初二数学经典题练习及答案

1、BDACDE和正方形CBFG点P是EFF初二数学经典题型练习1 .:如图，P是正方形 ABCD内点，/ PAD=/ PDA= 15.求证： PBC是正三角形.证明如下。首先，PA=PD / PAD玄 PDA 180 -150+ 2=15,/ PAB=90 -15 =75。 在正方形ABCD外以AD为底边作正三角形 ADQ 连接PQ 那么/ PDQ=60 +15 =75,同样/ PAQ=75 ,又 AQ=DQ, PA=PD 所以 PAQA PDQ 那么/ PQA=/ PQD=60 + 2=30，在 PQA中 ,/ APQ=180 -30 -75 =75 =/ PAQ/ PAB 于是 PQ=AQ=

2、AB显然 PAQA PAB 得/ PBA=Z PQA=30 ,PB=PQ=AB=BC/ PBC=90 -30 =60,所以 PBC是正三角形。2. :如图，在四边形 ABCD中, AD= BC, M N分别是AB CD的中点，AD BC的延长线交 MN于E、F.求证：/ DEN=/ F.证明：连接AC,并取AC的中点G,连接GF,GM.又点 N为 CD的中点,那么 GN=AD/2;GIN/ AD,/ GNM/ DEM;(1) 同理:GM=BC/2;GM/ BC, / GMN/ CFN;(2)又 AD=BC那么:GN=GM/GNM/ GMN故:/ DEM/ CFN.3、如图，分别以厶ABC的AC

3、和BC为一边，在 ABC的外侧作正方形 的中点.求证：点 P到边AB的距离等于 AB的一半.证明：分别过 E、C F作直线AB的垂线，垂足分别为 M O N 在梯形MEFN, WE平行NF因为P为EF中点，PQ平行于两底所以PQ为梯形MEFN位线，所以 PQ= M冉 NF/2又因为，角 0CB+角OBC= 90=角 NBF+角CBO所以角OCB角 NBF而角C0B=角Rt =角BNFCB=BF所以 OCB全等于 NBF MEA全等于 OAC同理所以 EM= AO 0B= NF所以 PQ=AB/2.4、设P是平行四边形 ABCD内部的一点，且/ PBA=/ PDA求证：/ PAB=/ PCB过点

4、P作DA的平行线，过点 A作DP的平行线，两者相交于点 E;连接BE因为 DP/AE, AD/PE所以，四边形AEPD为平行四边形PE/AD，且 PE=ADAD/BC, 且 AD=BC所以，/ PDA玄AEP，/ PDA玄 PBA所以，/ PBAN AEP所以，A、E、B P四点共圆所以，/ PABN PEB因为四边形AEPD为平行四边形，所以: 而，四边形ABCD为平行四边形，所以:所以，PE/BC，且 PE=BC即，四边形EBCP也是平行四边形所以，/ PEBN PCB所以，/ PABN PCB5. P为正方形 ABCD内的一点，并且 PA= a, PB= 2a, PC=3a正方形的边长.

5、解：将 BAP绕B点旋转90使BA与BC重合，P点旋转后到Q点，连接PQ因为 BAP BCQ所以 A吐 CQ B吐 BQ / ABPZ CBQ / BPA=Z BQCAD因为四边形DCBA是正方形所以Z CBA= 90,所以Z ABP+Z CBA 90,所以Z CBQZ CBA 90即Z PBQ= 90,所以 BPQ是等腰直角三角形所以 PQ=V2*BP, Z BQ圧 45因为 PA=a PB=2a, PC=3a所以 PQ= 2V2a , CQ= a,所以 CPA2= 9aA2 , PQA2+ CQA2= 8aA2 + aA2 = 9aA2所以CPA2= PQA2+ CQA2,所以 CPQ是直

6、角三角形且Z CQA= 90所以Z BQC= 90+ 45= 135,所以Z BPA=Z BQC= 135作 BML PQ那么 BPM是等腰直角三角形所以 PM= BM= PB/V2 = 2a/ V2=V2a所以根据勾股定理得:ABA2= AMA2+ BMA2=(V 2a+ a)A2 + (V 2a)A2=5 + 2V 2aA2所以 AB= V(5 + 2V2)a6. 一个圆柱形容器的容积为 V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度到达容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t分。求两根水管各自注水的速度。解：设小水管进水速度为 x,那么大水

7、管进水速度为 4x。由题意得：t2x 8x解之得：x5v8t经检验得:帚是原方程解。小口径水管速度为，大口径水管速度为8t5v2t图解：1设正比例函数解析式为y kx，将点 M 2 ,同样可得，反比例函数解析式为2 y 一一x2设点当点Q在直线DC上运动时,一 1Q的坐标为Q(m, m),211OB 沈 BQ2211) 2)1 ,21 2所以有，一m2 1，解得m 24Sa obq而 Saqap所以点Q的坐标为Q1(2 )和Q2( 2,1)3因为四边形 OPC疋平行四边形，所以 OP= CQ OQ= PC7如图11,正比例函数和反比例函数的图像都经过点M一 2, 1，且P一 1 , - 2为双

8、曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是 A B.1写出正比例函数和反比例函数的关系式；2当点Q在直线MQk运动时，直线 MO上是否存在这样的点 Q使得 OBQfA OAF面积相等？如 果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；3如图12,当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP OC为邻边的平行四边形 OPCQ求平行四边形OPCQO长的最小值.y一 11坐标代入得k，所以正比例函数解21析式为y _ _x2而点P 1 , 2是定点，所以 OP勺长也是定长，所以要求平行四边形OPC周长的最小值就只需求OQ的最小值.2因为点Q在第一象限中双曲线上，

9、所以可设点Q的坐标为Q(n,2),n由勾股定理可得 OQ? n? 2 (n )2 I 4 ,nn2 222所以当(n )-0即n0时，OQ2有最小值4,nn又因为OQ为正值，所以 OQ与OQ2同时取得最小值，所以OQ有最小值2.由勾股定理得OP=、5，所以平行四边形 OPCQO长的最小值是&如图，P是边长为1的正方形ABCD寸角线AC上一动点P与A C不重合，点E在射线BC上，且PE=PB1求证： PE=PD; PEL PD2设AF=x, PBE的面积为y. 求出y关于x的函数关系式，并写出 x的取值范围； 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值 .解：1证法一：/四边形ABCD1正方形

10、，AC为对角线，： BC=D,C / BCPZ DCP45 ./ PC=PC PBC PDC SAS . PB= PD，/ PB(=Z PDC又 PB= PE， PE=PDi丨当点E在线段BC上(E与B C不重合)时, PB=PE / PBE/PEB / PEB/ PDC / PEB / PEC/ PDC/ PE(=180， / DPE360 -( / BCD/ PDC/ PEC=90 ， PEL PDii当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PEL PD iii丨当点E在BC的延长线上时，如图./ PEC/ PDC / 仁/2， / DPE/ DCE90， PEL PD综合i ii

11、 iii 丨，PEL PD2过点P作PF丄BC垂足为F，那么BF=FE/ AP=x, AC= 2 , PO . 2 - x , PF=FC= 2 x)2BF=FE=1-FC=1-( 1 二x)x2&pbe=BF- PF=_x(12丿2x22x222 )x丿2(0v x v 2 ).1 2x21 v 0,2丄时,2y最大值分别交AD BC于G F.如下列图.P作 GF/ AB1证法二：四边形ABCD!正方形，四边形ABFGH四边形GFCD是矩形， AGPFHA PFC都是等腰直角三角形. GD=FCFP, GP=AGBF, / PGD/ PFE=90又 PB=PE BF=FE GP=FE, EF

12、PA PGD SAS . PE=PD/仁/ 2. / 1+Z 3=Z 2+Z 3=90 . / DPE90 . PEL PD2T AF=x, BF=P(=-2 x,2 SLpb=BF PF=_2x(122x22x21 2x21 2x21 v 0,2过点PF=1-(0当x2时，y最大值2v x v 2)._2)22丿9、如图，直线y=kix+b与反比例函数y=k2x的图象交于 A 1, 6，Ba, 3两点.1求ki、k2的值.2直接写出k1x+b-k2x 0时x的取值范围；3如图，等腰梯形 OBCDK BC/ OD OB=CD 0边在x轴上，过点 C作CEL 0D于点E, CE和反比 例函数的图象交于点 P,当梯形OBCD勺面积为12时，请判断