2018年考研数学一真题及答案解析

1、2018年考研数学一真题及答案解析一、选择题4分)L下列函数中在=。处不可导的是()A、f(x)=|z|sm|;r|氏=|工回口/画C、y(T)=CO6xD、/=CO3y/x【答案】D2.过点(L0,0),(O:l,0)I且与曲面二=芷2+/相切的平面为()A、丁=0与谭+$一二=1氏二=02工+2$2=2CI=y与工+y2=1D"工二用21+2gN二2【答案】B花(-炉磊=()A、sin1+cos1B、2sin1fcos1C、2sinl+2cos1D、2sin1+3cns1【答案】B4.设Af=dr,N=J飞宁近,需f2J,K=f1+K/cosTax，则()A、M>N>

2、KB,M>K>N&K>M>ND、K>N>M【答案】C5.下列矩阵中，与矩阵001011相似的为()01A、 010010B、 010011C、 01,001 0D、 0100【答案】A6 .设4肋nJ介矩阵，记/(X)为矩阵X的秩，(X,Y)表示分块矩阵，则()A、r(A,AB)=r(A)B、r(A,BA)=r(yl)C、r(AyB)=maxr(A),r(B)D、r(A,B)=r(AT,BT)【答案】A7 .设随机变量X的概率空底为满足+0=/(I一*,且。f(x)dx=0.6,则PX<0=()A、0.2B、03C、0.4D、0.5【答案】A8

3、 .设总体X服从正态分布N(出/),*1,*2,.，入森是来自总体*的面单随机样本，据此样本检验假设：%:=0，0：¥0,则()A、如果在检验水平a=0.05下拒绝为,那么在检验水平a=0.01下必拒绝又B、如果在检验水平a-0.05下拒绝外,那么在检验水平a-0.01下必接受外C、如果在检验水平a=0.05下接受外,那么在检验水平。=0.01下必拒绝为D.如早在松蛤水平a=0.05下挎罟H),那么在检验水平a=0.01下必挎小儿【馥】D二、填空题(4分)9皿>o(1)、e,贝欧=【答案】fc=-210.设函数/(1)具有2阶连续导数,若曲线y=过点(0,0)且与曲线U=2,在

4、点(1,2)处相切，则Cxfn(x)dx=【答案】2(ln2-l)1.1 igF(z,2/,z)=xyi-yzj+zxk,贝！Jrof户(1,1,0)=【答割i-k12 .设E为球面/+犷+z2=1与平面工+y+z=0的交线，则£xyds=【答案】一方13 .设2阶矩阵4有两个不同特征值，Q,Q2是力的线性无关的特征向量，且满足A2(fli+。2)=Q1+。2,则|4|=【答莉-114 .设随机事件4与B相互独立，A与C相互独立，8C=0,若P(A)=P(B)=j,P(ACABUC)=1,则P(C)=【答案】|三、解答题(10分)15 .求不定积分Je22arctan/ex-Idx【

5、答案】令，=t,则土=ln(t2+1),亚=常加，由第二换元法和分3跟分公式可得原式=/(t2+I)2-arctant-37dt=f2t(t2+1)-arctantdt1，e=IJarctan(t2+1)2|=j(t2+l)2arctant|J(t2+l)d£=T(产+1)arctant+C=如灯arctan傍=T-(eJ-1”-1(ex-l)+C16.将长为2m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在r求出最小值.【答案】设分成的三段分别为工,y,工,则有l+2/+z=2及l,y,z>0,圆的面积为&=揖2,正方形的面积为

6、$2=挑2,正三角形的面积为S3=条2,总面积普=券+入=。"+=。普=条+入=。S=("+得犷+条2,则问题转化为在条件1+Z=2HJAZ>°下，求函数会2+拼2+等22的最小值。令£=*2+排2+_2+入(£+J+Z2),2y/3w工-j4vz5t9,解得唯一条件极值点为J忏。展2=Iy/3w»4/3|9的函数值即为最小值，最小值为肃黑17.设E是曲面工=/一3二一3z2的前侧,计算曲面积分I=ffxdydz+(y3+2)dzdx+z3dxdy£【答案】令Ei为平面：1=O./+Z2彳W,取后侧，则I=Qf+Yix

7、dydz+(y3+2)dzdx+z3dxdyffxdydz-V(y3+2)dzdx+z3dxdy,EEi由高斯公式可得，(J+ixdydz+(t/3+2)dzdx+z3dxdy=fff(1+3y2+3z2)dxdydz,£(2其中。为空间区域卜了,跖z)0<z<e3为二3z2,由先二后一法可得Iff(1+3/+3z2)dxdydz=dxff(1+3t/2+3z2)dydztt九244)=/修(1-/)+和-")2k=衰将工=玳入可得，ffxdydz(y3+2)dzdr+dxdy=0oEi故墨18.已知微分方程娟+y=f(x),其中/Q)是R上的连展函数.若力=x

8、,求方程的通解；(2)若幻是周期为邱函数，证明：方程存在唯一以T为周期的解.【答案】(1)由一阶线性微分方程的求解公式可得y=eX(fxexdx+C)=Ce工+c-1(2)由一阶线性微分方程的求解公式可得y(x)=exfelf(t)dt4-CJoy(x+T)=e(工叫elf(t)dt+C吉丁e-,XeniTf(u+T)du+Ce*J-T=e*/euf(u)du+Ce则y(z+T)-y(x)=e-xJ°Teuf(u)du=a一(工-Ce-x,若要+T)2/(i)恒为0,则有e1f°Teuf(u)du+Cex(eT-l)=0,即+C(eT-l)=0。又由于由与eT-1均为常数，

9、可知当且仅当。=/蟾仰恸,y(c)以T为周期,故微分方程存在唯一以T为周期的解。19.设数列%满足：%>0,%/=eZn-l(n=1,2,)。证明%收敛，并求>ooxn【答案】由题意可知=In喂，首先证明为题有界性：证明41>0:当n=1时，叼>0,设n=朋寸，以>。，则/11=In喷,其中e5-1>跺，可知4,1>Ini=0,因此对于任意的n,有1n>5再证明in的单调性：又因为肝FM1-fn=内鼠工",n令/(工)=好1一xex,则/(£)=-xex,f(x)=-xex<0(z>0),故当工>0时，f(l

10、)</(0)=0,从而片“门一片"V0,Inil-2n<0，可知工n单调递减。综上，与为单调递减有下界的敌列，可知%收敛。设Ullin>ooxn=u9在1n匕,1=eTn-1两边同时令办Tco,得=en-1f解得Q=0CllIUn>8工n=020.设实二次型=(1一±2+工3-+但+叼)2+(勺+，其中Q是参数.(1)求为,3,方)=0的解；(2)求井203)的规范形.【答案】(1)由叫,工2,工3)= 0可知，工1一12+13=°工2+的=0+axz=01-1该齐次线性方程组的系数矩阵为力=0 1当Q # 2时，f(3,12,力)=。有唯

11、一解(o, o, 0)To,将其经初等行变换化为阶梯形矩102当q=2时，At011，其通解为M2,-l,l，kwA。000(%=一工2+13%=的+工3,可将原二次型化为规%=%+"3范形/=必+或+蟾。"1=与一的+叼当Q=2时，作退化的线性变换y2=x2+x3,可将原二次型化为规范形I%=的f=蜡+比十(%+y2)2=2犹+2城+2Vly2该二次型正惯性指数为2,负惯性指数为0,故其合同规范形为z：+z；r1 2a21 .已知q是常数，且矩阵4=130可经初等变换化为矩阵.27-a.-1a2'B=Oil.-111.(1)求q;(2)求满足&P=6的可逆

12、矩阵P.12 2 122T 0 1 -2|-1 -1 -10 0 0 0 001 0 6 3 44-> 0 1 -2|-1 -1 -10 0 0 0 00【答案】由题意可知：矩阵力与8是等价的，故r(4)=r(B)o对矩阵人和6分别进行初等行变换，即12al112Q12a-A=130101a>01-a27Q03-3o000.-1a211a21a2B=011->011>011,-111JLoQ+l3.002-a显然，r(Z)=2,故q=2。(2)令P=(。工2,4)，B=(ft,ft,ft)，由AP=B可知：=囱i=1,2,3,即冬力Z1Z=打"防。122122

13、122122因为(川8)=130|011>01-2|-1-1-127-2-11103-6-3-3-3,所以导出组的基础解系为(-6,2,19,三个非齐次线性方程组的特解分别为(3,-l,0)T,(4,-l,0)r,(4,-l,0)T,三个线性方程组的通解分别为0=(3,-1,0)T+岛(一6,2,1)T,=(4,-1,0)T+M-6,2,if,&=(4,-1,0),+后(-6,2,19，对P做初等行变涣可得由于P可逆，故卜3*k21 1 1->0 110 0人3 一22 .设随机变量x与y相互独立，x的概率分布为px=i=px=-i=1,y服从参数为人的泊松分布。令2=门。

14、(1俅cov(X,Z)；(2)求Z的概率分布。【绪】(1)由X与y相互独立，可得E(XT)=E(X).E(Y)O由协方差的计算公式，可得Cov(X,Z)=E(XZ)-或X)E(Z)=E(X2Y)-E(X)E(XY)=E(X2)E(Y)-(1,其中E(X)=1x0.5+(-1)x0.5=0,E(X2)=I2x0.5+(-1)2x0.5=1fE(Y)=A,所以Cw(X,Z)=Ao(2)Y的分布列为PY=k=eA(A=0,1,2,)。故Z=XV为离散型随机变量由概率的有限可加性可得PZ=k=PXY=k=PXY=及X=-1+PXY=k,X=1=PY=一瓦X=_1+PY=瓦X=1=0.5(PF=fc+PY=-k),当k=1,2,时，PZ=k=当k=0时，PZ=0=e二I；当k=-1,2,时，PZ=A=T-jA-eA；1一k六91*123 .设总体X的概率密度为工;。)=e,-oo<x<+oo,其中。w(0,+8)为未知参数，X,X2,.,Xn为来自总体X的简单随机样本。记郝最大似然估计量为无(1)求6；(2)求E3和O凯【答案】(1)设%,工2,为Xi,%,Xn的观测值，则似然函数nI固IIL(o；,In)=n诟CF=，<=1取对数可得：InL=-nl