数学思想方法(一)2009

1、精选文档 数学思想方法（一） 2009.2.25试验中学 黎东材【总 述】 数学思想方法是对数学的生疏内容和所使用的方法的本质生疏，它是从某些具体数学生疏过程中提炼出来的一些观点，是学问转化为力量的桥梁。高考对数学思想和方法的考查是以学问为依托，以力量为目的。数学思想和方法是数学学问在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于学问发生、进展和应用的过程中。因此，在高考中对数学思想和方法的考查必定要与数学学问相结合，以数学学问为素材，考查同学对数学思想和方法的理解和把握程度。高考对数学思想和方法的考查贯穿于整份试卷之中。客观型试题虽以考查数学基础学问、基本技能为主，但对数学思想和方法的考查也蕴含之中。解答

2、题的考查要求能更深刻的体现出数学思想和方法在考查创新意识、应用意识、综合力量中的地位和作用。【函数与方程的思想】函数是高中代数内容的主干。函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括和提炼，是从函数各部分内容的内在联系和整体角度来考虑问题、争辩问题和解决问题，寒暑思想贯穿于高中代数的全部内容。函数学问涉及的学问点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有肯定的要求，所以是高考中考查的重点。 (1) 函数和方程是亲密相关的，对于函数，当时，就转化为方程，也可以把函数式看做二元方程。函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程，就是求函

3、数的零点。(2) 函数与不等式也可以相互转化，对于函数，当时，就转化为不等式，借助于函数图像与性质解决有关问题，而争辩函数的性质，也离不开解不等式。(3) 数列的通项或前项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题格外重要。(4) 函数与二项式定理是亲密相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题。(5) 解析几何中的很多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论。(6) 立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。函数与方程、不等式是通过函数值等于零

4、，大于零或者小于零二相互联系的，他们之间既有区分又有联系。函数与方程的思想，既是函数思想和方程思想的体现，也是两种思想综合运用的体现，是争辩变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想。一、函数与方程1.方程的解所在的区间为（ C ）A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+)2(07天津)设均为正数，且，.则（ A ）A. B. C. D. 3(07湖南)函数，函数，则方程的解有（ B ）个A.4 B.3 C.2 D.1 二、函数与不等式4假如函数对于任意实数，都有，那么（ A ）A. B. C. D. 5（07安徽）若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ B

5、）A. a-1 B. 1 C.1 D.a16.（08天津卷）设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值集合为（ B ）（A） （B） （C） （D）7. （04天津卷）设是函数的反函数，则使成立的x的取值范围为（ A ）A B C D 8（全国卷）已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为。（）若方程有两个相等的根，求的解析式；（）若的最大值为正数，求的取值范围。解：（） 由方程 由于方程有两个相等的根，所以，即 由于代入得的解析式 （）由及由 解得 故当的最大值为正数时，实数a的取值范围是三、函数与方程的思想贯穿高中数学9（08安徽卷）在数列在中，,其中为常数，则的值是 1 。10（08四

6、川卷）设等差数列的前项和为，若，则的最大值为_4_。11数列中，若数列是递增数列，则实数的取值范围是。12（07全国1理）的三个内角为，求当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。13（08崇文一模）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC=90，AB=BC=AA1=2，D是AB的中点. （I）求AC1与平面B1BCC1所成角的正切值； （II）求证：AC1平面B1DC； （III）已知E是A1B1的中点，点P为一动点，记PB1=x. 点P从E动身，沿着三棱柱的棱，依据EA1A的路线运动到点A，求这一过程中三棱锥PBCC1的体积表达式V（x）.14. （07全国2）设为抛物线的焦点，为该抛

7、物线上三点，若，则（ B ）A9 B6 C4 D32r日r15（07北京）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，方案将此钢板切割成等腰梯形的外形，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；（II）求面积的最大值【分类争辩思想方法】引起分类争辩的缘由主要是以下几个方面：（1）问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如确定值的定义（2）问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前项和的公式（3）解含有参数的题目时，必需依据参数的不同取值范围进行争辩。如解不等式（4）另外，某些

8、不确定的数量、不确定的图形的外形或位置、不确定的结论等，都主要通过分类争辩，保证其完整性，使之具有确定性。一、因数学概念、定理、公式等需要争辩1若，且，则实数中的取值范围是（ D ） A. B. C. D. 2一条直线过点（5，2），且在轴，轴上截距相等，则这直线方程为（ D ） A. B. C. D. 3已知椭圆的离心率 e， 则m的值为（ B ）A3 B或3 C D或45（06北京）在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（ B ）（A）36个 （B）24个 （C）18个 （D）6个二、因问题本身含有参数6（06江西卷）若不等式对于一切成立，则取值范围是（ C ）

9、A0 B. 2 C.- D.-37（05北京春）若不等式对于任意正整数恒成立，则实数的取值范围是（ A ） A. B. C. D. 8解关于的不等式：9已知函数（1）当时求的最小值；（2）设的最小值为，求的表达式；（3）在（2）的条件下，求的最大值10（08北京）已知函数，求导函数，并确定的单调区间【特殊与一般的思想】通过对某些个例的生疏，积累对这类事物的了解，由现象到本质，由实践到理论；再用所得到的规律解决这类事物中的新问题。这种由特殊到一般再由一般到特殊的反复生疏的过程，就是人们生疏世界的基本过程之一。在高考考查中，突出体现的是特殊化的方法，常见的有构造特殊函数、特殊数列，查找特殊点，确定

10、特殊位置，利用特殊值、特殊方程等。一、代数中的特殊化1（2005辽宁）已知是定义在上的单调函数，实数，若，则（ A ）(A) (B) (C) (D)2（07年安徽）定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为( D ) A.0 B.1 C.3D.5 3.（08年辽宁）设是连续的偶函数，且当时是单调函数，则满足的全部x之和为（ C ）ABCD4(06上海卷)若关于的不等式4的解集是M，则对任意实常数，总有（ A ）（A）2M，0M； （B）2M，0M； （C）2M，0M； （D）2M，0M5已知数列满足，则=（ B ）A0BCD6（06全

11、国II）设Sn是等差数列an的前n项和，若，则（ A ）（A） （B） （C） （D）7（08朝阳一模）设数列的前项和为，对一切，点都在函数 的图象上 （1）求的值，猜想的表达式，并用数学归纳法证明；（2）将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（），（，），（，），（，）；（），（，），(，），（，）；（），分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后挨次构成的数列为，求的值；二、几何中的特殊化8（07年全国1）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 9（2005全国1）的外接圆的圆心为，两条边上的高的交点为，则实数= 1 。10.（0