材料力学 孙训方 习题答案

1、 习题2-2一打入基地 2-3图=-1000-(3´2+3.14´1)´10´2.35´9.8=-3104.942(kN) 2墩身底面积：A=(3´2+3.14´1)=9.14(m)因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布。s=NA=-3104.942kN9.14m222=-339.71kPa»-0.34MPa 习题2-7 图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。 2-7图 解：取长度为dx截离体（微元体）。则微元体的伸长量为：d(Dl)=FdxEA(x)xl，Dl=òlFEA(x) dx=F

2、òEldxA(x) r-r1r2-r1=，r=r2-r1l×x+r1=2d2-d12lx+d12，död-d1dd-d1æd-d12A(x)=pç2x+1÷=p×u，d(2x+1)=du=2dx2l2ø2l22lè2ldx=2ld2-d1du，dxA(x)F=d2-d1p×uF2du=2lp(d1-d2)2Fl×(-duu2)因此， Dl=òl EA(x)dx=òEldxA(x) =pE(d1-d2ò)l (-duu2)é1ù=

3、0;pE(d1-d2)êëuû02Flléê2Fl1=êdpE(d1-d2)êd2-d1x+1ê2ë2lùúú úúû0léùê2Fl11ú=-êúd-dddpE(d1-d2)ê211úl+1ê22úë2lû=é22ù4Fl- =êúpE(d1-d2)ëd2d1ûpEd

4、1d22Fl 习题2-10 受轴向拉力F作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该材料的弹性常数为E,n，试求C与D两点间的距离改变量DCD。解：e=-ne=-nF/AE=-nFEA Fn4Ead 式中，A=(a+d)2-(a-d)2=4ad，故：e=-Daa=e=-FnFn4Ead， Da=a-a=-Fn4Ed 12a=a-4Ed，CD=(2a)+(3a)3422=aCD=(2a)+(3a)3422=12a D(CD)=CD-CD=12(a-a)=-12×Fn4Ed=-1.003×Fn4Ed 习题2-11 图示结构中，AB为水平放置的刚性杆，杆1，2，3材料相同，其弹性模量E=21

5、0GPa，已知l=1m，A1=A2=100mm2，A3=150mm，F=20kN。试求C2点的水平位移和铅垂位移。 2-11图解：（1）求各杆的轴力以AB杆为研究对象，其受力图如图所示。因为AB平衡，所以åX=0，N3cos45o=0，N3=0由对称性可知，DCH=0，N1=N2=0.5F=0.5´20=10(kN)（2）求C点的水平位移与铅垂位移。A点的铅垂位移：Dl1=N1lEA1=10000N´1000mm210000N/mm2´100mm2=0.476mmB点的铅垂位移： Dl2=N2lEA2=10000N´1000mm210000N/

6、mm2´100mm2=0.476mm1、2、3杆的变形协（谐）调的情况如图所示。由1、2、3杆的变形协（谐）调条件，并且考虑到AB为刚性杆，可以得到C点的水平位移：DCH=DAH=DBH=Dl1×tan45o=0.476(mm)C点的铅垂位移：DC=Dl1=0.476(mm) 习题2-12 图示实心圆杆AB和AC在A点以铰相连接，在A点作用有铅垂向下的力F=35kN。已知杆AB和AC的直径分别为d1=12mm和d2=15mm，钢的弹性模量E=210GPa。试求A点在铅垂方向的位移。解：（1）求AB、AC杆的轴力以节点A为研究对象，其受力图如图所示。由平衡条件得出：å

7、;X=0：NACsin30-NABsin45oo=0NAC=2NAB(a) ooåY=0：NACcos30+NABcos45-35=03NAC+2NAB=70(b)(a) (b)联立解得：NAB=N1=18.117kN；NAC=N2=25.621kN（2）由变形能原理求A点的铅垂方向的位移12FDA=N1l12EA1N1l1EA122+N2l22EA2N2l2EA222 DA=1F(+)式中，l1=1000/sin45o=1414(mm)；l2=800/sin30o=1600(mm)222 A1=0.25´3.14´122=113mm；A2=0.25´3

8、.14´15=177mm故：DA= 135000(181172´1414210000´113+256212´1600210000´177)=1.366(mm) 习题2-13 图示A和B两点之间原有水平方向的一根直径d=1mm的钢丝，在钢丝的中点C加一竖向荷载F。已知钢丝产生的线应变为e=0.0035，其材料的弹性模量E=210GPa， 钢丝的自重不计。试求：（1）钢丝横截面上的应力（假设钢丝经过冷拉，在断裂前可认为符合胡克定律）；（2）钢丝在C点下降的距离D；（3）荷载F的值。解：（1）求钢丝横截面上的应力s=Ee=210000´0.

9、0035=735(MPa)（2）求钢丝在C点下降的距离DDl=NlEA=s×10001003.5lE=735´=7(mm)。其中，AC和BC各3.5mm。 2100002000a= cos=0.99651220 7)=4.7867339oo a=arcco10001003.5 D=1000tan4.7867339（3）求荷载F的值 =83.7(mm)以C结点为研究对象，由其平稀衡条件可得：åY=0：2Nsina-P=0P=2Nsina=2sAsina=2´735´0.25´3.14´1´sin4.78720=96.

10、239(N) 习题2-15水平刚性杆AB由三根BC,BD和ED支撑，如图，在杆的A端承受铅垂荷载F=20KN,三根钢杆的横截面积分别为A1=12平方毫米，A2=6平方毫米，A,3=9平方毫米，杆的弹性模量E=210Gpa，求：（1） 端点A的水平和铅垂位移。（2） 应用功能原理求端点A的铅垂位移。解：（1） òl0fdx=F,有3l013kl=F3k=3F/lFN(x1)=ò3Fx/ldx=F(x1/l)233ìFN3cos45o=0ïoí-FN1+F2-FN3sin45+F=0ï-F´0.45+F´0.15=0N

11、1îF1=-60KN,F1=-401KN,F1=0KN,由胡克定理，Dl1=Dl2=FN1lEA1FN2lEA2=-60´10´0.15210´10´12´1040´10´0.15210´10´12´109-679-67=3.87=4.76从而得，DAx=Dl2=4.76，DAy=Dl2´2+Dl1´3=20.23（¯）（2）Ve=F´DAy-F1´Dl1+F2´Dl2=0DAy=20.33（¯） 习题2-17 简单

12、桁架及其受力如图所示，水平杆BC的长度l保持不变，斜杆AB的长度可随夹角q的变化而改变。两杆由同一种材料制造，且材料的许用拉应力和许用压应力相等。要求两杆 -NABcosq= NBC=-NABcosFsinq×cosq=Fcotq2-17（2）求工作应力 s=NABABAABNBCABC=FAABsinqFcotqABC sBC=（3）求杆系的总重量W=g×V=g(AABlAB+ABClBC) 。g是重力密度（简称重度，单位：kN/m3）。=g(AABlcosq1cosq+ABCl) +ABC)=g×l(AAB（4）代入题设条件求两杆的夹角 条件： s=NABAA

13、BNBCABC=FAABsinqFcotqABC=s，ABAAB=FssinqFcotqs sBC=s， ABC= 条件：W的总重量为最小。 W=g×l(AAB =g×l(1cosq+ABC)=g×l(AAB1cosq+ABC)Fssinq×1cosq+Fcotqs)=Flgssinqcosq(1+cosqsinq)2Flgæ1+cosqç=sçèsinqcosqö2Flg÷=÷søæ1+cos2qççsin2qèö÷

14、; ÷ø从W的表达式可知，W是q角的一元函数。当W的一阶导数等于零时，W取得最小值。dW22Flgæ-2cosqsinq×sin2q-(1+cosq)cos2q×2öç÷=0 =2ç÷sèdqsin2qø2-sin2q-3+cos2q2×cos2q×2=02-sin22q-3cos2q-cos2q=03cos2q=-1 ，cos2q=-0.33332q=arccos(-0.3333)=109.47，q=54.74oo=5444o（5）求两杆横截面面积的比值

15、AAB=Fssinq，ABC=FcotqsFAABABC=ssinqFcotqs=1sinqcotq=1cosq因为： 3cos2q=-1，2cos2q-1=-13AABABC1cosq13，cos2q=13 cosq=，=3 所以： =3 习题2-18 一桁架如图所示。各杆都由两个等边角钢组成。已知材料的许用应力s=170MPa，试选择AC和CD的角钢型号。解：（1）求支座反力由对称性可知，RA=RB=220kN(­)（2）求AC杆和CD杆的轴力以A节点为研究对象，由其平衡条件得：åY= 2-18a=0 RA-NACcosRAsina2203/5 NAC=366.667(

16、kN)以C节点为研究对象，由其平衡条件得：åX=0a=0 NCD-NACcosNCD=NACcosa=2203/5´4/5=293.333(kN)（3）由强度条件确定AC、CD杆的角钢型号AC杆：AAC³NACs=366667N170N/mm2=2156.86mm22=21.569cm选用280´7（面积2´10.86=21.72cm2）。CD杆：ACD³NCDs=293333N170N/mm2=1725.488mm22=17.255cm选用275´6（面积2´8.797=17.594cm2）。 习题2-19 一结

17、构受力如图所示，杆件AB、CD、EF、GH都由两根不等边角钢组成。已知材料的许用应力s=170MPa，材料的弹性模量E=210GPa，杆AC及EG可视为刚性的。试选择各杆的角钢型号，并分别求点D、C、A处的铅垂位移DD、DC、DA。解：（1）求各杆的轴力NAB=NCD=3.240.84´300=240(kN) ´300=60(kN) åMF=0NGH´3-300´1.5-60´1.2=0 2-19NGH=13(450+72)=174(kN)åY=0NEF+174-60-300=0NEF=186(kN)（2）由强度条件确定AC

18、、CD杆的角钢型号AB杆：AAB³NABs=240000N170N/mm2=1411.765mm2=14.12cm 2选用290´56´5（面积2´7.212=14.424cm2）。 CD杆：ACD³NCDs=60000N170N/mm2=352.941mm22=3.529cm选用240´25´3（面积2´1.89=3.78cm2）。EF杆：AEF³NEFs=186000N170N/mm2=1094.118mm22=10.412cm选用270´45´5（面积2´5.609=1

19、1.218cm2）。 GH杆：AGH³NGHs=174000N170N/mm2=1023.529mm22=10.353cm选用270´45´5（面积2´5.609=11.218cm2）。（3）求点D、C、A处的铅垂位移DD、DC、DA DlAB=NABlABEAABNCDlCDEACDNEFlEFEAEFNGHlGHEAGH=240000´3400210000´1442.460000´1200210000´378=2.694»2.7(mm) DlCD=0.907(mm) DlEF=186000´

20、2000210000´1121.8174000´2000210000´1121.8=1.580(mm) DlGH=1.477(mm)EG杆的变形协调图如图所示。 DD-lGHlEF-lGH=1.83DD-1.4771.580-1.477=1.83DD=1.54(mm)DC=DD+lCD=1.54+0.907=2.45(mm)DA=lAB=2.7(mm) 习题2-21 （1）刚性梁AB用两根钢杆AC、BD悬挂着，其受力如图所示。已知钢杆AC和BD的直径分别为d1=25mm和d2=18mm，钢的许用应力s=170MPa，弹性模量E=210GPa。试校核钢杆的强度，并计

21、算钢杆的变形DlAC、DlBD及A、B两点的竖向位移DA、DB。解：（1）校核钢杆的强度 求轴力 NAC=NBC=34.51.54.5´100=66.667(kN) ´100=33.333(kN) 计算工作应力s=NACACAAC=66667N0.25´3.14´25mm22=135.882MPasBD=NBDABD=33333N0.25´3.14´18mm22 2-21=131.057MPa 因为以上二杆的工作应力均未超过许用应力170MPa，即sAC£s；sBD£s，所以AC及BD杆的强度足够，不会发生破坏。（

22、2）计算DlAC、DlBDDlAC=NAClACEAACNBDlBDEABD=66667´2500210000´490.62533333´2500210000´254.34=1.618(mm) DlBD=1.560(mm)（3）计算A、B两点的竖向位移DA、DB(mm)，DB=DlBD=1.560(mm)DA=DlAC=1.618 习题3-2 实心圆轴的直径d=100mm，长l=1m，其两端所受外力偶矩Me=14kN×m，材料的切变模量G=80GPa。试求：（1）最大切应力及两端面间的相对转角；（2）图示截面上A、B、C三点处切应力的数值及方向

23、；（3）C点处的切应变。解：（1）计算最大切应力及两端面间的相对转角tmax=TWp=MeWp116e。 116式中，Wp=故：tmax=T×lGIppd3=´3.14159´10063=196349(mm)。 3-2 3MWp=14´10N×mm196349mm1323=71.302MPa j=，式中，Ip=pd4=132´3.14159´1004=9817469(mm)。故： 4j=T×lGIp=14000N×m´1m80´10N/m´9817469´1092-

24、12m4=0.0178254(rad)=1.02 o（2）求图示截面上A、B、C三点处切应力的数值及方向 tA=tB=tmax=71.302MPa， 由横截面上切应力分布规律可知：tC=12tB=0.5´71.302=35.66MPa， A、B、C三点的切应力方向如图所示。（3）计算C点处的切应变gC=tCG=35.66MPa80´10MPa3=4.4575´10-4»0.446´10-3习题3-3 空心钢轴的外径D=100mm， 43443式中，a=d/D。 j=T×lGIp，T=jGIlp=1.8´3.14159/180

25、´80000N/mm2700mm2´9203877mm4=8563014.45N×mm=8.563(kN×m)tmax=TWp=8563014.45N×mm184078mm3=46.518MPa（2）当轴以n=80r/min的速度旋转时，轴所传递的功率T=Me=9.549Nkn=9.549´Nk80=8.563(kN×m)Nk=8.563´80/9.549=71.74(kW) 习题3-5 图示绞车由两人同时操作，若每人在手柄上沿着旋转的切向作用力F均为0.2kN，已知轴材料的许用切应力t=40MPa，试求：（1）A

26、B轴的直径；（2）绞车所能吊起的最大重量。解：（1）计算AB轴的直径AB轴上带一个主动轮。两个手柄所施加的外力偶矩相等：Me左=Me右=0.2´0.4=0.08(kN×m)Me主动轮=2Me右=0.16(kN×m)扭矩图如图所示。 3-5由AB轴的强度条件得：tmax=Me右Wp=16Me右3pd£td³M3e右pt=16´80000N×mm3.14159´40N/mm2=21.7mm（2）计算绞车所能吊起的最大重量主动轮与从动轮之间的啮合力相等：Me主动轮0.2=Me从动轮0.35，Me从动轮=0.350.20&

27、#180;0.16=0.28(kN×m)由卷扬机转筒的平衡条件得：P´0.25=Me从动轮，P´0.25=0.28P=0.28/0.25=1.12(kN) 习题3-6 已知钻探机钻杆（参看题3-2图）的外径D=60mm，0.39040=0.00975(kN/m)（2）作钻杆的扭矩图，并进行强度校核作钻杆扭矩图T(x)=-mx=-0.3940x=-0.00975x。xÎ0,40T(0)=0； T(40)=M扭矩图如图所示。 强度校核，tmax=116e=-0.390(kN×m) MeWp 1165060式中，Wp=tmax=MepD(1-a)=3

28、4´3.14159´60´1-(3)=21958(mm) 43Wp=390000N×mm21958mm3=17.761MPa因为tmax=17.761MPa，t=40MPa，即tmax£t，所以轴的强度足够，不会发生破坏。（3）计算两端截面的相对扭转角j=ò40T(x)dxGIp0式中，Ip=132pD(1-a)=1GIp4044132´3.14159´60´1-(45060)=658752(mm)44j=ò40|T(x)|dxGIp =ò 0.00975xdx=0.0097580&#

29、180;10kN/m´658752´1062-12m4x22040=0.148(rad)»8.50 习题3-8 直径d=50mm的等直圆杆，在自由端截面上承受外力偶Me=6kN×m，而在Ç圆杆表面上的A点将移动到A1点，如图所示。已知Ds=AA1=3mm，圆杆材料的弹性模量E=210GPa，试求泊松比n（提示：各向同性材料的三个弹性常数E、G、n间存在如下关系：G=E2(1+n)。解：整根轴的扭矩均等于外力偶矩：T=Me=6kN×m。d2设O,O1两截面之间的相对对转角为j，则Ds=j×j=2×Dsd132，j=1

30、32T×lGIP=2Dsd式 中，Ip=pd4=´3.14159´504=61359(2mm) 3-84G=T×l×d2IpDsE2(1+n)=6´10N×mm´1000mm´50mm2´613592mm46´3mm210=81487.372MPa=81.4874GPa由G=得：n=E2G-1=2´81.4874-1=0.289 习题3-10 长度相等的两根受扭圆轴，一为空心圆轴，一为实心圆轴，两者的材料相同，受力情况也一样。实心轴直径为d；空心轴的外径为D，内径为d0，且试

31、求当空心轴与实心轴的最大切应力均达到材料的许用切应力（t的重量比和刚度比。 解：（1）求空心圆轴的最大切应力，并求D。 d0D=0.8。max=t），扭矩T相等时tmax=TWp 116式中，Wp=pD(1-a)，故：34tmax,空=16TpD(1-0.8)34=27.1TpD3=tD3=27.1Tpt3-10（1）求实心圆轴的最大切应力tmax=TWp，式中，Wp=116pd ，故：tmax,实=316Tpd3=16Tpd3=td3=16Tpt，(Dd)=327.1Tpt×pt16T=1.69375，Dd=1.192（3）求空心圆轴与实心圆轴的重量比W空W实=0.25p(D-d0

32、)×l×g0.25pd×l×g222=(Dd)(1-0.8)=0.36(22Dd)=0.36´1.19222=0.512（4）求空心圆轴与实心圆轴的刚度比Ip空=132pD(1-0.8)=0.01845pD，Ip实=44444132pd4=0.03125pd4 GIGIp空p实=0.01845pD0.03125pd=0.5904(Dd)=0.5904´1.19244=1.192 习题3-11 全长为l，两端面直径分别为d1,d2的圆台形杆，在两端各承受一外力偶矩Me ，如图所示。试求杆两端面间的相对扭转角。解：如图所示，取微元体dx，

33、则其两端面之间的扭转角为：dj=MedxGIP 132式中，Ip=r-r1pd xl4r2-r1=r=r2-r1l×x+r1=d2-d12lx+d12 d=2r=d2-d1lx+d1d4=(d2-d1lx+d1)=uld2-d144du=d2-d1ldx，dx=du故j=：=MGeòlMedxGIp òldxIp =MGeòl32dx pd4=32MepGòl1u4 ×ld2-d1du=32MelpG(d2-d1)òlduul4 =32MelpG(d2-d1)òl éùêú32Mel32Meldu1l1êú =-=-4303úpG(d2-d1)3u3pG(d2-d1)êæd-duö21êçx+d1÷úlêøúëèû03æd13-d2×ççd3d312èæ132Mel1öç÷×-3÷=-33pG(d2-d