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文档简介

1、运用构造向量法求函数的最值望江县赛口中学高光祖向量是近代数学中最重要和最基本的数学概论之一，它是沟通代数，几何与三角函数的一种重要工具，有着极其丰富的实际应用背景。向量有大小和方向，大小反映了“数”的特征，方向反映了“形”的特征，因此，向量是集数形于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的体现，掌握好向量的知识，有意识地运用向量工具去解决相关问题，不仅能优化解题思路，而且能培养学生思维的发散性和创新精神。在求某些函数的最值问题中，例如出现含有两个或三个根式和与差的形式，我们使用平方法或者代换法不能有效的去掉根号，那么在这种情况下，若能善于观察问题的结构特征，挖掘代数结构的向量模型，构造向量，把原

2、有问题转换为向量问题，会产生事半功倍的效果。我们以下面四题来阐述运用构造法求函数最值的方法。J2；2例1:求函数y=、x+2x+2+、x-2x+2的最小值。分析：所给函数为根式的和，因此需要将根号下的式子配方，将根式转化为向量的模来求解。解：y=；x2x2，x-2x2第6页共5页-1(x(x-1, -1)2 e y,及ymin2 ；2例2：求函数y10 - x的最大值。分析：所给的函数式可以看成两个数积的和的形式，因此，可联想两个向量数量积的坐标运算构造向量，利用a,b w求解。解：设a44(5, 1), bab<y max110 - xx-1 10 -xx + 1的值域。例3:求函数y

3、分析：所给函数为根式的差的形式，因此需将根号下的式子配方，将根式转化为向量的模，利用inrti"r来求解卜一a-b解：、G；2y=.xx1-x-x1T13113设a=(x,),b=(x-一，)2222-1YyV1例4:如果a,b,c=1,求、3a,1,、3b，1，'3c，1的最大值分析：本题是三个数的和的形式，因此可以构造空间向量，利用向量的数量积ab之ab来求解n=(1,1,1)由于abc1得6=(3a+1)+(3b+1)+(3c+1)(,3a1、3b13c1)3三18的最大值为3一般地，涉及两数积的和的形式可利用公式a,b求其最值；涉及根号下平方和的形式可利用|神"a±b<其最值。必须说明的是，在运用构造法时也有其局限性，不是对每一类函数都可以运用该种方法，运用比较多的是在含有根号中求最值的情况；另外，像例1,在将根号里转化

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