自考概率论与数理统计(经管类)公式

1、概率论与数理统计(经管类)公式一、随机事件和概率1、随机事件及其概率运算律名称表达式交换律ABBA AB BA结合律(A B) C A (B C) ABC (AB)C A(BC) ABC分配律A(B C) AB AC A (BC) (A B)(A C)德摩根律A B AB AB A B2、概率的定义及其计算公式名称公式表达式求逆公式P(A) 1 P(A)加法公式P(A B) P(A) P(B) P(AB)条件概率公式P(BA) P(AB)1P(A)乘法公式P(AB) P(A)P(BA) P(AB) P(B)P(AB)全概率公式nP(B)P(Ai)P(B|Aj)i 1贝叶斯公式P(Aj)P(BA

2、j)P(Aj|B)逆概率公式P(Aj)P(B|AJi 1伯努力概型公式Pn(k)c；pk(1 p)n k,k 0,1, n两件事件相互独立相P(AB) P(A)P(B) ； P(B A) P(B) ； P(BA) P(BA) ； P(B A) P(B A) 1 ；应公式P(BA) P(B A) 1、随机变量及其分布1、分布函数性质P(X b) F(b) P(a X b) F(b) F(a)2、离散型随机变量分布名称分布律0 - 1 分布 B(1, p)P(X k) pk(1 p)i, k 0,1二项分布B(n,p)P(X k)p)n k, k 0,1, ,n泊松分布P()kP(X k) e 肓

3、，k 0,1,2,k!几何分布G(p)P(X k) (1 p)k 1 p, k 0,1,2,超几何分布H(N,M, n)k n kP(X k) cmcn_m ,k 丨，| 1, ,min(n,M) cN3、连续型随机变量分布名称密度函数分布函数均匀分布U(a,b)1 . ,a x b f(x)b a0,其他0, x aF(x) x a,a x b b a1,x b指数分布E()e x, x 0 f(x)0,其他0,x 0F(x)xc1 e , x 0正态分布N( ,2)(x )21 2 2f (x) e2xJ221x_LF(x)e 2 d tV2标准正态分布N(0,1)x21 (X)2xV2(

4、t )21X-2F (x)e 2 d tV21、离散型二维随机变量边缘分布P(Y yj)P(x x,Y yj) PijiiPiP(X x) P(Xj2、离散型二维随机变量条件分布yj)PijPijP(X XiY yj)P(X x.yj)P(Y yj)Pij .,iPj1,2Pji P(Y yj X xi)P(X x,Y yj)P(X Xi)Pij,j1,23、连续型二维随机变量(X ,Y )的分布函数F(x, y)x yf(u,v)dvdu三、多维随机变量及其分布4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数分布函数：Fx (x)f(u,v)dvdu密度函数:FY(y)f(u,v)dudvf

5、 x (x)f(x,v)dvfY (y)f (u, y)du5、二维随机变量的条件分布fYX(yx)皿fx (x)fxY(xy)f(x, y)fY(y)四、1、数学期望离散型随机变量:E(X)Xk Pk1连续型随机变量:E(X)xf (x)dx2、数学期望的性质(1) E(C) C,C为常数 EE(X) E(X) E(CX) CE(X) E(X Y) E(X) E(Y) E(aX b) aE(X) b E(CiXiCnXn) CiE(Xi)CnE(Xn)假设XY相互独立那么：E(XY) E(X)E(Y)(4) E(XY)2 E2(X)E2(Y)3、方差：D(X) E(X2) E2(X)4、方差

6、的性质2 2(1) D(C) 0DD(X) 0 D(aX b) a2D(X) D(X) E(X C)2(2) D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y) 假设 XY相互独立那么： D(X Y) D(X) D(Y)5、协方差：Cov(X,Y) E(XY) E(X)E(Y) 假设 XY相互独立那么：Cov(X,Y) 06、相关系数:xy 0即XY不相关xy (X,Y) CoV(X,Y)假设XY相互独立那么:JD(X)JD(Y)7、协方差和相关系数的性质 (1) Cov(X,X) D(X) Cov(X,Y) Cov(Y, X) Cov(X1 X2,Y) Cov(X1,Y) Cov(X2,Y

7、)Cov(aX c,bY d) abCov(X,Y)8、常见数学分布的期望和方差分布数学期望方差0-1 分布 B(1, p)Pp(1 p)二行分布B(n, p)npnp(1 p)泊松分布P()几何分布G(p)1 p1 p2 p超几何分布 H(N,M,n)M n NM M、NmnN(1N) N1均匀分布U(a,b)a b2(b a)212正态分布N( , 2)2指数分布E()1丄2五、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式假设E(X) ,D(X)2,对于任意0 有 PX E(X) 或 PX E(X) 12、大数定律:假设X1 X n相互独立且nn时，1Xi D1nE(Xi)n i 1ni 1(

8、1)假设X1Xn相互独立，E(Xi)i,D(Xi)2 2 i且 iM那么：1n, nP 1Xi-E(Xi),(n)ni 1n i 1假设X1Xn相互独立同分布，且E(Xi)i那么当n时：1nXiPn i i(1)独立同分布的中心极限定理:均值为，方差为 20的独立同分布时，当n充分大时有:YnnXk nk 1nN(0,1)(2)拉普拉斯定理:随机变量n(n 1,2) B(n, p)那么对任意x有:n npxlimP.np(1p)Xe Tdt(X)(3)近似计算:P(aXk b) P(anXk nk 1bn、n)(T )3、中心极限定理六、数理统计1、总体和样本总体X的分布函数F(x)样本(XX

9、2 Xn)的联合分布为F(Xi，X2Xn)nF(Xk)k 12、统计量(1)样本平均值:1 Xi (2)样本方差:n i 1S2(Xi1X)22 2 (Xi2 nX )1(3)样本标准差:X)2AkXik,k 1,2样本k阶原点距:n_(Xi X)k,k 2,3(6)次序统计量：设样本(X1,X2 Xn)的观察值(X1,X2 Xn)，将X1, X2 Xn按照由小到大的次序重新排列,样本k阶中心距:i 1BkM k得到X(1)X(2)X(n)，记取值为X(i)的样本分量为X(i)，那么称X(1) X(2)X(n)为样本(XX2 Xn)的次序统计量。 X(1) min(X1,X2 Xn)为最小次序

10、统计量；X(n) max(X1,X2 Xn)为最大次序统计量。3、三大抽样分布2(1) 分布：设随机变量X1,X2Xn相互独立，且都服从标准正态分布N(0,1),那么随机变量2 Xi2 X；X 2所服从的分布称为自由度为 n的2分布，记为 2 2(n)性质： E 2( n) n,D 2( n) 2n 设 X 2(m), 丫2(n)且相互独立，那么 X Y 2(m n)t分布：设随机变量X N(0,1),Y 2(n)，且X与Y独立，那么随机变量:XT -所服从的分布称为自 .Y n由度的n的t分布，记为T t(n)性质： Et(n) 0,Dt(n),(n 2) lim t(n)n 2nN (0,

11、1)(x )22 2(3) F分布：设随机变量u2(nV2(n2)，且U与V独立，那么随机变量Fg,n2)亠所服从的分布V n2称为自由度(nn2)的F分布，记为FF(m,n2)1性质：设 X F(m, n)，贝UF (n, m)X七、参数估计1、参数估计(1)定义：用(X1,X2, Xn)估计总体参数总体的估计值。(2)当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值2、点估计中的矩估计法：总体矩=样本矩，称(XX2, Xn)为 的估计量，相应的=未知参数的最大似然估计值(X1,X2, Xn)为离散型样本均值：XE(X)nXi连续型样本均值:X E(X)xf (x, )dx离散型参数:E(X2)XiP()那么可得到概率密度:3、点估计中的最大似然估计f (X1,X2,xn,)nf(Xi,)或P(X X1,i 1nn