2018年湖南省邵阳市晏田乡中学高三数学文上学期期末试题含解析

1、2018年湖南省邵阳市晏田乡中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1 .给出两个命题：p：X|=x的充要条件是x为正实数；q：存在反函数的函数一定是单调递增的函数则下列复合命题中的真命题是()A.p且qB.p或qC.1卜p且qD.1卜p或qBf2-|xhz<212 .已知函数f(x)=(k2)<苫>2函数g(x)=f(2-x)-4b,其中bCR,若函数y=f(x)+g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是()A.(7,8)B.(8,+8)C.(7,0)D.(一巴8)A【考点】根的存

2、在性及根的个数判断.【分析】求出函数y=f(x)+g(x)的表达式，构造函数h(x)=f(x)+f(2-x),作出函数h(x)的图象，利用数形结合进行求解即可.工【解答】解：函数g(x)=f(2-x)-4b,由f(x)+g(x)=0,彳导f(x)+f(2-x)设h(x)=f(x)+f(2-x),若x<0,则-x>0,2-x>2,则h(x)=f(x)+f(2-x)=2+x+x2,若0<x<2,则一24x<0,0<2-x<2,WJh(x)=f(x)+f(2-x)=2-x+2-|2-x|=2-x+2-2+x=2,若x>2,x<2,2xv0,

3、则h(x)=f(x)+f(2x)=(x2)2+2|2x|=x25x+8.作出函数h(x)的图象如图：1IIII.-3-2-1O12345x-1-LIL£当x<0时，h(x)=2+x+x2=(x+2)2+4>4,当x>2时，h(x)=x2-5x+8=(x-2)由图象知要使函数y=f(x)+g(x)恰有4个零点，b即h(x)=4恰有4个根，：44,解得：bC(7,8)故选：A.【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键，属于难题.3 .七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为东方模版”，它是：由五块等腰直角三角形，一

4、块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图是一个七巧板拼成的平行四边形ABCD,E为AB边的中点，若在四边形ABCD中任取一点，则此点落在阴影部分的概率为()5C1531A.4B.16C.DD.之【分析】分别求出平行四边形和阴影部分的面积，根据几何概型的公式计算即可得到结果【详解】由图象可知，用皿耳LTCU,p二心则此点落在阴影部分的概率为：耳皿故选：C.【点睛】本题考查几何概型的计算，正确求解阴影部分面积是解题的关键，属中档题4 .已知双曲线的一个焦点与抛物线?二啊的焦点重合，且其渐近线方程为近土勺=0,则该双曲线的标准方程为（V3 /幺-二1B 9 16C. XT D5 .已知函数尸（/

5、+值钠/，当心1时，函数/在（叫2）,上均为增口+5函数，则口-2的取值范围是（D.1-piJ府二门（2）""*,因为函数代*在（吗2）,O,im）上均为增函数，所以/（¥”口在（吗2）（1,100）上恒成立，即/+（口+2），+口十*之。在（叼2）。，Ie）上恒成立，令网外二3g+"&则。在（叫2）,。，|g）上恒成立，所以有h(-2>=(-2)34(+2)x(-2)+a+ft=4-A>0网）= 1+（口+2）+口+方二2。+力+3,0口+2-2<<12,即日，力满足a+6 A 02 口+b + 3“ b<y mh

6、mz直角坐标系内作出可行域，'日中 b 2+/? 2 6+2=14口一2 ,其中 a-2表示的几何意义为点灯工为与可行域内的点°（”）两点连线的斜率，由图可知,所以222</+1£-（-2'一3,即口一2的取值范围为3【考查方向】考察学生函数求导、二次函数的性质及线性规划问题，属于中档题.【易错点】函数恒成立的转化，线性规划的几何意义理解。【解题思路】根据：求导公式求出函数的导数，在根据二次函数图象求出围，绘制出a,b的取值范围，根据线性规划求出其取值范围.6.已知函数/(i)=2m(2x+伊)(闸<外I图象过点但回，则'图象的-个对称中

7、心是（A.匕。）B.C.D.【解析】试题分析：函数刈=2皿Mq）的图象过点他.<5一一道二24口货，由网苫可得：二/幼=2«"：2芯+5）一,由五息作威去令2,+g=（b可解得：/=-*,f蠹、则用的图象的一个对称中心是一二0卜故选：B，|I6）考点：正弦函数的图像7 .若与是等差数列an的前n项和，且S8-5=10,则S”的值为（）A.12B.18C.22D.44C【考点】等差数列的前n项和.工1乂1。j【分析】设公差为d,由S8-Sb=10可得ai+5d=2,代入Sii=11ai+2°=11（ai+5d）运算求得结果.8X73父2.【解答】解：设公差为d

8、,由S8-S3=i0可得，8ai+2-3ai-2=i0,故有ai+5d=2,：Sii=11ai+2=11（ai+5d）=22,故选C.【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式的应用，求出ai+5d=2,是解题的关键,属于中档题.8 .已知双曲线m9-x2=1（京R）与抛物线x2=8y有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（）V3£A.y=±xB.y=±3xC.y=±xD.y=±3x【考点】K8:抛物线的简单性质.【分析】由已知条件求出双曲线的一个焦点为（0,2）,可得关于m的方程，求出由此能求出双曲线的渐近线方程.【解答】解：二.抛物线x2=

9、8y的焦点为（0,2）,：双曲线的一个焦点为（0,2）,：匚+1=4,工:m=3,双曲线的渐近线方程为y=土硼x.故选：A.9.已知,函数N g-1）的定义域为集合B ,则5=（）A.参考答案：B.C C.D.B略10.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）2A.2B.1C.3D131 1 T V- 11 T正视图恻视图庆盛分析I根据三初图可知,该几何降为如下的正四核题根据图中尺寸得际积为=3x1x2*2x1=2323二、填空题：本大题共7小题,每小题4分，共28分11.（2015秋？温州月考）（理）如图所示的一块长方形木料中，已知AB=BC=4AA=1,设一一1E为底面ABCD勺

10、中心，且研=入AD（0入2）,则该长方体中经过点Ai、E、F的截面面积的最小值为.Q-曲5考点：棱柱的结构特征.专题：函数的性质及应用；空间位置关系与距离.分析：根据题意，作出经过点A、E、F的截面四边形，求出它的面积解析式，计算它的最小值即可.解答：解：设截面为AFMN显然AFMM平行四边形，过A点作AGLMF与G,则MG_AiG彳MKLAD与K,根据题意AF=4入，贝UCM=DK=4,KF=4-8入，M"Wd；易知 RtAMKRRtAAGFKK AG而亦AG="卜（16）.AiG2=AG2+AA2=MF2+1,（16，）2.S截面2=mFxAd=mFx（MF2+1）=1

11、62入2+42+（48入）Xlii1=32（10入2-2入+1）=320（入-10）2+5|（0<入<?）,114412正:当入=10时，S截面之二取得最小值3,止匕时S截面为5.12/5故答案为：5.点评：本题以长方体为载体，考查了空间中的位置关系与距离的计算问题，也考查了函数的最值问题，是综合性题目.12 .已知中,过重心口），设乩4尸0的面积为：工则邑的取值范围为参考答案：ri 1）略/二kg工13 .设函数1"1=1/|其中您增函数；若0亡】父1,日的直线交边工B于点尸（异于点万），交边工。于点2（异于点*1 ,加咖面积为题，AP = pPR，纯=QC .,给出卜

12、列四个命题：函数/Q"）为偶函数；若）力 0a*乩则砧=lj函数+2，）在上为单调则|川+0|"°或）|。则止确命题的序号是 014 .若工之0尸之Q且2/二1,则2/犷的最小值口15 .若二项式I的展开式的第五项是常数项，则此常数项为112016 .已知函数3(a,b是实数，口H。)在X-处取得极大值，在汗=三处取得极小值，且。”看心1气,(1)求口的取值范围；(2)若函数迎23-功，属的零点为防尸，求da的取值范围.fl3【词(2)博何解析：(1)由题意得=,/二。的根演满足0<xt<15工<2因为函数(个在X二餐处取得极大值，在天=七处取得

13、极小值，所以号在区间国D上单调递增，在(万上单调递减，所以a>0,丁=2-30,/r(l)=a-3t+2<0"2)=4d-立+2%0且l'(2)由已知得幼了+白35,g(x)=°的两根%0,所以2 十弘心一匕2M1b3C < 一由（1）知2 a'所以曲小(五后).xp也心f=cos2jt2v3sinrcosz十一人口工17 .关于函数1,飞,下列命题：JT衣、若存在石,可有工1一二"时，>="旃)成立；、'在区间I不工上(7rqi是单调递增；、函数丁(丹的图像关于点J成中心对称图像；、将函数，的5元图像向左

14、平移12个单位后将与A=2eiii2式的图像重合.其中正确的命题序号三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18 .（12分）已知/5)=匕工一汽+%人六01(I)求f(x)的单调区间;(H)若f(x)<a2-3对任意的尤£。2恒成立，求实数a的取值范围。解析：(I)令，G)=o,.x=13分当0<x<1时，/>0,尸单调递增；当1<x<2时,/<0,丁单调递减。；f(x)的单点增区间为(0,1),f(x)的单调减区间为(1,2)6分(H)由(I)知x=1时,f(x)取得最大值,即f(x)max=a-8分.

15、f(x)<a2-3对任意的电幻恒成立a-1<a2-10G: y2=8x的焦点F3,分解得a>2,a<-1；a的范围为(-8,-1)U(2,+ OO12分*219.如图，设椭圆C:包+b'=1(a>b>0),长轴的右端点与抛物线迤重合，且椭圆C的离心率是2.(1)求椭圆G的标准方程；(2)过F作直线l交抛物线G于A,B两点，过F且与直线l垂直的直线交椭圆C于另一点C,求ABC面积的最小值，以及取到最小值时直线l的方程.【考点】K4:椭圆的简单性质.【分析】(1)由已知可得a,又由椭圆G的离心率得c,b=1即可.过点F(2,0)的直线l的方程设为：x=m

16、y+2,设A(xi,yi),B(X2,y2)联立二Ek得y2-8myT6=0.|AB|="LJ«V】F)'一的2,同理得IXc-kfI*2/2|CF|=4m+l?jl+m.4ABC面积s二2|AB|?|CF|=4卬气1百.令Jl+m,r,则s=f(t)=4/3,利用导数求最值即可.【解答】解：(1)二.椭圆G:+b*=i(a>b>0),长轴的右端点与抛物线G:y2=8x的焦点F重合，：a=2,篁一炉二:椭圆G的标准方程：4 " 一V3又.椭圆G的离心率是2.：c=J3,?b=i,(2)过点F(2,0)的直线l的方程设为：x=my+2,设A(xi

17、,yi),B(X2,y2)工三四+2联立擅'二网得y2-8my-i6=0.yi+y2=8myiy2=-I6,:|AB|=dF),如必=8(I+nV过F且与直线l垂直的直线设为：y=-m(x-2)得(1+4m2)x2-16m2x+16m2-4=0,16m2-l)Xc+p22=1 ,?xc= 41n ,+!：|CF|二ABC面积s=2 |AB|?|CF|=16(L+ir")Hl+黯,则 s=f4id2+1(t)=(肌2_3)2令 f' (t) =0,则 t2=4,即1+m2=4时， ABC面积最小.即当m=±, ABC面积的最小值为9,此时直线l的方程为：x=&

18、#177; y y+2.K320.已知椭圆E: a为2,动直线l: y=kx+m(a>b>0)的离心率为2 ,它的一个焦点到短轴顶点的距离交椭圆E于A、B两点，设直线 OA、OB的斜率都存在，且CUL'ljB = 一二(1)求椭圆E的方程; 求证：2m2=4k2+3;(3)求|AB|的最大值.【考点】椭圆的简单性质.【分析】(1)由题意可得:,a=2, a2=b2+c2,解出即可得出.(2)设 A (Xi , y1)，B (X2, y2),直线 方程与椭圆方程联立化为：(3+4k2)x2+8kmx+4m2 T2=0 ,由,可得 3xi ?X2+4 ( kx1+m )（kx2

19、+m）=0,化为：（3+4k2）xi?x2+4km（X1+X2）+4m2=0,把根与系数的关系代入即可证明.(3)由(2)可得：=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)>kCR.|AB|J（X+町）24勺叼=制4k2+31,即可得出.c1【解答】（1）解：由题意可得：a2,a=2,a2=b2+c2,解得a=2,c=1,b2=3221+匚椭圆E的方程为43=1.（2）证明：设A（X1,y1），B（X2,y2）,厂kHm上；联立、43,化为：（3+4k2）x2+8kmx+4m212=0,> 0,X1+X2= 1 J，X1?X2=I然山3.31"2=q,即3x1?X2+

20、4y1y2=0,.3x1?X2+4(kxI+m)(kx2+m)=0,化为：(3+4k2)X1?X2+4km(X1+X2)+4m2=0,：(3+4k2)2+4km?l-'-1+4m2=0,化为：2m2=4k2+3.(3)解：由(2)可得：上64k2m24(3+4k2)(4m212)>0,化为：4k2+3>m2,4k2+32,kCR.|AB|=j'd门12Slk、'4曾北一Z）“嬴所-3+4产,八321?(41?旬4(8k2-6)nu+k北下行一嬴L=2*记焉京7”式旄，2仞|当且仅当k=0时，|AB|的最大值2J221.（本题满分14分）在A4EC中，ARC的

21、对边分别为修瓦内且acosC?t>sB,csA成等差数列。（1）求月的值;（2）求2由4匕央/一0）的取值范围。解由我意寓atosC+ccos_4=25cos,Xd=2J?51n4占=2改sm3、c=ZRsiiiC1将日口(总+(7)=25由Be。*R口即sin日=2smBafB.在.LABC中.-7分/.sin.fix0ieos5=i又0c由w二.a=三230)A+C-,2an3A-+mzQ以二1一cos24+亡o£(2=1 - 24-C95 2A +2*飞4WjV'3J;22A = 1+第仙（2金-争-M2月-马£11二2罚I?5+8式工_C）的取值范度是

22、（-g+召.一14分2/(x)=(2a一】)lnjc-hl(ciwJt)22.已知函数l（1）当口i时，求,（工）的单调区间;iji一a+a(x)=/(x)+(2)设函数工，若其二2是“（*）的唯一极值点，求a（1）加）在（0,2）上单调递增；在（Z2）上单调递减；（2）a=0【分析】（1）当时,/tar-五-七定义域为（0”）,求导，解，（中口，即可得出单调性.j(x)=(2afir(2)由题意可得：工,由于K=2是8r（可的唯一极值点，则有以下两种情形：情形一：产0?一工对内£（也和）恒成立.情形二：Lfl?T+0"对k他同恒成立.设仪工）g,|2,一"”",对口分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出./（x）=lnr-x-fn【详解】解：（1）当&=1时，真，定义域为I，J/v>