第四章 土体应力和有效应力原理

1、上海市土力学与地基基础精品课程http:/ 土体应力和有效应力原理土体应力和有效应力原理4.1概述4.2地基的应力状态4.3地基自重应力4.4基底压力4.5土中附加应力4.6有效应力原理上海市土力学与地基基础精品课程http:/ 概概 述述上海市土力学与地基基础精品课程http:/ 概概 述述上海市土力学与地基基础精品课程http:/ 概概 述述1）连续性假定土是由三相物质组成的碎散颗粒集合体，不是连续介质。在研究土体内部微观受力情况时，必须把土当成散粒状的三相体来看待；但当我们研究宏观土体的受力问题时，土体的尺寸远大于土颗粒的尺寸，就可以把土体当作连续体来对待。2）线弹性假定3）均质各向同性

2、假定均质，是指受力体各点的性质相同；各向同性则是指在同一点处的各个方向上性质相同。土体应力土体应力-应变关系应变关系上海市土力学与地基基础精品课程http:/ z y xyyzzyx y xy yz zx xz zy yx z ij = =地基：地基：半无限空间半无限空间zxyxxz4.2地基的应力状态地基的应力状态剪应力角标前面一个符号表示剪应力作用面的法剪应力角标前面一个符号表示剪应力作用面的法线方向，后一个符号表示剪应力的作用方向线方向，后一个符号表示剪应力的作用方向上海市土力学与地基基础精品课程http:/ 土力学中应力符号的规定土力学中应力符号的规定 在土力学中，土中很少出现拉应力，

3、为方便起见，规定法向应力以压应力为正，拉应力为负。剪应力的正负号规定：1）当剪应力作用面上的法向应力方向与坐标轴的正方向一致时，则剪应力的方向与坐标轴正方向一致时为正，反之为负；2）若剪应力作用面上的法向应力方向与坐标轴正方向相反时，则剪应力的方向与坐标轴正方向相反时为正，反之为负。图中应力状态都为正值。上海市土力学与地基基础精品课程http:/ 地基中典型应力状态地基中典型应力状态 在半空间无限体表面有局部荷载作用，则地基中的应力状态属于三维应力状态。三维应力状态是建筑物地基中最普遍的一种应力状态 xxxyxzijyxyyyzzxzyzz上海市土力学与地基基础精品课程http:/ x,z两个

4、坐标轴有关，是平面应变状态。此时，沿长度方向切出的任一xOz截面均可认为是对称面，并且沿y方向的应变 根据对称性有 ，其应力向量可表示为 0 0 0 0 xxxzijyyzxzz0y0yxyz上海市土力学与地基基础精品课程http:/ ，即0 xyyzzx 0 0 0 0 0 0 xxijyyzz上海市土力学与地基基础精品课程http:/ 地基中自重应力地基中自重应力定义定义：地基地基中由土体本身的中由土体本身的有效重量有效重量而产生的应力而产生的应力。根据方向的不同，可以分为竖向自重应力和水平向自重应力计算：计算：地下水位以上用天然容重，地下水位以下用浮容重地下水位以上用天然容重，地下水位以

5、下用浮容重上海市土力学与地基基础精品课程http:/ 4.3.1 竖直向自重应力计算竖直向自重应力计算1基本计算公式基本计算公式如图4-3所示，假定土体为均质的半无限弹性体，地基土重度为 。土体在自身重力作用下，其任一竖直切面上均无剪应力存在（ =0），即为侧限应力状态。取高度为z，截面积A=1的土柱为隔离体，假定土柱体重量为FW,底面上的应力大小为 SZ，则由z方向力的平衡条件可得szwAFzA（4-4）可得土中自重应力计算公式为szz（4-5）上海市土力学与地基基础精品课程http:/ 4.3.1 竖直向自重应力计算竖直向自重应力计算2土体成层时的计算公式土体成层时的计算公式地基土往往是成

6、层的，不同的土层具有不同的重度。设各土层厚度及重度分别为 和 。（4-6）ih(1,2, )iin1 1221nsznniiihhhh上海市土力学与地基基础精品课程http:/ 2 1 水位面1 h1 1 h1 + 2h2 1 h1 + 2h2 + 3h3 1ncziiih地下水位位于同一土层中，计算自重应力时，地下水位面应作为分层的界面，水面以下取浮容重注意：注意：在在地下水位以下，地下水位以下，如埋如埋藏有不透水层，由于不透水层藏有不透水层，由于不透水层中不存在中不存在水的浮力水的浮力，则不透水，则不透水层顶面及以下层顶面及以下的自重应力应按的自重应力应按上腹土层的水土总重上腹土层的水土总

7、重计算。计算。这样上腹土层与不透水层交界这样上腹土层与不透水层交界处自重应力将发生突变。处自重应力将发生突变。3有地下水存在时的计算公式有地下水存在时的计算公式上海市土力学与地基基础精品课程http:/ 4.3.2 水平向自重应力计算水平向自重应力计算根据广义虎克定律，有式中，E为弹性模量， 为泊松比（4-7）对于侧限应力状态，有（4-8）()sxsxsyszEE0sxsy代入式（4-7），得()0sxsyszEE再利用 ，可得土体水平向自重应力为sxsy（4-9）01sxsyszszK式中， 为土的静止侧压力系数或静止土压力系数。01K上海市土力学与地基基础精品课程http:/ 4.3.2

8、水平向自重应力计算水平向自重应力计算对于砂性土一般应该考虑浮力的作用，而黏性土则视其物理状态而定。1）当水下黏性土的液性指数IL 1时，土处于流动状态，土颗粒间有大量自由水存在，土体受到水的浮力作用；2）当其液性指数 IL0 时，土处于固体或半固体状态，土中自由水受到土颗粒间结合水膜的阻碍而不能传递静水压力，此时土体不受水的浮力作用；3）当0 IL 1时，土处于塑性状态，此时很难确定土颗粒是否受到水的浮力的作用，在实践中一般按不利状态来考虑。上海市土力学与地基基础精品课程http:/ 1910/(1)25.9 (10.18)swskN mw 上海市土力学与地基基础精品课程http:/ 16.8

9、7.1/26.8 (10.5)kN m 土层自重应力分布如例图所示上海市土力学与地基基础精品课程http:/ 基底压力基底压力上海市土力学与地基基础精品课程http:/ = MM0 0；反证法反证法: : 假设基底压力与荷载分布相同，假设基底压力与荷载分布相同，则地基变形与柔性基础情况必然一致；则地基变形与柔性基础情况必然一致；分布分布: : 中间小中间小, , 两端无穷大。两端无穷大。弹性地基，绝对刚性基础弹性地基，绝对刚性基础基础抗弯刚度基础抗弯刚度EIEI=0 =0 M=0M=0；基础变形能完全适应地基表面的变形基础变形能完全适应地基表面的变形; ;基础上下压力分布必须完全相同，若不基础

10、上下压力分布必须完全相同，若不同将会产生弯矩。同将会产生弯矩。条形基础，竖直均布荷载条形基础，竖直均布荷载4.4.1基底压力的分布规律基底压力的分布规律上海市土力学与地基基础精品课程http:/ 荷载较小荷载较小 荷载较大荷载较大砂性土地基砂性土地基粘性土地基粘性土地基 接近弹性解接近弹性解 马鞍型马鞍型 抛物线型抛物线型 倒钟型倒钟型4.4.1基底压力的分布规律基底压力的分布规律上海市土力学与地基基础精品课程http:/ A基础底面积。上海市土力学与地基基础精品课程http:/ ex xe ey yb bl lx xy yx xy yb bl lFF;xyyxMF eMF emaxmin0,

11、61yxeeeFepAb当矩形面积中心荷载矩形面积中心荷载pF A矩形面积偏心荷载矩形面积偏心荷载( , )yxxyM xM yFp x yAIImax61FepAbmin61FepAb上海市土力学与地基基础精品课程http:/ 出现拉应力区出现拉应力区maxmin61FepAbx xy yb bl le ee ex xy yb bl le ex xy yb bl lFFFmaxp0pmin 0pmin 0pmin maxpmaxp土不能承受拉力土不能承受拉力设计调整设计调整矩形面积单向偏心荷载矩形面积单向偏心荷载上海市土力学与地基基础精品课程http:/ =01。上海市土力学与地基基础精品课

12、程http:/ 土中附加应力土中附加应力4.5.1竖向集中荷载作用竖向集中荷载作用1.Boussinesq布辛内斯克解（表面竖向集中荷载）2. Mindlin解（土体内竖向集中荷载）4.5.2 竖向分布荷载作用（平面问题）竖向分布荷载作用（平面问题）1.竖向线布荷载2. 条形面积竖向均布荷载 3. 三角形分布荷载4.5.3 竖向分布荷载作用（空间问题）竖向分布荷载作用（空间问题）1.矩形面积上作用均布荷载2.矩形面积三角形分布荷载4.5.4 水平荷载作用水平荷载作用1.水平集中力2. 矩形面积水平均布荷载本节内容概要本节内容概要上海市土力学与地基基础精品课程http:/ 土中附加应力土中附加应

13、力4.5.1竖向集中荷载作用竖向集中荷载作用1. Boussinesq布辛内斯克解（表面竖向集中荷载）假定在均匀的各向同性的半无限弹性体表面，作用一竖向集中荷载F，计算半无限体内任一点M的应力（不考虑弹性体的体积力）上海市土力学与地基基础精品课程http:/ Boussinesq布辛内斯克解（表面竖向集中荷载）上海市土力学与地基基础精品课程http:/ Boussinesq布辛内斯克解（表面竖向集中荷载）上海市土力学与地基基础精品课程http:/ F作用线作用线上上，z=0z=0, , z，z，z=02 2. .在某一水平面上在某一水平面上z=constz=const，rr，z减小减小3 3.

14、 .在某一圆柱面上在某一圆柱面上r=constr=const，z=0, z=0, z=0，zz，z先增加后减小先增加后减小4 4. .z 等值线应力泡等值线应力泡应力应力泡泡FF0.1F0.1F0.05F0.05F0.02F0.02F0.01F0.01F4.5.1竖向集中荷载作用竖向集中荷载作用1. Boussinesq布辛内斯克解（表面竖向集中荷载）上海市土力学与地基基础精品课程http:/ Mindlin解（土体内竖向集中荷载）在半无限弹性土体内作用有一竖向荷载，Mindlin给出了一种近似求解土中竖向应力的方法。如图所示，荷载F作用在深度L的O点， 点距离荷载F作用点的水平距离为r，深度

15、为z L ，则A点的竖向应力表示为：2zqFIL（4-24）式中， Iq为应力系数上海市土力学与地基基础精品课程http:/ 时土中应力相差甚少。因此像墙基、路基、挡土墙及堤坝等条形基础，均可按平面问题计算地基中的附加应力。上海市土力学与地基基础精品课程http:/ ()()zpz dypzxyzxz（4-26）以线布荷载为基础，通过积分就可以推导出条形面积上作用着各种分布荷载时，地基土中的应力计算公式。上海市土力学与地基基础精品课程http:/ 条形面积竖向均布荷载条形面积竖向均布荷载（4-30）1）土中任一点竖向应力的计算）土中任一点竖向应力的计算3200222bbzzz pddxz222

16、21(1)arctanarctan(1)upnnmmm npmmmnmn上海市土力学与地基基础精品课程http:/ 条形面积竖向均布荷载条形面积竖向均布荷载1）土中任一点竖向应力的计算）土中任一点竖向应力的计算上海市土力学与地基基础精品课程http:/ 条形面积竖向均布荷载条形面积竖向均布荷载1）土中任一点竖向应力的计算）土中任一点竖向应力的计算如图4-17所示，当采用极坐标表示时，记M点到条形荷载边缘的连线与竖直线之间的夹角分别为1和2。213112coscoszRpdR112211sin2sin222p112211sin2sin2,22xp21cos2cos22xzp（4-31）（4-32

17、）（4-33）上海市土力学与地基基础精品课程http:/ 条形面积竖向均布荷载条形面积竖向均布荷载（4-34）2）土中任一点主应力计算）土中任一点主应力计算如图4-18所示，在地基土表面作用有均布条形荷载p，计算土中任一点M的最大、最小主应力1和3。221223(),22();22xzxzxzxzxzxz上海市土力学与地基基础精品课程http:/ 条形面积竖向均布荷载条形面积竖向均布荷载（4-38）2）土中任一点主应力计算）土中任一点主应力计算主应力作用方向 2tan2xzzx（4-35）将式（4-31）（4-33）代入式（4-34）、（4-35），即可得到 点的主应力表达式及其作用方向，即1

18、121231212()sin() ,2()sin() ;2pp12tan2tan()121()2（4-36）（4-37）上海市土力学与地基基础精品课程http:/ 条形面积竖向均布荷载条形面积竖向均布荷载（4-39）2）土中任一点主应力计算）土中任一点主应力计算由图4-18可知，假定M点到荷载宽度边缘连线的夹角为0（一般称为视角），则0= 1 2 ，代入式（4-36），即可得到M点的主应力为100300(sin),(sin).pp上海市土力学与地基基础精品课程http:/ 三角形分布荷载三角形分布荷载（4-40）三角形分布条形荷载在M点处引起的附加应力z为32202()bzz pdbxz 22

19、1(1)(arctanarctan)(1)spnnm nnpmmnm上海市土力学与地基基础精品课程http:/ 三角形分布荷载三角形分布荷载上海市土力学与地基基础精品课程http:/ 角角点处土中竖向应力点处土中竖向应力 dFpdxdy查表查表4-4p p3222 5/232()zpzddxdyxyz00blzzadp zM Mn=l/b, m=z/bn=l/b, m=z/b4.5.3竖向分布荷载作用（空间问题）竖向分布荷载作用（空间问题）1. 矩形面积上作用均布荷载矩形面积上作用均布荷载2222222221(12)arctan2()(1) 11amnnmnmnmmnmmn（4-424-42）

20、上海市土力学与地基基础精品课程http:/ 矩形面积上作用均布荷载矩形面积上作用均布荷载1） 角角点处土中竖向应力点处土中竖向应力 上海市土力学与地基基础精品课程http:/ a.点在矩形点在矩形面积内面积内()(443)ABCDzaaaap()(444)beghafghcegidfgizaaaapADBCaebcdfgihb b. .点在矩形点在矩形面积外面积外两种两种情况情况 ：荷载与应力间荷载与应力间满足线性关系满足线性关系叠加原理叠加原理角点下垂直附加角点下垂直附加应力的计算公式应力的计算公式地基中任意点的附加应力地基中任意点的附加应力角点法角点法2. 矩形面积上作用均布荷载矩形面积上

21、作用均布荷载2） 土中任意点竖向应力土中任意点竖向应力 上海市土力学与地基基础精品课程http:/ ajkiz iksdz bjkrz rksc上海市土力学与地基基础精品课程http:/ 1tmnmnmmmnlznmbb矩形面积竖直三角分布荷载角点下的应力分布系数矩形面积竖直三角分布荷载角点下的应力分布系数查表查表4-5p p00(445)blzztzd M Mz2. 矩形面积三角形分布荷载矩形面积三角形分布荷载 角角点处土中竖向应力点处土中竖向应力 上海市土力学与地基基础精品课程http:/ 矩形面积三角形分布荷载矩形面积三角形分布荷载 角角点处土中竖向应力点处土中竖向应力 上海市土力学与地

22、基基础精品课程http:/ 水平集中力水平集中力如果地基表面作用有平行于xoy面的水平集中力Ph时，求解在地基中任意点M所引起的应力问题，是弹性体内应力计算的另一个基本课题，已由西罗提（V.Cerruti）用弹性理论解出。（4-46）2532hzPxzR上海市土力学与地基基础精品课程http:/ 1hmmnmnnmnlzmnbb矩形面积作用水平均布荷载时角点下的应力分布系数矩形面积作用水平均布荷载时角点下的应力分布系数zp ph hz z 查表查表4-61. 矩形面积水平均布荷载矩形面积水平均布荷载4.5.4水平荷载作用水平荷载作用上海市土力学与地基基础精品课程http:/ 矩形面积水平均布荷

23、载矩形面积水平均布荷载4.5.4水平荷载作用水平荷载作用上海市土力学与地基基础精品课程http:/ 非均匀性非均匀性成层地基成层地基 中轴线附近z z比均质时明显增大的现象 应力集中；应力集中程度与土层刚度和厚度有关； 随H/B增大，应力集中现象逐渐减弱。(2)(2)上层坚硬，下层软弱的成层地基上层坚硬，下层软弱的成层地基 中轴线附近z比均质时明显减小的现象 应力扩散； 应力扩散程度，与土层刚度和厚度有关； 随H/B的增大，应力扩散现象逐渐减弱。BH均匀均匀成层成层E1E2E1BH均匀均匀成层成层E1E2E14.5.5影响土中应力分布因素影响土中应力分布因素上海市土力学与地基基础精品课程htt

24、p:/ 时，应力扩散时，应力扩散EH相对相对较大，有利于应力扩散较大，有利于应力扩散3.3.土土的变形模量随深度增大的地基的变形模量随深度增大的地基 出现应力集中出现应力集中现象现象4.5.5影响土中应力分布因素影响土中应力分布因素上海市土力学与地基基础精品课程http:/ +三相体系三相体系对所受总应力，骨架和孔隙流体如何分担？对所受总应力，骨架和孔隙流体如何分担？孔隙气体孔隙气体+ +总应力总应力总应力由土骨架和孔隙流体共同承受总应力由土骨架和孔隙流体共同承受它们如何传递和相互转化？它们如何传递和相互转化？它们对土的变形和强度有何影响？它们对土的变形和强度有何影响？受外荷载作用受外荷载作用TerzaghiTerzaghi（19231923）有效应力原理有效应力原理固结理论固结理论土力学成为独立的学科土力学成为独立的学科 孔隙流体孔隙流体4.6有效应力原理有效应力原理上海市土力学与地基基础精品课程http:/ NA：Aw：As：土单元的断面积土单元的断面积颗粒接触点的面积颗粒接触点的面积孔隙水的断面积孔隙水的断面积a-aa-a断面通过土断面通过土颗粒的接触点颗粒的接触点有效应力有效应力1AAw wuwwANu Aa-aa-a断面竖向力平衡：断面竖向力平衡：wSAAA wwNA