第四章+频域图像增强

1、1数字图象处理数字图象处理Digital Image Processing主讲：张彦频域图象增强频域图象增强 1频域增强原理 2傅里叶变换3 低通滤波及高通滤波 4带通和带阻滤波 5同态滤波 频域增强原理频域增强原理卷积理论是频域技术的基础设函数f (x, y)与线性位不变算子h(x, y)的卷积结果是g(x, y)，即g(x, y) = h(x, y) * f (x, y)，那么根据卷积定理在频域有：其中G(u, v)，H(u, v)，F(u, v)分别是g(x, y)，h(x, y)，f (x, y)的傅里叶变换。用线性系统理论的话来说，H(u, v)是转移函数),(),(),(vuFvu

2、HvuG在具体增强应用中，f (x, y)是给定的（所以F(u, v)可利用变换得到），需要确定的是 H(u, v)，这样具有所需特性的g(x, y)就可由算出G(u, v)而得到：步骤：(1) 转换到频域(2) 在频域增强(3) 转换回空域频域增强原理频域增强原理 ),( ),(H1yxfTETyxg卷积定理增 强 图步 骤(1) 计算图象的变换(2) 在频域滤波(3) 反变换回图象空间频域滤波低通，高通，带通/带阻，同态),(),(),(vuFvuHvuG),(),(),(1vuFvuHyxg-T频域增强原理频域增强原理傅里叶变换傅里叶变换1 2-D傅里叶变换 2 傅里叶变换定理 3 快速

3、傅里叶变换2-D傅里叶变换 1-D正变换对1个连续函数 f (x) 等间隔采样20( )f x13101525450575685790 x10/j2exp)(1)()(NxNuxxfNuFxfF 2-D傅里叶变换 1-D反变换 变换表达频谱（幅度）相位角101/j2exp)()()(NuNuxuFxfuFF)( j exp )( )(j)()(uuFuIuRuF21 22)()( )( uIuRuF)()(arctan)( uRuIu 2-D傅里叶变换 变换对公式频谱（幅度）相位角功率谱 1010/ )(j2exp),( 1),(NuNvNvyuxvuFNyxf21 22 ),(),( ),(

4、 vuIvuRvuF),(),(arctan),(vuRvuIvu 1010/ )(j2exp),( 1),(NxNyNvyuxyxfNvuF),(),( ),( ),(222 vuIvuRvuFvuP112001,NNxyfxyfxyN 1010,10,0NxNyyxfNF1,0, 0fx yFN图像平均灰度： ，傅立叶变换域中原点的频谱分量： F(0,0)与图像均值的关系 2-D图像傅里叶变换图示2-D傅立叶变换 傅里叶变换定理 分离性质分离性质 1次2-D 2次1-D (0,0)XV(0,0)XY(0,0)UV列变换乘以行变换f (x, y)F(x, v)F(u, v)N(N 1)(N

5、1)-(N 1)-(N 1)-(N 1)-(N 1)-10/xj2exp),(1),(NxNuvxFNvuF10/j2exp),(1),(NyNvyyxfNNvxF1 1、平移定理、平移定理 ),(/ )(j2exp),(dvcuFNdycxyxf傅里叶变换定理 )( ),(/ )()(j2exp),( 1/ )(j2exp/ )(j2exp),( 1/ )(j2exp),(10101010dvcuFNydvxcuyxfNNvyuxNdycxyxfNNdycxyxfNxNyNxNy F),(),(vuFyxf2D傅里叶变换的频谱平移 傅立叶变换以变换域的原点(0,0)为中心，由傅立叶变换的周期

6、性和共轭对称性可知，变换域中的能量对称于原点集中分布。为了在 , 内得到一个完整的频谱，需要将频谱的原点移至（N/2,N/2）处。 1, 0Nv 1, 0Nu 利用平移性质，当 200NuyxyxjeNyvxuj12exp002,21,NvNuFyxfyx),()(2exp),(0000vvuuFNyvxujyxf2D傅里叶变换的频谱平移f(x,y)F(u,v)F(u-N/2,v-N/2)通过简单的变换域平移 将F(u,v)的原点移动到变换域方阵的中心，使低频能量集中在变换域的中心部分。 2D傅里叶变换的频谱平移2,21,NvNuFyxfyx2. 2. 旋转性旋转性 借助极坐标变换：借助极坐标

7、变换： 将其带入到傅里叶变换式中可以得到将其带入到傅里叶变换式中可以得到 将将f(x,y)f(x,y)旋转旋转对应于对应于F(u,v)F(u,v)也旋转也旋转，反之，反之亦然亦然傅里叶变换定理 sincossincosvuryrx),(),(00Frf傅里叶变换定理 ),(),(vuaFyxafbvauFabbyaxf,1),(4 4、剪切定理、剪切定理（水平方向）纯剪切 （垂直方向）纯剪切 傅里叶变换定理 byxxyy ),(),(buvuFybyxfxx ydxy ),(),(vduuFydxxf5 5、组合剪切定理、组合剪切定理平移旋转尺度 水平剪切及垂直剪切 垂直剪切 傅里叶变换定理

8、bdvbubddvuFbdydxbyxf1,111),(xx11db101b101d6 6、仿射定理、仿射定理傅里叶变换定理 bdaeedba7 7、卷积定理、卷积定理 2-2-D D ),(),(),(),(vuGvuFyxgyxf),(),(),(),(vuGvuFyxgyxf傅里叶变换定理 )()()()(uGuFxgxf)()()()(uGuFxgxf -dd),(),( ),(),(qpqypxgqpfyxgyxf8 8、相关定理、相关定理互相关：f (x) g(x) 自相关：f (x) = g(x)2-2-D D傅里叶变换定理 zzxgzfxgxfd)()()()(* ),(),(

9、*),(),(vuGvuFyxgyxf),(),(),(),(*vuGvuFyxgyxf qpqypxgqpfyxgyxfdd),(),(),(),(快速傅里叶变换1-D：复数乘法和加法的次数都正比于N2 快速傅里叶变换（FFT）： 将复数乘法和加法的次数减少为正比于N log2N 逐次加倍法：复数乘法次数由N2减少为(N log2 N)/2 复数加法次数由N2减少为N log2 N 1 , , 1 , 0/j2exp)(1)()(10NuNuxxfNuFxfNxF低通滤波低通滤波低通滤波器低通滤波器图象中的边缘和噪声都对应图象傅里叶变换中的高频部分，所以如要在频域中消弱其影响就要设法减弱这部

10、分频率的分量根据频域增强技术的原理，需要选择一个合适的H(u, v)以得到消弱F(u, v)高频分量的G(u, v)以下讨论对F(u, v)的实部和虚部影响完全相同的滤波转移函数。具有这种特性的滤波器称为零相移滤波器低通滤波低通滤波1、理想低通滤波器理想低通滤波器理想是指小于D0的频率可以完全不受影响地通过滤波器，而大于D0的频率则完全通不过 Huv)(u,vD01HD0()(u,vu,v低通滤波低通滤波1、理想低通滤波器理想低通滤波器H(u, v)：转移 / 滤波函数D0：截断频率（非负整数）D(u, v)是从点(u, v)到频率平面原点的距离D(u, v) = (u2 +v2)1/2 00

11、),( 0),( 1),(DvuDDvuDvuH如如n1）原理Lenna加入高斯噪声的加入高斯噪声的Lenna低通滤波低通滤波Lenna的谱图像的谱图像有高斯噪声有高斯噪声Lenna的谱图像的谱图像低通滤波低通滤波低通滤波低通滤波n举例：观察有高斯噪声Lenna图像的傅立叶谱和不同半径下的谱图像的信号能量。1515151515_1.5387 10_51.3886 10_5_0.9025_101.4191 10_10_0.9223_201.4346 10_20_0.9323_501.4483 10_50_0.9412ETEEETEEETEEETEEET低通滤波低通滤波D0=5有高斯噪声的有高斯噪

12、声的Lenna图像图像低通滤波低通滤波D0=10D0=20低通滤波低通滤波D0=50有高斯噪声的原有高斯噪声的原Lenna图像图像低通滤波低通滤波2、理想低通滤波器的模糊理想低通滤波器的模糊理想低通滤波产生理想低通滤波产生“振铃振铃”现象现象低通滤波低通滤波2、理想低通滤波器的模糊理想低通滤波器的模糊理想低通滤波所产生的“振铃”现象在2-D图象上表现为一系列同心圆环,圆环半径反比于截断频率理想低通滤波产生模糊效应理想低通滤波产生模糊效应B：能量百分比，R：圆周半径，P(u, v)：功率谱 RuNuNvRvvuPvuPB1010),( ),( 100低通滤波低通滤波3、巴特沃斯低通滤波器巴特沃斯

13、低通滤波器物理上可实现（理想低通滤波器在数学上定义得很清楚，在计算机模拟中也可实现，但在截断频率处直上直下的理想低通滤波器是不能用实际的电子器件实现的）减少振铃效应，高低频率间的过渡比较光滑阶为n nDvuDvuH20/ ),(11),(低通滤波低通滤波3、巴特沃斯低通滤波器巴特沃斯低通滤波器截断频率截断频率 使H最大值降到某个百分比的频率在D(u, v) = D0时 常用：H(u, v) = 1/2H(u, v) = 1/21/2nDvuDvuH20/ ),(11),(01HDD0()u,vu,v低通滤波低通滤波3、巴特沃斯低通滤波器巴特沃斯低通滤波器图象由于量化不足产生虚假轮廓时常可用低通

14、滤波进行平滑以改进图象质量效果比较（相同截断频率）：图6.2.6D0=10低通滤波低通滤波D0=50低通滤波低通滤波D0=50 理想理想n巴特沃斯低通滤波器的优点是：n一、模糊大大减少。因为包含了许多高频分量；n二、没有振铃现象。因为滤波器是平滑连续的。低通滤波低通滤波低通滤波低通滤波4、其他低通滤波器其他低通滤波器梯形指数D0=10低通滤波低通滤波D0=50D0=50 巴特沃思巴特沃思低通滤波低通滤波比相应的巴特沃思滤波器要稍微模糊，但没有振铃现象。n比相应的巴特沃思滤波器要稍微模糊，但没有振铃现象。低通滤波低通滤波高通滤波高通滤波1、理想高通滤波器理想高通滤波器形状与低通滤波器的形状正好相

15、反00),( 1),( 0),(DvuDDvuDvuH如如01D0u,v()Hu,v()DHuv)(u,v高通滤波高通滤波2、巴特沃斯高通滤波器巴特沃斯高通滤波器形状与巴特沃斯低通滤波器的形状正好相反截断频率使H值上升到最大值某个百分比的频率 常用：H(u, v) = 1/2H(u, v) = 1/21/2nvuDDvuH20),(11),(01u,vD0()Hu,v()D3、高频增强滤波器高频增强滤波器傅里叶变换：G(u, v) = H(u, v)F(u,v)高频增强转移函数：He(u, v) = k H(u, v) + c高频增强输出图的傅里叶变换：Ge(u, v) = k G(u, v)

16、 + c F(u, v)反变换回去：ge(x, y) = k g(x, y) + c f (x, y)高通滤波高通滤波高通滤波高通滤波4、高频提升滤波器高频提升滤波器用原始图减去低通图得到高通滤波器的效果把原始图乘以一个放大系数A再减去低通图就可构成高频提升（high-boost）滤波器 高通滤波器：A = 1高频增强滤波器：？ 带通和带阻滤波带通和带阻滤波带阻滤波器带阻滤波器阻止一定频率范围 （允许其它频率范围）01D0u,v()Hu,v()DW带通和带阻滤波带通和带阻滤波带阻滤波器带阻滤波器傅里叶变换的对称性 两两工作实函数的傅里叶变换是对称的。其它或如1),(),( 0),(0201Dv

17、uDDvuDvuH2/1 20201)()( ),(vvuuvuD2/1 20202)()( ),(vvuuvuDHuv)(u,v带通和带阻滤波带通和带阻滤波带阻滤波器带阻滤波器傅里叶变换的对称性 两两工作实函数的傅里叶变换是对称的。其它或如1),(),( 0),(0201DvuDDvuDvuH2/1 20201)()( ),(vvuuvuD2/1 20202)()( ),(vvuuvuDHuv)(u,v),(),(vuFvuF),(),(vuFvuF带通和带阻滤波带通和带阻滤波放射对称的放射对称的带阻滤波器带阻滤波器2),( 12),(2 02),( 1),(0000WDvuDWDvuDWD

18、WDvuDvuH如如如Huv)(u,vD -w0/2D +w0/2nDvuDWvuDvuH2202),(),(11),(带通和带阻滤波带通和带阻滤波带通滤波器带通滤波器与带阻滤波器互补允许一定频率范围（阻止其它频率范围）),(11),(),(RRPvuHvuHvuH01D0u,v()Hu,v()DWHuv)(u,v带通和带阻滤波带通和带阻滤波放射对称的放射对称的带通滤波器带通滤波器2 022 12 00000WDvuDWDvuDWDWDvuDvuH),(),(),(),(如如如1)()(1)(2202nWvuDDvuDvuH, H u v ) ( u,v D -w 0 /2 D +w 0 /2

19、 带通和带阻滤波带通和带阻滤波2 022 12 00000WDvuDWDvuDWDWDvuDvuH),(),(),(),(如如如（e)(f)(g)(h)57同态滤波同态滤波58同态滤波同态滤波59 同态滤波同态滤波60H(u,v)0D(u,v)1同态滤波同态滤波61 同态滤波同态滤波62同态滤波同态滤波同态滤波同态滤波（1）两边取对数：（2）两边取付氏变换： （3）用一频域函数 H(u, v)处理 F(u, v)： （4）反变换到空域： （5）两边取指数：),(ln),(ln),(lnyxryxiyxf),(),(),(vuRvuIvuF),(),(),(),(),(),(vuRvuHvuIvuHvuFvuH),(),(),(yxhyxhyxhrif ),( exp ),( exp ),( exp),(yxhyxhyxhyxgrif0H(u,v)D(u,v)LHHH1特点：特点：能消除乘性噪声，能同时压缩图象的整体动态范围和增加图象中相邻区域间的对比度典型曲线 效果示例（HL = 0.5，HH = 2.0）lnFF