第四章扭转new

1、湘潭大学土木与力学学院1第四章 扭转(Torsion)湘潭大学土木与力学学院24.1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例4.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图4.3 纯剪切纯剪切 剪应力互等定理剪应力互等定理 剪切虎克定理剪切虎克定理4.4 圆轴扭转时的应力和强度条件圆轴扭转时的应力和强度条件4.5 圆轴扭转时的变形和刚度条件圆轴扭转时的变形和刚度条件湘潭大学土木与力学学院34.1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例湘潭大学土木与力学学院4主动轮从动轮AnBBAmPP湘潭大学土木与力学学院5v受力特点作用于其上的外力是一对（或多个）转向相反、作用于其上的外力是一对（或多个）

2、转向相反、作用面与杆件横截面平行的外力偶矩，以作用面与杆件横截面平行的外力偶矩，以m记之。记之。v变形的特点杆的任意两个横截面围绕轴线作相对转动。杆的任意两个横截面围绕轴线作相对转动。 湘潭大学土木与力学学院64.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图湘潭大学土木与力学学院7 在工程实际中，作用于轴上的外力偶矩往往并不知道，已知的往往是轴的转速以及轴上各轮所传送的功率。 主动轮B的输入功率，经轴的传递，由从动轮A、C输出给其它构件。若设轴的转速为n，其中某一轮传输的功率为N(kW)，作用于该轮的外力偶矩为m。 CmBmAmn湘潭大学土木与力学学院8根据理论力学功率的计算公式

3、，外力偶每秒钟所做的功（即功率）为602 nm100060/2Nnm故有 )mN(rpmkW9550nNm湘潭大学土木与力学学院9若功率单位为马力，而1马力 =735.5Nm/s,则有mNrpm7024nNm马力湘潭大学土木与力学学院10横截面上的内力横截面上的内力扭矩扭矩(torsional moment)AmBmAkBkTxAmkkA求k-k截面的内力 以左端为研究对象，由平衡方程0, 0AxmTmAmT 得湘潭大学土木与力学学院11 若取右端为研究对象，会得到同样的结果。TkkBmBxAmBmAkBk 内力偶矩T 称为扭矩(torsional moment)。其量纲是力长度，常用单位是牛

4、顿米(Nm)或千牛顿米(kNm)。 湘潭大学土木与力学学院12扭矩符号规定若按右手螺旋法则把若按右手螺旋法则把T表示为矢量，当矢量方向与表示为矢量，当矢量方向与截面的外法线的方向一致时，截面的外法线的方向一致时，T为正；反之为负为正；反之为负。 正的扭矩。的方向一致，所以都是与以上两图中均有nTnTxAmkkATTTkkBmBxn湘潭大学土木与力学学院13例题传动轴如图所示，主动轮A输入功率NA=50马力，从动轮B、C、D输出功率分别为NB=NC=15马力，ND=20马力，轴的转速为n=300r/min。试画出轴的扭矩图。 AmDmIIIIIIIIIIBIICADCmBm扭矩图(torque

5、diagram)湘潭大学土木与力学学院14解：1.外力偶矩计算 mN 468mN 351mN 1170DBAmmmAmDmIIIIIIIIIIBIICADCmBm湘潭大学土木与力学学院15mN351B1mTmN702BC2mmTAmDmIIIIIIIIIIBIICADCmBm2.扭矩计算对BC段对AD段ITBmIITBmCm湘潭大学土木与力学学院16mN4683TAmDmIIIIIIIIIIBIICADCmBmCA段DmIIIT湘潭大学土木与力学学院17mN351m02N7m68N4mN702maxCATT3.根据上述计算，作传动轴的扭矩图，如右下图所示。湘潭大学土木与力学学院18m170N1

6、mN351m02N7 对同一根轴，若把主动轮安置于轴的一端，例如放在右端，则轴的扭矩图将如例题图所示。 mN1170maxT可见，合理安排载荷，可以降低构件的内力，或者说提高构件的承载能力。AmDmIIIIIIIIIIBIICADCmBmBmCmAmDm湘潭大学土木与力学学院19 所谓薄壁圆筒就是其壁厚t与横截面平均直径D相比小得多的圆筒。一般地，t/D1/20。4.3 纯剪切 剪应力互等定理 剪切虎克定理1 薄壁圆筒扭转时横截面上的应力湘潭大学土木与力学学院20假设：在圆筒横截面上只有剪应力而无正应力，在包含半径的纵向截面上也无正应力。进一步，认为应力沿筒的厚度方向均匀分布，且离轴线等距离的

7、点处应力相等。 rlmnmntx湘潭大学土木与力学学院21nmnmlxTTxTmnmn湘潭大学土木与力学学院222Ad2TA rr ttDTtrT22 2 2由静力学关系得出横截面上的应力分布为湘潭大学土木与力学学院230dd, 0ytytY可得由单元体的平衡条件xdzyxtyd单元体(element)4.3.2 纯剪切纯剪切(pure shear) 剪应力互等定理剪应力互等定理湘潭大学土木与力学学院24单元体(element)0d)d(d)d(, 0 xytyxtmz由SX=0，可得上下面上的应力相同。得xdzyxtyd剪应力互等定理 theorem of conjugate shearin

8、g stress 湘潭大学土木与力学学院25即为剪应力互等定理：在两个垂直的面上，剪应力总是成对出现，大小相等，方向为同时指向或背离这两个截面的交线。交线（同时指向）交线（同时背离）xdzyxtyd湘潭大学土木与力学学院26 右上图为剪应力与剪应变之间的实验曲线。由此图可得GG为比例常数，称为材料的剪切弹性模量，其单位与剪应力的单位相同，常用单位是 GPa。op4.3.3 剪应变 剪切虎克定理湘潭大学土木与力学学院27 圆轴扭转的的应力分布问题为静不定问题，需综合考虑几何、物理和静力学等三方面的关系 来确定。4.4 圆轴扭转时的应力和强度条件湘潭大学土木与力学学院28脆性材料扭转脆性材料扭转韧

9、性材料扭转韧性材料扭转湘潭大学土木与力学学院29xdxdmm湘潭大学土木与力学学院30TR变形后横截面的形状与尺寸变形后横截面的形状与尺寸实验现象：两横截面之间的距离在变形前后没有变化横截面本身的形状、半径没有变化，只是相对于轴的轴线发生了转动变形前横截面的形状与尺寸变形前横截面的形状与尺寸R湘潭大学土木与力学学院31平面假设：圆轴扭转时各横截面仍保持为平面，且形状、大小和相互间的距离均不变，半径仍为直线，横截面在变形时如同刚性平面一样，绕轴线旋转了一个角度。 由平面假设得出的结论1.圆轴横截面上没有正应力2.沿横截面半径方向没有正应力3.横截面上离轴线等距离的点的应力是相同的否则轴就会伸长否

10、则半径就会变化(否则横截面的形状就会发生变化)湘潭大学土木与力学学院324.4.1变形几何关系 mm1m1n1m1nxdd2o1oABCCDDCGHDADCBEFGHdr2o1oxd湘潭大学土木与力学学院33 dd tanxFGGG 由右图分析，并考虑到小变形假设，可得变形几何关系CGHDADCBEFGHdr2o1oxd湘潭大学土木与力学学院34 d/dx为扭转角沿轴线x的变化率，对具体给定的截面而言，它是常量，因此，剪应变沿圆轴半径成线性变化，离轴线越远。圆轴表面处剪应变最大，并可看出，剪应变发生在与半径垂直的平面内，半径相同的所有各点剪应变均一样。湘潭大学土木与力学学院35 dd xGG截

11、面某点的应力方向的确定v其方位垂直于该点到截面圆心的连线(径向应力对截面扭矩没有贡献)v应力绕截面圆心的转向与该截面的扭矩的转向相同(因为扭矩就是截面应力对截面圆心产生的矩)4.4.2物理关系oT湘潭大学土木与力学学院36 因为扭矩就是截面应力对截面圆心产生的矩，如右图示选取积分微元，有 d AAT2AAdd d d ddTGAGAxx PIT4.4.3 静力学关系将补充方程代入上式得ToAd湘潭大学土木与力学学院37。有性质，称为极惯性矩是杆件的固几何形状与尺寸有关，仅与构件横截面的其中AId2AP由于tPmax WTrIT之为抗扭截面模量。几何性质有关，故称也是仅与构件横截面的rIWPto

12、Tmax截面上应力分布如右图示。湘潭大学土木与力学学院38 16 ,32 3t4PDWDI434444Pt (1), (1-)323216 DDIDdWdD对实心圆轴对空心圆轴湘潭大学土木与力学学院39 |tmaxmaxWT一般地塑性材料 脆性材料 1.0)(0.8 0.6)(0.5 其功效与轴向拉伸一样。圆轴扭转的强度条件为4.4.4 圆轴扭转的强度条件湘潭大学土木与力学学院40例题例题 由无缝钢管制成的汽车传动轴AB，外径D=90mm，壁厚t=2.5mm,材料为45钢。使用时的最大扭矩为Tmax=1.5kNm。如材料的 =60MPa，试校核AB轴的扭转强度。 dDmaxTmaxT湘潭大学土

13、木与力学学院41944. 0905 . 2290Dd34343tmm29400944. 011690116DW MPa51102940015009tmaxWT解：由AB轴的截面尺寸计算抗扭截面模量从而可见强度条件是满足的。湘潭大学土木与力学学院42 若把上例中的传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定其直径，并比较实心轴和空心轴的重量。 因为要求与上例中的空心轴强度相同，故实心轴的最大剪应力也应为51MPa， m0531. 01051161500Pa1051161500361631tmaxDDWT湘潭大学土木与力学学院4331. 02 .2287. 644)(212212DdDA

14、A实心轴与空心轴的面积比即为重量比，其比值为可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量只为实心轴的31%，其减轻重量、节约材料是非常明显的。 湘潭大学土木与力学学院44空心轴与实心轴的比较相同外半径的实心与空心轴，其最大应力相同，但对空心轴而言，其空心部分假如有材料的话，承受的是低应力，材料没有得到充分的利用，效率不高。OTOT湘潭大学土木与力学学院454.5 圆轴扭转时的变形和刚度条件湘潭大学土木与力学学院46 衡量圆轴扭转变形程度的量是两个横截面间绕轴线转过的相对转角，称相对扭转角。在分析扭转应力时已经得到，对等直轴，扭转角相对于轴线作均匀变化，即costant dd x4.5.1圆轴扭转时的变

15、形 湘潭大学土木与力学学院47P0P dGITlxGITl对整个圆轴积分，则得 ddPIxGT ddPxGIT或由静平衡关系GIp仅与构件的形状、尺寸和材料有关，是一种固有性质，称为抗扭刚度(ultimate stiffness in torsion)。湘潭大学土木与力学学院48 如同轴向拉压变形，上述公式也要求在计算长度l内，圆轴的扭矩T、剪切模量G和极惯性矩IP为常数。 当圆轴分段满足上述条件时，则变形也分段计算，再进行代数求和（要注意扭转角的转向），即 1PniiiiGIlTlxxIxGxT0Pd)()()(更一般地湘潭大学土木与力学学院49例 一为实心、一为空心的两根圆轴，材料、长度和

16、所受外力偶矩均一样，实心轴直径d1，空心轴外径D2 、内径d2 ，内外径之比=d2/D2=0.8。若两轴重量一样，试求两轴最大相对扭转角之比。 解：两轴材料、重量和长度一样，则截面积也一样，A实=A空即 )(44222221dDd)1 (22221 Dd则有湘潭大学土木与力学学院5044PP41PP4442422122(1)32= 32(1)1= (1)11TlDGIITlIdGIDd实实空空实空=湘潭大学土木与力学学院51 扭转角能反映构件扭转时的转角变化的平均结果，所以常用单位长度扭转角F来描述。 ddPGITxF此处F 的单位为rad/m。在工程中常用/m表达，则上式成为F180 ddP

17、GITx湘潭大学土木与力学学院52 即最大单位长度扭转角不超过允许单位长度扭转角max F与强度条件比较，刚度条件也有三个方面的功效，即刚度校核、载荷估算和截面设计。扭转刚度条件 (stiffness condition)，湘潭大学土木与力学学院53各种轴类零件的 值可从有关规范和手册中查到。通常其范围为 精密机械设备的轴一般传动轴 精度要求不高的轴 m/50. 025. 0 m/00. 150. 0 m/50. 200. 1湘潭大学土木与力学学院54例题 图为某组合机床主轴箱内第4轴的示意图。轴上有II、III、IV三个齿轮，动力由5轴经齿轮输送到4轴，再由齿轮II和IV带动1、2和3轴。1

18、和2轴同时钻孔，共消耗功率0.756kW；3轴扩孔，消耗功率2.98kW。若4轴转速为18.5r/min，材料为45钢，G=80GPa。取=40MPa,=1.5/m。试设计轴的直径。 湘潭大学土木与力学学院5532145IIIIIIV湘潭大学土木与力学学院56解：为了分析4轴的受力情况，先由公式（4.1）计算作用于齿轮和上的外力偶矩 ：mN1555 .18398. 295499549mN3 .395 .183756. 095499549IVIVIIIInNmnNmIImIIImmN3 .39m55N1mN155maxT其计算简图及扭矩图为湘潭大学土木与力学学院57 3maxtmaxmax 16DTWT m0272. 01040 15516 16363maxTD由强度条件得湘潭大学土木与力学学院58 m0297. 05 . 1 108018015532 180321803218042942max4maxPmaxmaxGTDDGTGIT30mmm0297. 0min DD由刚度条件从而有湘潭大学土木与力学学院59例题 设有A、B两个凸缘的圆轴，在扭转外力偶矩m作用下发生了变形。这时把一个薄壁圆筒与