小学算术公式总结

1、1、函数假设集合A中有n(n二次函数ax2次函数f (x) a(x三角函数1、高中数学公式总结N)个元素，那么集合 A的所有不同的子集个数为 2n，所有非空真子集的个数是 2bx c的图象的对称轴方程是式时，解析式的设Xi)(X X2)(零点式)和 f(x)以角的顶点为坐标原点,始边为点P到原点的距离记为r，贝U sin2x ,顶点坐标是,4ac b 。用待定系数法求二2a2a 4a法 有 三 种 形式，即f (x) ax2 bx c (一般式)，2a(x m) n (顶点式)。x轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点P(x, y),yxy=,cos =, tg =, ctg

2、rrxx,secyrr,csc =。xy2、同角三角函数的关系中，平方关系是：sin2cos2J 1 tg2倒数关系是：tgctg1,sin csc1相除关系是：tgsincoscos 'ctgsin3、诱导公式可用十个字概括为:奇变偶不变,付B (其中A 0,cos sec 1 ；号看象限。2 2sec , 1 ctg2csc ；4、函数 y Asin( x )0)的最大值是A B ,最小值是B A ,周期是T ,频率是,相位是 x2,初相是；其图象的对称轴是直线xk -(k Z)，但凡该图象与直线 y B2 的交点都是该图象的对称中心。5、三角函数的单调区间：y sin x的递增区

3、间是 2k, 2k(k2 23Z),递减区间是 2k , 2k(k Z) ； y cosx 的2 2递增区间是2k ,2k (k Z),递减区间是2k ,2k(k Z) , y tgx的递增区间是k - , k - (k Z)2 26、和角、差角公式：sin()sin cos cossincos()coscossinsin、tgtgtg()1 tg tg7、二倍角公式是：si n2 =2s incos2 2 2 2cos2 = cos sin =2 cos 1 = 1 2 sintg2 2tg1tg28半角公式是：si n =21 cos21 coscos =*2 2r1 cos 1 cos

4、sintg =.=2. 1 cos sin 1 cos9、升幕公式是：1 cos10、降幕公式是：si n222 cos 21 cos21 cos2cos22sin 。21 cos 2。213、正弦定理其中 R为三角形的外接圆半径a bsin Asin Bcsin C2R11、特殊角的三角函数值：0643232sin012暑2百2101cos1旦2辺212010tg0也31后0不存在不存在ctg1300不存在不存在14、余弦定理：第一形式，b2 = a2 c2 2accosB第二形式,2 a cosB=2acr表示，半周长用 p表示那么:15、A ABC的面积用S表示，外接圆半径用 R表示，内

5、切圆半径用1 S bcsin A ；22R2 sin Asin Bsin C S abc ；，4R，p(pa)( p b)(p c) ; ® S pr16、A ABC 中:sin(A + B) = sinC , cos(A + B)-cosC , tg(A + B) -tgC三、1、2、3.四、1、2、3、五、.A Bsin2tgA tgB不等式Ccos,2A Bcos 2.Csin ,2tgA B 丄C ctg2 2tgC tgAtgB tgCyou2两个正数a、b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、两个正数的均值不等式是:均方根之间的关系是双向绝对值不等式:左边：ab 0( 0

6、)时取得等号。右边:数列等差数列的通项公式是等比数列的通项公式是当等比数列 an的公比a ba2b22ab0( 0)时取得等号。an a1 (n 1)d，前n项和公式是:an agn1，前n项和公式是：Snq 满足 q <1 时，lim Sn =S=_n 1在，就把这个极限称为这个数列的各项和(或所有项的和)Sn门佝a.)2g (q 1) 內(1 qn)1 q (q乩。一般地，如果无穷数列q4、假设m、n、p、q N,且m n p q，那么：当数列等比数列时，有am an ap aq。排列组合、二项式定理1、加法原理、乘法原理： 加法分类，类类独立；乘法分步,= na1n(n 1)d 。

7、21)an的前n项和的极限lin，用S表示，即S=lim Sn。nan是等差数列时，有 amanapaq 当数列步步相关 。Sn存an是2、排列数公式：Pm=n(n1)(n m 1)=-(nn!;m)!排列数与组合数的关系:Pmnm! Cnm组合数公式:m n (nCn=r1)(n m 1)mn!m! (nm)! !组合数性质:Cmn mn =CnCmmn +Cn1=Cnm1，ncrc n0=2nc； c；1 c；23 .二项式定理:(ab)nC>n C：an1 2 nb Cna2b2Cr n r rna bCbn二项展开式的通项公式:Tr 1cnan rbr(r0,2六、解析几何1、同

8、一坐标轴上两点距离公式:ABXbXa2、数轴上两点间距离公式:ABXb3、直角坐标平面内的两点间距离公式:P1P2V(X12 2X2)(y1 y2)4、假设点P分有向线段P1P2成定比入，那么入RPPP25、假设点只化，), Pzgy), P(x,y)，点P分有向线段PR成定比入，那么:入= 1=31 ；x = x1空,占吐X1X2X3 y1y2y333x2x y2 y11假设 A(X1,y) B(x2, y2), C(x3, y?)，那么 ABC 的重心 G 的坐标是y2y16、求直线斜率的定义式为k=tg，两点式为k=-x2 x1Ax B1 y C1(A2X B?y C2)0直线方程的几种

9、形式:点斜式：y yok(x xo),斜截式:ykxby两点式：y1x x1截距式：一一1 , 般式：AxByC 0y2y1x2%a b经过两条直线h:Ax B-iy C10和12: A2xB?yC20的交点的直线系方程是8 直线li： y kix bi, I2： y k?x b?，那么从直线h到直线I?的角b满足：tgkl ；直线h与I?的夹角1 k1 k2B满足：tgk?ki1 k1k2|Ax° By。 C9、 点 P(x0,y0)到直线 I: Ax By C 0 的距离：d _,JA 2 2 215、 抛物线标准方程的四种形式是：y2px，y2px,x2py，x2py。 B2C

10、i C210、两平行直线 l1： Ax By C10, l2： Ax By C20距离 d1 Ja2 B22 2 211、 圆的标准方程：(x a) (y b) r圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E2 4F 0)其中，半径是rD2 E2 4F圆心坐标是D E2，2圆心在点C(a, b)，半径为r的圆的参数方程是:x a r cos y b r si n12、假设乂为，浙)，B(X2,y2)，那么以线段AB为直径的圆的方程是(x xj(x X2)(yyj(y祠 02 2 2 2经过两个圆：x y D1XE F10， xyD：xEzy F20的交点的圆系方程是x2y2D1xE1

11、yF1(x2y2D2xE2yF2)02 2经过直线l: Ax By C 0与圆x y Dx Ey F 0的交点的圆系方程是2 2x yDx Ey F(AxByC)013、 圆x2 y2 r2的以P(x°,y0)为切点的切线方程是：x°x y°y r2一般地，曲线Ax2Cy2DxEyF0的以点P(x。，y。)为切点的切线方程是x x0y y0Ax°x Cy°y D 0 E 0 F 0。2 214、研究圆与直线的位置关系最常用的方法有两种： 代数法(判别式法)：八0，=0，0，等价干直线与圆相交、相切、相离； 几何法(圆心到直线的距离与半径的大小关

12、系)：距离大干半径、等干半径、小干半径：等价干直线与圆相离、相切、相交。其中16、抛物线y2 2px的焦点坐标是：-,0，准线方程是：x2点Px0, y0是抛物线y2 2px上一点，那么点焦点且垂直于抛物线对称轴的弦通径的长:17、椭圆标准方程的两种形式是:18、椭圆1 (ac2 a2b2。19、假设点PXo,y°是椭圆2x2a20、21、22、23、24、25、PF1a ex0 和 PF2P到抛物线的焦点的距离称为焦半径：X。卫，过该抛物线的22x2a2y2a2X -21 (ab0)。0的焦点坐标是c,0，准线方程是(a b 0)上一点,Fi、22，离心率是e -，通径的长是。ca

13、aF2是其左、右焦点，那么点P的焦半径的长是ex0。双曲线标准方程的两种形式是:2 X 双曲线2.2ab22Xy2.2ab22Xy方程是2 a2 y1的焦点坐标是0。其中c2b2x2系方程是弓-a2 k(a 0， b 0) oc,0，准线方程是2ac，离心率是e ，通径的长是a2b2丝，渐近线aa2b2。1共渐近线的双曲线系方程是2yb2 k2y(0)。2X与双曲线a2 y b21共焦点的双曲线假设直线y kx b与圆锥曲线交于两点AX1，y1，BX2，y2，那么弦长为假设直线x my t与圆锥曲线交于两点 AX1，y1，Bx2，y2，那么弦长为圆锥曲线的焦参数 p的几何意义是焦点到准线的距离

14、，对于椭圆和双曲线都有:平移坐标轴，使新坐标系的原点 O在原坐标系下的坐标是h，k，假设点标系下的坐标是x,y，那么x = x h， y = y七、立体几何AB V(1 k2)(x1 X2)2 ；AB.(1 m2)(y1y2)2。b2PcP在原坐标系下的坐标是x, y，在新坐一、有关平行的证明公理4S|11 / 1211 / aa/3卜l11、Jli /l3l1l1 / I2l1I1 / I2I1/ l 2线/线|2/ 13aA3 =l2l2l2线/线线/线线/面线/线面/面线/线同垂直于一个平面线/线aa/B r2、b线/面a/aJa/Ba/ ba线/线线/面面/面线/面abbAa>3

15、、aaBa/3面/面a/aab/B线/面面/面冋垂直于直线面/面一、有关垂直的证明a三垂线定理丄射影丄斜线1、线丄线a bf平面内直线b逆定理丄斜线丄射影线丄面线丄线线丄线线丄线aba/ bka/3 a卜2、a b AlJblJa线丄面l aalll bal线丄线线丄面a 13、J面丄面a线丄面面丄面S是二面角的一个面内图形F的面积，S是图形1、求二面角的射影公式是 cos S，其中各个符号的含义是:S在二面角的另一个面内的射影,是二面角的大小。2、假设直线l在平面内的射影是直线l，直线m是平面内经过l的斜足的一条直线，I与l所成的角为-,l与所成的角为l与m所成的角为B,那么这三个角之间的关

16、系是COS COS i COS 2。3、体积公式:3、直棱柱：V S侧面积：直棱柱侧面积:1锥体：V 丄S h , 球体:3r3。S ch，正棱锥侧面积:球的外表积：S 42 r。5、几个根本公式：弧长公式：1r(是圆心角的弧度数，>0 )；扇形面积公式：一、比例的几个性质1、比例根本性质：acadbc ；反比定理:acb dbdbda c更比定理：-cab；合比定理；-cabc dbdcdbdbd分比定理：-cab；合分比定理：aca bbdbdbda b人亠acabc d合比定理：一bdabc d等比定理：假设a _a2a.b2b3bn0 ,nS -l r ；2那么色9293b-b2

17、b39n91 。bn31.2.3.PqP且qP或q真真真真真假假真假真假真假假假假简易逻辑可以判断真假的语句叫做命. 逻辑连接词有“或、“且和“非 p、q形式的复合命题的真值表：4.命题的四种形式及其相互关系原命题假设p那么q互逆逆命题假设q那么p/习文档仅供参考否命题逆否命题原命题与逆否命题同真同假;平面向量否逆命题与否命题同真同假1运算性质：abba,a b c ,a2 坐标运算：设 a xi, yi , bX2, y2，那么XiX2, yiy2设A、 B两点的坐标分别为Xi,yi),(X2,y2)，那么ABX2Xi, y2 yi .3实数与向量的积的运算律a,a,设 a x, y那么入a

18、x, yx, y4.平面向量的数量积:定义：a bcos0,b0,00i8000 a 0.运算律：a ba,坐标运算:设aXi,yi ,bX2, y2，那么a bx1x2yiy25重要定理、公式：(i)平面向量的根本定理如果e 和e2,那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数i,2,使ai ei2 ©2(2)两个向量平仃的充要条件a/ b ab (R)设 aXi, yi , bX2, y2，贝U a/ bXiY2X2Yi 0(3)两个非零向量垂直的充要条件a ba b 0设 aXi, yi , b X2,y2，那么abx-i x2ym 0是同一平面内的两个不共线向量(4)线段的

19、定比分点坐标公式：设 P x, y，Pixi，yi，P2 X2，y2，且 R PPP2 ，那么1y yiy2XiX2yix中点坐标公式2yiy2y2(5)平移公式：如果点Px， y按向量ah,k 平移至P'( x'，y')，那么xxh,Iyyk.空间向量i向量加法与数乘向量的根本性质a bba, abca (bc)， k abk akb2向量数量积的性质.a bab cosa0,b0,001800，a a2a ,xa y b z c，(x,y,z)叫做向量 p在基底 a, b, ca, b, c，且对空间任一向量p ,存在唯一的有序实数组x,y,z使p上的坐标.设0、A

20、、B、C是不共面的四点，那么对空间任一点P都存在唯一的有序实数组x,y,z使OP xOA yOB zOC4向量的直角坐标运算设 aa-, a?, a3,bbi,b2,b3 ,那么 aba-ib1, a2b2 , a3 b3，a-bi,a2b2 , a3b3，a1 , a2 , a3a1b1a2b2a3b3，2a3cosa,b1a bia： b：a3b32 2 2 2aia2a3bib；b/a/ ba-b1 ,a 2b2, a3b3,R ， a设A=Xi, yi,z-,B= X2, y2, Z2，那么 ABOB OAba1b1 a2b2 a3b3 0X2,y2,Z2 - Xi,y-,Zi=X2

21、xy2 y-,z? z-AB.AB ABy2 y1Z2 乙四、概率(1)(2)假设事件A、假设事件A、为互斥事件，那么 为相互独立事件P( A+B)=P( A)+P( B)，那么 P ( A B) =P (A ) P (B)(3)假设事件A、为对立事件，那么P (A) +P (B) =1。一般地，p A 1 P A(4)Pn Kk kCn P 1 P五、概率与统计如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事恰好发生K次的概率1.那么E的数学期望 E E =x1 p1 x2 p2(1)离散型隋机变量的分布列的性质：pi 0,i1,2,;p1 p2EX1X2XnpP1P2p

22、nxn pn(2)假设离散型惰机变量E的分布列为期望的性质：设 a、b 为常数，那么 E ( aE +b) =a EE +b假设 E B (n, p),那么 EE =npE 的方差为 D E = (X1- e E) 2 p1+ (X2 - E E) 2 P2+ (Xn- E E) 2 Pn+ 方差的性质：设 a、b 为常数，那么 D ( aE +b) =a2D e假设 E B (n, p),贝U D E =np (1-p)(3)正态分布：X 2正态总体函数 f x e 2, x布，记作N (,2),函数的图象叫正态曲线在正态分布中，当，=0,=1时，叫做标准正态分布，记作，其中表示总体平均值，

23、表示标准差，其分布叫做正态分N( 0，1).标准正态分布表中，相应于X0 的值 X0 =P X X0 .正态总体NX2)取值小于X的概率F (X)=假设x0 <0,那么Xo=1-Xo，从而可利用标准正态分布表正态分布 N2)X0X2P XX2P XXi=F x2F x1X2Xi六、导数(1)定义：当 xt 0时，函数的增量 y与自变量的增量厶x的比一丫的极限，即Xx Lim Limx 0 x x 0(2)函数y f x在点xo处的导数的几何意义，就是曲线yf x在点P ( Xo ,f ( Xo )处的切线的斜率(3)质点作直线运动的位移S是时间t的函数，那么Sto即为质点在t=to的瞬时

24、速度(4)几个重要函数的导数:C 0, (C为常数)：nnx nx sinxcosx : cosxsinx1 Inx : log axx-log ae ； Xexex :axI na(6)导数的四运算法那么:(一)'(5)复合函数求导法那么yx y x，其中yx是y对x求导，y是y对求导,对x求导.(7)导数的应用<0的区间为减区间 可导函数求单调区间或判断单调性的方法：使f x >0的区间为增区间，使f,假设左负右正，那么在这个根处取极小可导函数f x求极值的步骤：i 求导数f x ii 求方程f X =0的根Xi,X2,iii 检验f X在方程的根的附近左右值的符号，假

25、设左正右负，那么在这个根处取极大值值连续函数在闭区间上一定有最大值和最小值 f X在闭区间a,b上连续，在 ( a,b)内可导，那么求f x最大值、最小值的步骤与格式为：i 求导数f X ii 求方程 f X =0 的根 Xi，X2，xniii 结合在a，b上的根及闭区间a，b的端点数值洌出表格假设(ax1x2xnb)Xaa，X1X1X1，X2X2XnXn，bb1y正负号0正负号00正负号y值单调性值单调性值值单调性值iv 根据上述表格的单调性及的大小，确定最大值与最小值七、函数极限(1) lim f xa的充要条件是 lim f x lim f x aXXX(2) lim f x a 的充要

26、条件是 lim f x lim f x aXX)X XqX Xq(3) f x在X)处连续的充要条件是lim f x fX)，几可意义是f x的图象在X)处是不间断的，即是连续的X X0(4)函数极限的四那么运算如果Iim fx X0a, Iim g xx xob，那么,Iim f xx X0XIimxX0b ； Iim,x xo g x b(tgx)2 sec(arcsin x)(ctgx)2 csc :1.1 x2(secx)secx tgx(arccosx)_1_1 x2(cscx)(a )cscxctgxax In a(arctgx)(log ax)xln a(arcctgx)tgxd

27、xIn cosxdx2cos xsec xdxtgx CctgxdxIn sinxsecxdxln secxdx2sin xcsc2 xdxctgx Ccscxdxln cscxctgxsecxtgxdxsecxdx22a x-arctg a acscx Cdx-22x a丄ln2adx22a x1 , a x ln2a a xdxa2xarcs in aaxdxaCCln ashxdxchxCCchxdxshxCdxctgxdxcscxxa2x2x x2 a2) C2_ nxdx2nxdxn1nsincosIn200n2Vx22 adxx 2 vx2 aaln(x:2 2 vx a)C222

28、2 2 y x aJx22 adxx 一 2 Vx2 aalnXC222n- CJa22 xdxX2Va2 Xaarcs22aI根本积分表：三角函数的有理式积分:2usinx2,1 ucosxxtg2，dx2du1 u2一些初等函数:两个重要极限:双曲正弦:shxxxe e2双曲余弦:chxxxe e2双曲正切:thxxxshx e exxchx e earshx In(x. x2 1)archxln(x.x21)arthx1ln1xsin x lim1x 0lim (11)xex、函数角A、sincostgctg-a-sin acos a-tg a-ctg a90 °acos as

29、in actg atg a90 °+ acos a-sin a-ctg a-tg a180 °asin a-cos a-tg a-ctg a180 °a-sin a-cos atg actg a270 ° a-cos a-sin actg atg a270 ° a-cos asin a-ctg a-tg a360 ° a-sin acos a-tg a-ctg a360 ° asin acos atg actg a-和差化积公式:sin()sincoscossincos()coscossinsintg()tgtg1 tgtg

30、ctg()ctgctg1-和差角公式:ctg ctgsinsinsinsincos coscos cos三角函数公式:诱导公式：2sincos222cossin222coscos2 22sin sin 2 2sin22sin coscos22 cos1 1 2sin2cos2sin2ctg21ctg22ctgtg22tg21 tg半角公式：si n3cos3tg33sin4si n34cos33cos3tg tg31 3tg21 cossin2 . 2 tg-/ cos2, 1 cos正弦定理：sin A1 cossinsin1cosbc2Rsin Bsin C-余弦定理：c2 a2 b2 2

31、abcosC.1 coscos-2 21 cos1 cos sinctg2: 1 cos sin 1 cos反三角函数性质：arcsi nx arccosx2arctgx arcctgx2(uv)(n)nCnU(nk) (k)vk 0(n) u v(n 1) nu vn(n 1) (n 2)u vn(n 1) (n k 1) (n k) (k)uv(n)u v2!k!高阶导数公式莱布尼兹(Leibniz )公式:中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f(b) f(a) f ( )(b a) 柯西中值定理：丄包迴丄F(b) F(a) F ()当F(x) x时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理

32、曲率：弧微分公式：ds . 1 y 2dx,其中y tg平均曲率：KK |.:从M点到M点，切线斜率的倾角变 化量;s： MM弧长。M点的曲率：KIdslimsy(1 y2)3直线：K 0;半径为a的圆：K -.a定积分的近似计算:b矩形法：ab梯形法：af(x)f(x)b a /(yo yinb-a1(y0 yn)n 2b抛物线法：f (x)- a(yo yn)a3n定积分应用相关公式:功：W水压力：F p Akmimi,k为引力系数r1函数的平均值：y b a引力：Fbf (x)dxayiyn 12(y2 y4y 2)4(yi y3yn 1)均方根:宀a®空间解析几何和向量代数：

33、空间2点的距离：dM 1M 2向量在轴上的投影：Pr ju AB,(X2 Xi)2(y2 yi)2AB cos ,是AB与u轴的夹角。Prju(6 a?) P门印 PJa?a b cosaxbxaybyazbz，是一个数量，两向量之间的夹角:cos2 2a* ayaxbxayby azbzby2yaz2bx2cabaxbxjaybyazbza b sin例:线速度:向量的混合积:abc (ab)axbxCxaybyCyazbzCz代表平行六面体的体积。(Z2 乙)2bz2c cos ,为锐角时,平面的方程：1、点法式：A(x x0) B(y y0) C(z 般方程：Ax Byz°)

34、0,其中 n A,B,C, M°(X0,y0,Z0)2、Cz D 03、截距世方程：-上a b平面外任意一点到该平面的距离:Ax° By° Cz° D2.A2B2 CXo空间直线的方程:xX0mz0Pt,其中s m, n, p;参数方程:y020mtntPt二次曲面:1、椭球面:2、抛物面:2x2a2x2p2y_y2y2q乙(p, q同号)3、双曲面:单叶双曲面:双叶双曲面:2xa2xa2y2y_b22刍1 c2刍1(马鞍面)c多元函数微分法及应用全微分：dz dx x全微分的近似计算：dy yz dzdu dx dy dz y zfy(x,y) yxf

35、x (x, y) x多元复合函数的求导法：dzdtz fu(t),v(t)z fu(x,y),v(x,y)x当u u(x,y), v v(x, y)时，du dx dyx y隐函数的求导公式：dv dxxdy y隐函数F(x,y) 0,dydx隐函数 F(x,y,z) 0,FxFy，Fz，d2ydx2dyFy) dxFzu1(F,G)vXJ(x,v)Xu1(F,G)vyJ(y,v)y微分法在几何上的应用:FFj(F®u飞(u,v)GGuv1(F,G)j(u,x)1(F,G)j(u,y)隐函数方程组：F(x,y，u，v)0G(x,y,u,v) 0FuGuFvGvx空间曲线yz(t)(t

36、)在点M (xO1yo,Zo)处的切线方程:(t)x Xo"(Uyy。z Zo(to)(to)在点M处的法平面方程:(to)(x xo)(to)(y yo)(to)(z Zo) o假设空间曲线方程为:F(x，y，Z) o,那么切向量TG(x,y,z) oFyGy寫：，GxG z Gz G x GxFyGy曲面 F (x, y, z) o 上一点 M(xo,yo,zo),那么:1、 过此点的法向量：n Fx(xo, yo,zo), Fy(xo,yo,zo), Fz(xo,y°,zo)2、 过此点的切平面方程：Fx(Xo,y°,Zo)(x Xo) Fy(Xo,y

37、76;,Zo)(y y°)Fz(Xo,yo,Zo)(z方向导数与梯度:Zo)03、过此点的法线方程:x Xoy yoz ZoFx(Xo,yo,Zo)Fy(Xo, yo,Zo)Fz(Xo, yo,Zo)函数z f (x, y)在一点p(x, y)沿任一方向I的方向导数为：丄 cosl x其中为X轴到方向I的转角。函数 z f (x, y)在一点 p(x, y)的梯度：gradf (x, y) i jx y它与方向导数的关系是：一 grad f (x, y) e,其中e cos i sin单位向量。sin y，为I方向上的多元函数的极值及其求法:是gradf (x,y)在l上的投影。设f

38、x(Xo,yo)fy(Xo, yo)0，令：fxx(Xo,yo)A,fxy(Xo,yo)B,fyy(Xo, yo)CAC B2 0寸,A °,(Xo,yo)为极大值A 0,(x0,y0)为极小值那么：AC B20时，无极值AC B2 0时,不确定重积分及其应用:f (x, y)dxdy f (r cos , rsin )rdrdDD曲面z f (x, y)的面积Adxdy平面薄片的重心：xMxMx (x, y)dD(x,y)d平面薄片的转动惯量:D对于X轴I x2y (x, y)d ,Dy (x, y)dD(x, y)dD对于y轴I y柱面坐标和球面坐标:平面薄片(位于 xoy平面)

39、对z轴上质点 M(0,0,a),(a0)的引力:Fx(x,y)xd(x, y)ydD / 2(x3，2 2“y a )2Fy2 2(x y3,a2)2Fz2x (x, y)dDFx,Fy,Fz，其中:(x, y)xdfa2(x3)2柱面坐标：y r sin ,z zf (x, y, z)dxdydzF (r, ,z)rdrd dz,其中：F(r, ,z) f (r cos , rsin ,z)x r sin cos球面坐标：y r sin sin ,dv rdr sind dr2 r sindrd dz r cos2r(,)f (x, y, z)dxdydzF (r,)r2 sindrd dd

40、dF(r, , )r2:.sindr0 00重心：xx dv,y1ydv,z1z dv,其中MxMMM转动惯量：I x(y2 z2)dv,Iy(x2z2)dv,Iz(x2y2)r cosxdv曲线积分:dv第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)：设f (x, y)在L上连续，L的参数方程为:(t)(t)(t )，那么:f(x,y)ds f (t), (t)J dt (L特殊情况:y (t)第二类曲线积分(对坐设L的参数方程为xy标的曲线积分)：2那么：P(x, y)dx Q(x,y)dyL两类曲线积分之间的关P (t).(t)(t) Q (t), (t)(t)dtQdy系：PdxLL上积分起止点处

41、切向量 的方向角。Q P格林公式：()dxdy : Pdxd x yl当P y,Q x，即：卫2时， x y平面上曲线积分与路径无关的条件:1、G是一个单连通区域；(Pcos QcosLQdy格林公式：(-QD x得到D的面积：A)ds其中和分别为P)dxdy ydxdyD12lPdx QdyLxdy ydx2、P(x, y), Q(x, y)在G内具有一阶连续偏导数Q P,且-Q二一。注意奇点，如(0,0),应y减去对此奇点的积分，注意方向相反! 二元函数的全微分求积： 在卫=时，Pdxx y(x,y)u(x, y) P(x,y)dxQdy才是二元函数u(x, y)的全微分，其中:Q(x,

42、y)dy,通常设 x0 y00。(xo,yo)曲面积分:对面积的曲面积分:f (x,y,z)ds fx,y,z(x,y) J z；(x,y) z：(x,y)dxdyDxy对坐标的曲面积分:P(x,y,z)dydz Q(x, y, z)dzdx R(x, y,z)dxdy,其中:R(x, y,z)dxdyRx, y,z(x, y)dxdy,取曲面的上侧时取正 号；DxyP(x, y,z)dydz Px(y,z), y, zdyd乙 取曲面的前侧时取正 号；DyzQ(x,y,z)dzdx Q x, y(z,x), zdzdx取曲面的右侧时取正 号。Dzx两类曲面积分之间的关 系：Pdydz Qdzdx Rdxdy (Pcos QcosRcos )ds高斯公式:)dv Pdydz Qdzdx Rdxdy -(Pcos zQ cosRcos )ds高斯公式的物理意义 通量与散度：散度：div ,即：单位体积内所产生 的流体质量，假设divx y z通量： A ndsAnds(Pcos Qcos Rcos )ds，0,那么为消失.斯托克高斯因此，高斯公式又可写 成： div