2018年考研数学二真题与答案解析

1、2018年考研数学二真题与答案解析研建宝VANTUBAO.COMttrtll:j03研途宝考研202018年考研数学二真题及答案解析一、选择题(4分)11向im(0”+4/+历户=1,则()X>0A、d=,b=1B%a=.b-12C、口二一力=12D*a=.b=l2-【答案】B2.下列函数可导的是()A1) = M的图(A)(B)f(x)=忖| sin(C)(D)脆宝研途宝考研20A、/(x)=|x|sn|x|B、/(x)=|x|sinjxiC、/(x)=cos|x|D，/二cos桐【答案】D工设函数若f(x)+g(x)在R上谆续，则A、d-工b1氏d=3,b=2C、a=-3,b=1D%

2、a=-3,b=2【答案】D4.设函数f(x)在QI上二阶可导则()A、B、C、D、当,<0时，/1|<0三:<0时，八;卜0当工>0时1，出<。当/>0时，/口<。21【答案】DYAHT<J8MCOH:W4J才研途宝考研205即二则（）Z+”M>N>K8 ,M>K>NUK>M>N久K>N>M【答案】C'J：时二。2）由+£时;（I-盯）亦=（）5A、-35B、-67&-36【辞】C，下列矩阵中，与矩阵相似的为-11-XA、01100101B、01100111-1G01000

3、1研股宝身考不上为掰电研途宝考研_io-fD.010001【答案】A&1gA,B为n阶矩阵Q(rY)表示分块矩阵,则A、r(A,AB)=r(A)氏-4砌=rQ)C、rA.B)=maxr(J)sr(B)【答案】A二、填空题(4分)9 .limx2arctan(x+1)-arctan-=_X>-H2D【答氟110 .曲线在其拐点处的切线方程为【答案】y=4x-311.dx=【答案小2注12.曲线在/=对应处的曲率4【答案】-3研选宝¥A*J1UBAObC0MMrt*'9423研途宝考研201工设函数由方程lnz + /TrL14.设z为3阶矩阵则z的实特征值为【答案

4、】2三、解答题（10分）11求不定积分J已""ctanJ庚1小【答案】令一1=2则工=ln(F+1).出=-dt-1+广由第二换元J去和分部积分公式可得原式=j(5+1)2-arctant=J2F(5+1)-arctan&S=Jarctan/rf(2+1)2=(/2+1)：arctan/-J(/2+1)(7/2一21,22131厂=(t+1)arctanrtr+C262,1I11=eiXarctan/e1-1-(e1-1)2-(e1-I)2+C262脆宝研途宝考研2016.已知连续函数/(工)(I)求fG)；(n)若/(£)在区间011上的平均值为1,求门

5、的值.【答案】(I)令工一，二以,则由二一向从而外(工一6由，(x-u)f(u)du工xJo0uf(u)du原积分方程可化为J"(t城+xJ"Q)加-二叭以城=两边关于工求导可得/(*) + "&)$h - lax由于/(h)连续1研建宝生咐不k再增究生JVANT<JBAO.COMIftfirtll:94J中研途宝考研20可知，®扇可导，Jo进而有f(工)可导，因此再求导可得/'+/(x)=2a,且/(0)=0。解该一阶线性微分方程可得/(工)=e-x(2aeT+c),榕/(0)=0v可得c=-2c?故/。)=冽1)(n)由题意可知

6、1=七在方程/(x)+J：f(u)du=lax两端令下=1可得八1)+r/3)曲=20，又"1)=2.7(1-e-1)ee故；7=217.设平面区域D由曲线计算二重积分jj(x+2v)rfrrfia【答案】根据积分区域，原积分可化为时：%+2劝可；(义)+yx)dx.令x=fsin.f=lcost换元可得，I落±S=。-sinr)(l-cosz)+(1-cos厅d(t-sinf)=J；tQshn)(l-8$力,由+J；(l-cos/)?rfr-3储+5笈研建宝TUBAO.COM研途宝考研20i区已知常数证明：(工_1)(丫_柏二工+2左Inxl)之0，【答案】原不等式可转为

7、当0vxv1时，仅叱工1口2%+2%111*1M0；当xa=i时，仅需证,一In?x+2左In*1兰0令F(x)=工一liry+2L1nx1,Inx2kx-2Inx+2k则尸'(jc)=12十二,XXX当04XV1时，易知F'a)>0,从而F(x)在(G上单调递增：因此，当0<x<1时，有F(x)<F(l)=0,得证，Sx>=WPg(x)=x-21nx+2krg'(jc)=l2.x易知，当1V，<2时rgx)<0;当X>2时r或工)>0从而g(£)在Q+OC)上的最小值在x=2处取到.而g(2R0,可知，当

8、X£(l,+aC)时r0-从而产'(x)=题。>0,且仅在点土=2处可能有F'(M)二0工从而，当工£(Le)时有尸(工)>F(l)=0也即x-In2x4-2In.r-10o综上所述，对任意的工e(0?).均有(x-lXv-ln2x+21nx-l)0开通宝研途宝考研19.特长为2m的铁坦分成三段.若存在，求出最小值.【答案】设分成的三段分别为x，V，乙贝U有x+y+z=2及儿羽>0r国的面积为Si=x2t正方形的面积为S,=y'14笈一16“正三角形的面积为S=9/，总面积$=一一+1”2+9/>364不1636贝!）问题转彳

9、上为在条件x,yfz>0T,求函数J-/+J_V2+3/的最小值.4笈1636令Z=-x2+V2+z2+y+z-2)r4乃36-dLx=4-X=03r2万6Ly十九二0则行dy8GLy13=z+X=0&186L茄=x+v+z-2=01-20rTT=岳+41+9Q/T解得11等件极值点为4V=上一“后+4用9_18岳+4下+9研股宝工有号不上轲期电±J¥*NTUBA0,C0H®1*,研途宝考研20在该点的理数值即为最小值，s,_3+12+973-户一百尸(小开+4出+9?20.已知曲线点0(0.0)，点A(0,1).设P是L上的动点求此时S关于时间t的

10、变化率,【答案】r4、设在t时刻,P点坐标为x(tx2(t)，二5(。二八 y/x2(u)du14,11847Sf(t)=xr(f)1+x'(?)+x(f)x(f)xf(f)-x2(0()由题可知当、(/)=3rXr(f)-4r从而S”)=io-2L设数列/满足证明$收敛并求处,1答案】由题意可知西融=In=r%首先证明*J的有界性：证明xn>0:当用=1时，工A0，设H=上时，为t>。f峭-1则为t+i-In4可知见+i>In1=0,因此对于任意的n.有&.>0.再证明瑞的单调性：又因为-心=-e%=-界研建宝生豺可上桁糜寸£研途宝考研20令

11、=产T一靖则/'(X)=t/，fx)-re1<0(x>0),故当尤>0.j1/(x)</(0)=0从而产M色勒<0,吃<0,*Trlr可知4单调递减，综上,X为单调递减有下界的数列,可知4收敛.设limxfl=a.在/e"二滑一1两边同kr门->gr片fH得口/二jI,嶙徨=0f故lim工=0.H>3：.22.设卖二次型其中曰是参数.(1)求/(工”/，修)=0的解；Q)求/(须,与,修)的规范形.【答案】甬-+x3=0(1)由/(阳，工2，毛)=0可知，X;+X.-0一x.+公、=0L531-1该齐次线性方程组的系数矩阵为/=

12、011.10a将其经初等行变换化为阶梯形矩阵r即研施宝yXijiubaoccw««*«&研途宝考研201w=o111 n-11 1 -111-> 0111a-2当a工2时,/(xlfx2sx3)=0有唯一解(0,0,0)二1 0当白=2：时r A > 0 10 021，具通解为川T,-L1）工左eR01hl=x1-x2+x3（2）当白士2时，直接做退化的线性变换8=与+三14=$十分弓可持原二次型化为规范形/=K+2+331=%一马一9当白=2时，做非退化的线性变现心二十工，>3=玉可将原二次型化为规范形/=¥：+员+（贝+为1

13、=24+2炉+2»办,该二）欠型正惯性指数为2,负惯性指数为0,故其合同规范形为公世：，研股宝也有着不上行开:t如灯NTUSAOnCOW*!*'WMJJ研途宝考研2023,已知日是常数，且矩阵求占：（2）求满足AP二B的可逆矩阵P.【答案】（1）由题意可知：矩阵A与B是等价的r故”=林玲.对矩阵A和B分别进行初等行变换,即112- 10一10-a211100-10_0-?a-3aa1”1213Jaci02C）令尸=（基基晶B=（屈耳血）由4P二方可知：必二力力二LZ3.工。为小二月的监因为(/ B) =ii22-20237 -：-11 02 1 10 ! 0-2 i -11210112-10100010136-20-6；3Hi :o-34101 13 3410听