北京市西城区高三上学期期末考试数学理试题

1、北京市西城区2022 2022学年度第一学期期末试卷高三数学理科第I卷选择题共40分、选择题：本大题共 8小题，每题5分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项.1集合AX R|0x1 , Bx R |(2x 1)(x 1)0，那么 aUb 1A(0,1)2B ( 1,1)c,1)u(2,2)D(, 1)U(0,)2 .在复平面内，复数-的对应点位于: 2iA丨第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3 在极坐标系中，点p(2,6，那么过点P且平行于极轴的直线的方程是 A sin1Bsin,3 Ccos 1D cos34.执行如下列图的程序框图.假设输出S 15 ,那么框图中

2、处可以填入Ak 2Bk 3Ck 4Dk 55 函数f(x) x bcosx，其中b为常数.那么“ b 0 是“ f (x)为奇函数的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6 a,b是正数，且满足2 a 2b 4 .2那么a2b2的取值范围是4 164A( , ) B(一，16)5 55c16(1,16)D(,4)57 某四面体的三视图如下列图该四面体的 六条棱的长度中，最大的是A2 5B2 6C27D428 将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组，使得每组至少有一个数，那么两组中各数之和相等的概率是A2214B631C21D_26311.设等比数列an

3、的各项均为正数,其前n项和为Sn .假设ai1 ,as4第 n卷非选择题共110分、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.9.向量 a (1,3) , b ( 2,1), c(3,2).假设向量c与向量ka b共线，贝y实数k10.如图，Rt ABC 中， ACB 90 , AC 3,BC 4 以AC为直径的圆交AB于点D，那么fBD ； CD .Sk 63，那么 k 12.椭圆1的两个焦点是F1 , F2，点P在该椭圆上.假设|PR | |PF21 2，那么PF1F2的面积是13.函数f (x) sin(2x n),其中 x6n r訐.当a3时，f(x)的值域是;假设f (x)的值域是

4、丄1，那么a的取值范围是214.函数f (x)的定义域为R 假设x R，有 f(x c) f (x c)，那么称函数f(x)具有性质P .给定以下三个函数: f(x) 2x ； f (x) sin x ； f(x)其中，具有性质 P的函数 的序号是三、解答题：本大题共 6小题，共80分解容许写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. 本小题总分值13分在厶 ABC 中，、3sin 2B 1 cos2B .I求角B的值；n假设BC 2 , A ,求厶ABC的面积.416. 本小题总分值14分如图，四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为正方形，PA PD , PA 平面PDC ,E为棱PD的

5、中点.I求证：PB /平面EAC ;n求证：平面 PAD 平面ABCD ；川求二面角 E AC B的余弦值.17. 本小题总分值13分生产A ,B两种元件，其质量按测试指标划分为： 指标大于或等于82为正品，小于82为次品.现 随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标70,76)76,82)82,88)88,94)94,100元件A81240328元件B71840296I试分别估计元件 A，元件B为正品的概率；n生产一件元件 A，假设是正品可盈利 40元，假设是次品那么亏损 5元；生产一件元件 B,假设 是正品可盈利50元，假设是次品那么亏损 10元.在I的前提下，i记

6、X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量 X的分布列和数学期望；ii求生产5件元件B所获得的利润不少于 140元的概率.18. 本小题总分值13分函数f(X)，其中b R .x bI求f (x)的单调区间；1 3n设b 0假设 x -,，使f (x)1，求b的取值范围.4 419. 本小题总分值14分如图，抛物线 y2B(x>, y2)两点，直线AF ,I求y, y2的值；4x的焦点为F 过点P(2,0)的直线交抛物线于BF分别与抛物线交于点 M , N .n记直线MN的斜率为kk ,直线AB的斜率为k2.证明：二为定值.k220. 本小题总分值13分如图，设A是由n n个

7、实数组成的n行n列的数表，其中aij (i, j1,2,3/-,n)表示位于第i行第j列的实数，且aj 1, 1.记S(n, n)为所有这样的数表构成的集合.对于A S(n, n)，记ri(A)为A的第i行各数之积,nnl(A)ri(A)Cj(A).i 1j 1I请写出一个A S(4, 4),使得l(A) 0 ;cj(A)为A的第j列各数之积.令%a22%*d1*atan是否存在 A S(9, 9)，使得l(A) 0 ?说明理由;川给定正整数 n，对于所有的 A S(n, n)，求l(A)的取值集合.、选择题:二、填空题:北京市西城区2022 2022学年度第一学期期末高三数学理科参考答案及评

8、分标准2022.1本大题共2. B；本大题共注：10、13题第一问三、解答题：本大题共8小题，每题5分，共40分.3. A;4. C;5. C;7. C;6小题，每题5分，共30分.10.13.16 12 ；, ;551 ,1,；2 6 22分，第二问3分;14题结论完全正确才给分6小题，共80分假设考生的解法与本解答不同,11. 6 ;14 .正确者可参照评分标准给分15.本小题总分值13分I解法一：因为.3s in2B 1 cos2B ,所以2 , 3sir1 BcosB2sin2 B3分因为0 B,所以sir B0,从而tar B3,5分所以nB -.6分3解法二二:依题意得.3sin2

9、Bcos2B 1 ,所以2s in (2B ) 1 ,6即sir(2B-)1.6 23分因为0 B,所以2B1366 6 ，所以2B -55分66所以nB -.6分3n解法-:因为A -,nB -,43AC根据正弦定理得-sin BBC sin A '6 .7分8分所以ACBC sin B sin A因为CA B59分125.62所以sin Csinsin ( 一11分124 64所以 ABC的面积SIacBC sinC3313分22解法二二：因为 A ,B n,43AC根据正弦定理得ACBC7分sin Bsin A所以ACBC sin B.6 .8分sin A根据余弦定理得 AC2

10、AB2 BC2 2AB BC cosB , 9分化简为 AB2 2AB 20,解得 AB 13. 11分所以 ABC 的面积 S -AB BCsi nB 3- . 13 分2 216.本小题总分值14分证明：因为 PA 平面PDC，所以PA5分CD .因为四边形ABCD为正方形，所以ADCD ,所以CD 平面PAD .所以平面PAD平面ABCD .川解法一：在平面PAD内过D作直线Dz AD .因为平面PAD 平面ABCD，所以Dz 平面ABCD .D xyz .由Dz, DA, DC两两垂直，建立如下列图的空间直角坐标系设 AB 4，那么 D(0,0,0), A(4,0,0), B(4,4,

11、0), C(0,4,0), P(2,0,2), E(1,0,1).所以 EA (3,0, 1) , AC ( 4,4,0).设平面EAC的法向量为n二(x,y,z)，那么有n EAn AC0,0.所以3x z 0,4x 4y 0.1，得n(1,1,3).11分易知平面ABCD的法向量为v (0,0,1).12分所以 |cosn,v>|n v|n |v|3.111113分由图可知二面角 E AC B的平面角是钝角,所以二面角E AC B的余弦值为3 111114分解法二：取AD中点M , BC中点N，连结PM , MN .因为ABCD为正方形，所以 MN /CD .由n可得MN 平面PAD

12、 .因为PA PD，所以PM AD .由MP,MA,MN两两垂直，建立如下列图的空间直角坐标系 M xyz .设 AB 4，那么 A(2,0,0), B(2,4,0), C( 2,4,0), D( 2,0,0), P(0,0,2), E( 1,0,1).所以 EA (3,0, 1) , AC ( 4,4,0).设平面EAC的法向量为n二(x,y,z)，那么有n EA 0,n AC 0.所以3x z 0,4x 4y 0.1，得n(1,1,3).11分易知平面ABCD的法向量为v (0,0,1).12分所以 |cosn,v|. 13分|n |v|11由图可知二面角 E AC B的平面角是钝角，所以

13、二面角E AC B的余弦值为 Id! . 14分1117.本小题总分值13分I解：元件 A为正品的概率约为元件B为正品的概率约为40 32 810040 29 61004534解：i随机变量 X的所有取值为90,45,30,15.90)XP30)XP3-5153- 41-44- 5 4-53 一 41 - 51分2分3分7分X90453015P3_3_1丄520520所以，随机变量X的分布列为8分3 311EX 90 4530 ( 15)66. 9 分520520ii设生产的5件元件B中正品有n件，那么次品有5 n件依题意，得 50n 10(5 n) 140，解得n19611分设“生产5件元件

14、B所获得的利润不少于140元为事件A，所以n 4，或n 5 .8113分那么 P(A) C：(3)4 1 (3)54 4418.本小题总分值13分I解：当b 0时，f (x)故f (x)的单调减区间为(，0) , (0,)；无单调增区间.当b 0时，f (x)b x2(x2b)2 '令 f (x) 0 , 得 x1 Vb， x2Jb.f(x)和f (x)的情况如下:x(,Vb)(血，蘇)Jb品 )f (x)00f(x)/故f (x)的单调减区间为(,b), ('.b,);单调增区间为(.5分当b 0时，f (x)的定义域为 D x R|x，-b.因为f (x)b x2(x2 b

15、)20在D上恒成立,7分9分11分13分1分4分故f (x)的单调减区间为(，1下),(一5), Gb,)；无单调增区间.1 3n解：因为b 0 , x 丄，冷,4 421 3所以f(x) 1等价于b x2 x，其中x 丄,3.4 41 311设g(x)x2 x , g (x)在区间一，上的最大值为 g(-)4 4241 321那么"x ,，使得b x x 等价于b -.4 44一 1 所以，b的取值范围是(0,-.419.本小题总分值14分I解：依题意，设直线 AB的方程为x my 2 .将其代入y2 4x，消去x，整理得 y2 4my 80 .从而叶y28 .2y12y2那么ky

16、3y4X1X2y3y444y1y2k2X3X4*y22y32y4*y2y3y444n证明：设 M(X3, y3), N(X4,y4).设直线AM的方程为x ny 1，将其代入y24x，消去x,整理得y2 4ny 40. 9分所以 y-iy34. 10 分同理可得 y2y44. 11分故kL%y2力y2业k2V3V4444yy2由I得2，为疋值.14分20.本小题总分值13分I解：答案不唯一，如下列图数表符合要求.11111111111111113分n解：不存在 A S(9, 9)，使得1(A)0 . 4分证明如下：假设存在A S(9, 9)，使得l(A) 0 .因为 ri(A) 1, 1 ,

17、Cj(A) 1, 1 (1 i 9,1 j 9),所以 n(A), d(A)，“(A), g(A) , C2(A)，C9(A)这 18个数中有 9个 1 , 9个 1令 M r1(A)2(A)r9(A) g(A) C2(A)C9(A).9一方面，由于这18个数中有9个1, 9个1，从而M (1)1 .另一方面，A(A) d(A)B (A)表示数表中所有元素之积记这81个实数之积为 m丨;2c1(A) c2(A)c9(A)也表示m , 从而M m 1 .、相矛盾，从而不存在 A S(9, 9)，使得1(A)0. 8分2川解：记这 n个实数之积为 p .一方面，从“行的角度看，有p ri(A) ° (A)rn(A)；另一方面，从"列的角度看，有p C|(A) C2(A)Cn (A).从而有 ri(A) D(A)rn(A) g(A) C2(A)Cn(A). 10分注意到j(A) 1, 1 , Cj(A) 1, 1 (1 i n,1 j n).下面考虑 n(A), “(A)，-，g(A), q(A), C2(A)，-，Cn (A)中 1 的个数：由知，上述2n个实数中，1的个数一定为偶数，该偶数记为2k (0 k n)；那么1的个数为2n 2k ,所以 1(A)( 1) 2k 1 (2n2k)2(n2k