2018年秋高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1第2课时正弦定理2精品学案新人教A版

1、第2课时正弦定理（2）学习目标：1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式，解决三角形中的问题（重点）.2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题（难点）自主预习探新知1.正弦定理及其变形（1）定理内容：abc、一，-。so=2RR为外接圆半径）（2）正弦定理的常见变形：sinA：sinB：sinC=a：b：c；abca+b+c-r=-=-=-:：-：-=2RsinAsinBsinCsinA+sinB+sinC-a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;sinA=,sinB=,sinC=2R2R2R思考：在ABC,已知a

2、cosB=bcosA.你能把其中的边a,b化为用角表示吗（打算怎么用上述条件）?提示：可借助正弦定理把边化成角：2RsinAcosB=2RsinBcosA,移项后就是一个三角恒等变换公式sinAcosBcosAsinB=0.2 .对三角形解的个数的判断已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定，现以已知a,b和A解三角形为例说明图形关系式解的个数A为锐角e£仁上If*-=-aa=bsinA；a>b一解AHi'搔bsinA<a<

3、b两解Ca<bsin_A无解AB思考：在ABC中，a=9,b=10,A=60°,判断三角形解的个数.提示sinB=bsinA=噂*坐=卒,a929而当<593<1,所以当B为锐角时，满足sinB=平的角有60°<B<90°,故对应的钝角B有90°<B<120°,也满足A+比180°,故三角形有两解.3 .三角形的面积公式任意三角形的面积公式为：111r,-,(1) &abc=/bcsinA=?acsinB=?absinC,即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半._1

4、(2) &abc=ah,其中a为ABC勺一边长，而h为该边上的高的长.11(3) &abb2r(a+b+c)=2l,其中r,l分别为ABC勺内切圆半径及ABC勺周长.基础自测1 .思考辨析(1)在ABC4等式bsinA=asinB总能成立.()(2)在ABC43,若/A=30°,a=2,b=2馅，则B=60°.()(3)在ABC4已知a,b,A,则此三角形有唯一解.()答案(1)，(2)x(3)x提示：(2)由正弦定理可知-a-A=白石，即扃=看咚，所以sinB=半，则B=60。sinasinbsin30sinb2或120°,又因为b>a,所

5、以B>A,故B=60°或120°.(3)当bsinA<a<b时，ABCf两解.2 .在ABC43,sinA=sinQ则ABB()【导学号：91432015】A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形acB由正弦定理可得sinA=sinC?=即a=c,所以4ABC等腰三角形.3 .在ABa下列式子与空上的值相等的是（）abA.- csin C C.- csinB8. sinAcD.sinCC由正弦定理可得sina-A=snb-B=故选C.4.在ABC,A=30°,a=3,b=2,则这个三角形有（）【导学号：91432016A.一解B.

6、两解C.无解D.无法确定A由b<a和大边对大角可知三角形的解的个数为一解.合作探究攻重又II类型1|三角形解的个数的判断已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答. a=10, b=20, A= 80° ;(2) a=2 3, b=6, A= 30°【导学号：91432017解(1) a=10, b = 20, a<b, A= 80° <90° , 讨论如下：. bsin A= 20sin 80 ° >20sin 60 ° = 1073,1) a<bsin A,，本题无解.

7、2) ) a=2/3, b=6, a<b, A= 30° <90° , bsin A= 6sin 30=3, a>bsin A,.bsin A<a<b,，三角形有两解.由正弦定理得sinbsin A 6sin 30a 2/3又. Be (0° , 180° ),Bi = 60o , B=120°当 Bi = 60° 时，G = 90° , Ciasin C 2msin 90°sin A sin 30 °= 4<3;当民=120°时,C2 = 30 ,C2 =a

8、sin C2 2 , 3sin 30 sin A sin 30 °= 2 3.Bi=60时，C=90°,Ci=4-3;62=120时，C2=30,C2=23.规律方法已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值.或者根据该正弦值（不等于1时）在0°180°范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求.跟踪训练1. ABC中，a=x,b=2,B=45°.若该三角形有两解，则x的取值范围是.2<x<22由asinB&l

9、t;b<a,得乎x<2<x,，2<x<2小.I类型2|三角形的面积,兀B2%5,在ABC,若a=2,C=,cosk七,求ABC勺面积S.思路探究:根据 C= 4-及cos 2= 5.利用sin A= sin（ B+。求出sin A的值.然后利用正.ac.1弦皿里巾=而P出C值.利用S=2aCsinB求解.丘B25斛2=5,cosB=2cos21=.254444.BCF，yJ，-sinB=5.人兀.一一-C=4,sinA=sin(B+C)72=sinBcosC+cosBsinC=ac,sinA-sinCasinC2210c=sinA=732X2=Y.10111048

10、1- S=2acsinB.X2X7X5=7.规律方法已知三角形的两边和夹角可求三角形的面积，三角形的面积公式为1S= 2ab sin C =；ac.sinB=；bc.sinA)跟踪训练41一2- (1)在ABC中，若a=32,COSC=3,Saab4®则b=【导学号：91432018】(2)在ABC43,AB=&AC=1,B=30°,则ABC勺面积等于.b=23.CC (0° , 90° ),b.平=4后3(1)2小(2)号或坐(1)-cosC=3,243（2）由正弦定理得sinAB-sinB邓乂万也C=A=2，又.CC(0°,180&

11、#176;),C=60°或120°,.A=90°或30°,13-3SABk2ABACsinA="2-或7.I类型ml正弦定理的综合应用探究问题,一1111 .你能用坐标法证明Saabb2absinC=2bcsinA=2acsinB吗？提示：（以已知a,b,C为例）以ABC的顶点C为原点，射线CB的方向为x轴斗正方向建立平面直角坐标系，则顶点A的坐标为（bcosC,bsin。过点A作BC边上白高AE,则根据三角函数的定义可得A&bsinC,所以ABC晨111的面积S=2BC-AE=2a-bsinC=2absinC11同理可得S=2bcsi

12、nA,S=2acsinB.EC1,C1,a1r故SaAB户absinC=bcsinA='acsinB2 .应用正弦定理解三角形时经常挖掘三角形中哪些隐含条件?上口一,./.,_.,、一,、A+B兀提不：(1)在ABCF,A+B+C=兀？sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC;=2CA+BC2?sin2-=cos2.(2)若ABE锐角三角形，则A+吟，A+C>-,B+C>A+B>-?A>-2-B?sinA>cosB,cosA<sinB，例EJ在ABC43,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,m(sinA,sinB),n=(cosB,

13、cosA),m-n=sin2C(1)求C的大小；(2)若c=243,A=-6,求ABC勺面积.【导学号：91432019】思路探究：(1)由mn=-sin2C,利用三角恒等变换求出C的大小；(2)由正弦定理可得b的大小利用三角形的面积公式求解.解(1)由题意，m-n=sinAcosB+sinBcosA=sin2C,即sin(A+E)=sin2C,sinC=2sinSosC由0<0兀,得sinC>0.所以cosC=1.C=T-.23(2)由C：-,A=,得B=兀AC=.366,、qbc由正弦定理，仍=鹏，即一.二2,兀,解得b=2.sin最sinT一一11LTTL所以ABC的面积S=

14、2bcsinA=2X2X23Xsin-=3.母题探究：(变条件，结论)将例题中的条件“m=(sinA,sinB),n=(cosB,cosA),m-n=-sin2C换为“若a+c=2b,2cos2B-8cosB+5=0”求角B的大小并判断ABC勺形状.解,2cos2B-8cosB+5=0,2(2cos2B1)8cosB+5=0.4cos2B8cosB+3=0,即(2cosB1)(2cosB-3)=0.解得cosB=2或cosB=2(舍去).,0<B<7t,-a+c=2b.由正弦定理，得sinA+sinC=2sinB=2sin§=3.sinsinA+sin'cosAc

15、os好sinA=3.33,化简得|sinA+乎cosA=木,2兀-0<A<37t7t67t万.7t7t.ABC等边三角形.规律方法借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，转化为角的关系后，常利用三角变换公式进行变形、化简，确定角的大小或关系，继而判断三角形的形状、证明三角恒等式当堂达标固双基1.满足a=4,b=3A=45°的ABC勺个数为（）A.0B.1C.2D.无数多B因为A=45°<90°,a=4>3=b,所以ABC勺个数为1.2.在ABC43,A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中a=4,b=3,C=60°,则4ABC勺面积为()【导学号：91432020A.3B.33C.6D.631一B由S=absinS=33,故选B.1O=-X4X3X23.在ABC,/a=.3c,贝UC=csin A 1O= -xa ,322'ac一1由sir=siTTfsin兀-兀又0<O<K，所以O=,B=兀36(a+.所以£=0csinC兀sin6=1.一兀sin6贝U sinA=，a=【导学号:91432021，.14兀4.在