2018年高中物理第六章万有引力与航天3破解天体质量和密度的相关计算学案新人教版

1、质量为m的物体的重力等于地球对物体的万有引力，即mg=GMmR2.太阳质量的计算 利用某一行星：I，则M= gR-,由于Gg、R已经测出，因此可计算出地球的质量。由于行星绕太阳的运动,力充当向心力，即 GM： r=mo 2r,而可看作匀速圆周运动， 行星与太阳间的万有引2一，一八， 一，一，一,则可以通过测出行星绕太阳运转的周期和T轨道半径，得到太阳质量M=4 2r3GT2破解天体质量和密度的相关计算【喝赢目标有的放矢】一、考点突破知识点考名腰求题型分值力有引力的理论成就会利用万有引力定律求解天体的质量、密度等参数选择题6分【率戏曹点点点突破】、计算天体的质量基本思路1.地球质量的计算利用地球

2、表面的物体，若不考虑地球自转,3.其他行星质量的计算同样可得出行星利用绕行星运转的卫星，若测出该卫星绕行星运转的周期和轨道半径,的质量。、计算天体的质量的具体方法(以地球是中心天体，月球是环绕卫星为例)如果不考虑地球自转的影响，地球上的物体所受重力等于地球对它的万有引力。由万有引力定律mg=GMmR2得m® ,其中G从而得到地球质量通过上面的过程， 条件能否测出地球质量。g为地球表面的重力加速度,24 .M= 5.96X10 kg。我们可以计算地球的质量,(1)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为2力，即G M地2m月=mM ,可求得地球质量r2T(2)若已知月球绕地球做匀速圆周运

3、动的半径R为地球半径,通过其他的方法,T,半径为r2 3一 4 r仙地=-GT2G为万有引力常量。或者说已知另外的一些根据万有引力等于向心r和月球运动的线速度 v,由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得2M地m月vG2=m月一rr解得地球的质量为Mm =2rvG(3)若已知月球运行的线速度v和运行周期T,由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得=斤）月v2v=斤|月一r以上两式消去r,解得M地=v3T2TG_Mm -M ntt mg= Gr2, g=G2 ,则【规律总结】由以上论述可知，求天体质量的方法主要有两种:一种方法是根据

4、天体表面的重力加速度来求天体质量，即g的值。另一种方M=史-,题目中常见的如利用在天体表面的平抛或自由落体运动来计算G列出方程:法是根据天体的圆周运动，即根据天体做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供,2223223Mm4v24rvrrG口=mr=m=rntor来求付质mM=-=r2T2rGT2GG用第二种方法只能求出圆心处天体质量（即中心天体）。三、天体密度的计算1.利用天体表面的重力加速度，来求天体的自身密度。,GMm43由mg=和M=p,ttR,R23彳曰3g倚p=4GR其中g为天体表面重力加速度，R为天体半径。2.利用天体的卫星来求天体的密度设卫星绕天体运动的轨道半径为r,周期为T,天体

5、半径为R,则可列出方程:2,Mm44n3G厂=m厂r,M=p一nR,r2T23234r_3得小工=工=当?4343GT2R3-R-R33当天体的卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径3P =TGT2技巧点拨：在已知重力加速度求天体质量或密度时, 重力就是环绕天体运动的向心力以及圆周运动的规律求解。在行星表面的物体的重力等于行星对它的万有引力， 力提供其做圆周运动的向心力。r等于天体半径R则天体密度为:通常可以利用重力等于万有引力,在行星附近飞行的飞船，由万有引咻典例骷Hi【自题模拟®®通关】例题1一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v。假设宇航员在该行星表面上

6、用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N已知引力常量为G则这颗行星的质量为（）24A.mv-B.-mv-GNGNC.Nv2GmD.Nv4Gm思路分析:设卫星的质量为rH,行星半径为由于是近行星表面做匀速圆周运动,2由万有引力提供向心力，得GMm=m'v-由重力提供向心力，得m'=mgR由已知条件：m的重力为N得2 mvN=mg由得g=N，代入得：R=m4代入得M=mv-,故B项正确。答案：BGN例题2 一行星绕恒星做圆周运动。由天文观测可得,其运行周期为T,速度为V,引力常量为G则（A.恒星的质量为)v3TB.行星的质量为2 G4 2r3GT2C.

7、行星运动的轨道半径为vTD.行星运动的加速度为思路分析：由GMmT2mv质量，B错；r=Y2rv工rvT4m rT2C 对；a=2一 v rM=G2v3T2 G 'A对；无法计算行星的D对。答案：ACD例题3宇航员站在一星球表面上某高处，沿水平方向抛出一个小球,经过时间t小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为 L,若抛出时的初速度增大为原来的 则抛出点与落地点之间的距离为 J3L。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为万有引力常数为G求该星球的质量 M思路分析：设抛出点的高度为 h,第一次水平位移为 x,则x2+ h2= L2同理，对于第二次平抛过程有（ 2x） 2+h2

8、= （ J3l）22倍,R由解得h= 4。、. 3设该行星上重力加速度为g,由平抛运动规律得h=1gt22由万有引力定律与牛顿第二定律，得=mg由以上各式可解得M=2.3LR23Gt2答案:2 3LR23Gt2例题4宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t,小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。（取地球表面重力加速度g=10m/s2,空气阻力不计）（1）求该星球表面附近的重力加速度g'（2）已知该星球的半径与地球半径之比为R星：R地=1:4,求该星球的质量与地球质量之比M星：M地。思路分析：（1）在地球表面t=也g在某星

9、表面5t=2"g'由联立可解得gz=lg=1X10m/s2=2m/S2；55（2）设m为物体质量，则对星球表面的物体GMm=mg%对地球表面的物体GM丁=mg%由联立可解得-2M星g'Rs11小e2g2-1-12=1:80。答案：（1）2ms（2）1:80M地gR地54im提力大典【拈展升华高分献取】【方法提炼】求中心天体质量的途径依据万有引力等于向心力，可得以下四种求中心天体质量的途径2(1)若已知卫星在某一高度的加速度g和环绕的半径r,可得M=以G(2),a。立小-”小+、一口rv2若已知B星绕天体做匀速圆周运动的线速度v和半径r,可得 W ；(3)若已知卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r,可得G2 34 rM=；GT2(4)若已知卫星运行的线速度v和周期T,可得3Tv TM=o2 G天体近似可看作正球体，其体积可表示为VR3,故计算天体密度时，求出天体质量并且知道天体的半径，即可求得密度。【满分训练】有一宇宙飞船到了某行星上空（不考虑该行星自转运动）表面附近以v做匀速圆周运动，测出该宇宙飞船运动的周期为A.该行星的半径T,已知引力常量为 G则可以计算出（B.该行星的平均密度C.该宇宙飞船的质量D.该行星表面的重力加速度思路分析：根据圆周运动的规律确；根据42