=3,a=2,a=Y(舍)；g(x)过点(0,2)，代入g(0)=2,a=2,解得a=2,a=2(舍)，故a2的取值范围在2与2之间，故选A.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.(9)【2017年天津，文9,5分】已知aWR,i为虚数单位，若a为实数，则a的值为【答案】-2【解析】解法一：aZl=(a-

7、i)(2-i)=2a-1一e2)i为实数，所以a+2=0,a=-2.2i(2i)(2-i)5解法二：亘二为实数uai与2+i成比例，比例为-1,所以a=-2.2-i(10)【2017年天津，文10,5分】已知aWR,设函数f(x)=axlnx的图象在点(1,f(1)处的切线为l,则l在y轴上的截距为【答案】11【解析】函数f(x)的导函数f'(x)=a，所以f(1)=a,f'(1)=a1,切点(1,a),斜率为a1,所以代入切线点x斜式：ya=(a1)(x-1),l在y轴上的截距为：x=0,y=1,所以答案为1.(11)【2017年天津，文11,5分】已知一个正方体的所有顶点在

8、一个球面上，若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为9二【解析】球的表面积公式S=6a2=18,所以棱长a=J3,计算得：2R=J3a=3,R=-,V=-nR323(12)【2017年天津，文12】设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为I,已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A,若/FAC=120口，则圆的方程为【答案】(x1)2(y-r/3)2=1【解析】抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线为l:x=1所以ZAFH=60=在直角三角形OAF中，OF所以可设C(1,b),OA=b,ZFAC=120°,二1半径等于1,所以圆C:(x+1)2+(y73)2=1.H

9、9=一五.2所以OA=J3,所以圆的圆心(1,J3),(13)【2017年天津，文13,5分】若a,bwR,ab>0,则44a+4b+1的最小值为ab【答案】444,22【解析】a4b1_丝旦abab121之竺b=4(ab>0),当且仅当a4=4b4”解之得：a=2,b(14)【2017年天津，文14,(九WR),且ADAE=4则K的值为【答案】311ab3=2，5分】在iABC中，2A=60>AB=3,，4a2b2=1”同时成立时，等号成立,AC=2,若切=2BC,TE=KC魄-1?0-112f-【斛析】ABAC=3M2Mcos60=3,AD=-AB十一AC,则33I1-1

10、2ADAE二(一ABAC)(AC-AB);33c2,，1-2-349一3=-4=311三、解答题：本大题共6题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(15)【2017年天津，文15,13分】在MBC中，内角ac=75(a2-b2-c2).(1)求cosA的值；(2)求sin(2BA)的值.A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asinA=4sinB,解：(1)asinA=4bsinB可化为a2=4b2,解得：a=2b,余弦定理：cosA=222bc-a2bc-ac_52.5bc5(2)根据cosA=八2.5-,解得sinA=,所以sinB523cos2B=2cosB-1=5&#

11、39;sin(2B-A)=sin2BcosAcos2BsinA25cosB=-54二一(54sin2B=2sinBcosB=-55325-105-25)-525连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套电视剧的次数.(1)用x,y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？(16)【2017年天津，

12、文16,13分】电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告，已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：7x6y<60解：(1)分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套电视剧的次数Jx+y'6x三2yx,yN(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z=60x+25y.考虑z=60x+25y,将它变形为y=-12x+三，这是斜率为12,随z变化的一族平行直线.二为直线在y轴上的截距,525525当三取得最大值时，z的值最大.又因为x,y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z=60x+25y经25,一，皿z.一一,7x6y=60一，

13、一过可行域上的点M时，截距三最大，即z最大.解方程组7y,得点M的坐标为(6,3).25x-2y=0所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.(17)2017年天津，文17,13分】如图，在四棱锥PABCD中，AD_L平面PDC,AD/BC,PD_LPB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.(1)求异面直线AP与BC所成的角的余弦值;(2)求证：PD_L平面PBC;(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.AP与BC所成的角，A AD _L平面PDC ,AD 5所以 /PDA =90 °,PA = 5 , cos Z PAD解：(1)因为AD/BC,

14、所以/PAD等于异面直线AP5(2)因为AD_L平面PDC,所以AD_LPD,又因为AD/BC,所以PD_LBC,PD_LPB,且PBpBC=B，所以PD_L平面PBC.(3)取BC上三分点，3BE=BC,AD/BE,AD=BE=1,PD_L平面PBC,所以/DEP等于直线AB与平面PBC所成角/DPE=90=，AB=275,DE=25,PE=4,sin.DEP二型二2DE2.55(18)【2017年天津，文18,13分】已知心口为等差数列，前n项和为0(nWN*),0是首项为歹U,且公比大于0,b2+bs=12,b3=a4-2a1,Si=11b4.(1)求%和&n的通项公式；(2)求

15、数列a2nbn的前n项和(nWN*).解：(1)已知%为等差数列，bn是首项为2的等比数列，且公比大于0,所以济=&+61)d,bn=nqn'=2qn2q+2q2=12,解之得：q=2,q=3(舍)，F=一a*3d，解之得：=1,d=311(a1-5d)=1116所以an=3n-1,bn=2n.(2)a2nbn=(6n-2)父2n，不妨设数列以口露的前n项和为Tn,Tn=azb+a4b2+a6b3+111+a2nqbn-+a2nbn,123.n1n小Tn=4M2+10M2+16"+III+(6n-8)M2+(6n-2)父22Tn=4父22+10父23+|(6n14)M

16、2n+(6n8)父2n+(6n2)父2n由-得：Tn=4M21+6X22+6M23+川+6M2n(6n2)M2n+,整理得：Tn=16+(3n4)父2n七.(19)【2017年天津，文19,14分】设a,bWR,aM1,已知函数f(x)=x36x23a(a4)x+b,g(x)=exf(x).(1)求f(x)的单调区间；(2)已知函数y=g(x)和函数y=ex的图象在公共点(x0,y°)处有相同的切线.(i)求证：f(x)在x=x0处的导数等于0;(ii)若关于x的不等式g(x)<ex在区间r_1,r+1上恒成立，求b的取值范围.解：(1)f'(x)=(x3)'6

17、(x2)'3a(a4)x',f'(x)=3x2-12x-3a(a-4),f'(x)=3x212x3a(a4)=3(xa)(x+a4),因为|aW1,所以a <4-a,a,4 - a(2) (i) g(x)=exf(x)与y=ex在公共点(xo,y。)处有相同的切线，首先,g(Xo)xx= e°其次，g'(x0)=e°,f(x0)=1, f(x0)+f'(刈)=1 ,所以 f'(x0)=0.(ii) g(x)Eex等价于 f (x) <1 , f'(%)=0, f (刈)=1 ,所以 x0 =a极大值

18、点,x若关于x的不等式g(x)<e在区间 由-1的+1上恒成立，等价于 f(x) <1在区间x0 -1,x0 +1上恒成立，等价于 fmax(x)<1 ,x 可Xo -1,Xo + 1,当 Xo =af (x)在a1,a递增,在a,a+1递减，f(a)为最大值,f (a) =1,-2a3 +6a2 +b <1 , b W2a3 -6a2+1 ,令 h(x) =2x3 6x2+1, h'(x) =6x2 12x = 6x(x 2) , h(x)在 1,0递增，在0,1递减，所以-7<h(x)<1 , -7<b<1.(20)【2017年天津，

19、文20, 14分】已知椭圆22与+4 =1(a Ab >0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的 a bb2坐标为(0,c) , AEFA的面积为.2(1)求椭圆的离心率；(2)设点Q在线段AE上，|FQ|=3c, 2且直线PM与直线QN间的距离为，(i)求直线FP的斜率；(ii)求椭圆的方程.延长线段PQ与椭圆交于点 P ,点M , N在轴上，PM /QN ,四边形PQNM的面积为3c；1_1b2斛：(1) Saef =父AF mOE = (a+c)Mc =,因为 222i.!(2) /EFO=45°,设 E? = -E 0人今1 b2 =a2 -c2,所以 c = a c,所以FQ =(1 九)FE十九FA,故 a = 2cFE = . 2cFA=3c,因为FQ3c、. 一万，两边平万，解N得:910，