8381棱柱棱锥棱台的表面积和体积

1、8.3简单几何体的表面积与体积8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课标要求素养要求1.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式2能用公式解决简单的实际问题.在计算棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的过程中，要把实际问题转化为数学问题，并进研算，发展学生的数学建模、数学运算素养和直观想象素养.课前预习知识探究教材知识探究上情境引入胡夫大金字塔底边原长230米，高146.59米，经风化腐蚀，现降至136.5米，塔的底角为51。5!.假如把建造金字塔的石块凿成平均一立方英尺的小块，平均每块重2.5吨,像一辆小汽车那样大.问题(1)如何计算建此金字塔需用多少石块？(2)如果在金字塔的表面涂上一层保

2、护液以防止风化腐蚀，如何计算保护液的使用量？提示(1)这就需求出金字塔的体积.(2)首先计算金字塔地上部分的表面面积之和，然后根据单位面积保护液的使用量来估计其总的使用量.上新知梳理1?棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体血的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.2?棱柱、棱锥、棱台的体积几何体体积说明棱柱V灿=shS为棱柱的底面积，力为棱柱的高棱锥V棱碓=gS/?S为棱锥的底面积，力为棱锥的高棱台廊+S)/7S",S分别为棱台的上、下底面面积，力为棱台的匾教材拓展补遗微判断1?棱锥的体积等于底面面积与高之积？(><)2. 棱台

3、的体积可转化为两个棱锥的体积之差.(V)3. 三棱柱的侧面积也可以用c/来求解，其中/为侧棱长，c为底面周长.(X)提示1.棱锥的体积等于底面面积与高的积的三分之一.3.如果侧棱和底边垂直，则可以；否则不可以.微训练若长方体的长、宽、高分别为3cm,4cm,5cm,则长方体的体积为()A.27cm3B.60cm3C.64cm3D.125cm3解析U长方体=3X4X5=60(cm3).答案B1. 棱台的上、下底面面积分别是2,4,高为3,则棱台的体积等于?解析VA=|x(2+4+A/2X4)X3=£><3><(6+2迈尸6+2迈.答案6+2边微思考1?求一个几何

4、体的表面积时，一般要应用到这个几何体的平面展开图，其平面展开图一定相同吗？其表面积是否确定？提示对于一个几何体，不同的展开方式，其平面展开图是不同的，但其表面积是唯一确定的.2.若一个棱柱上底面上一点到下底面的距离是2,那么这个棱柱的高是多少?提小棱柱的局是2.课堂互动题型剖析题型一求棱柱、棱锥或棱台的表面积注意不要漏掉或重复计算某个面的面积【例11己知正三棱台（由正三棱锥截得的三棱台）的上、下底面边长分别为3cm和6cm,高为才cm,求此正三棱台的表面积.解如图所示，画出正三棱台ABC-ALBICI，其中Oi,0为正三棱台上、下底面的中心，D,D分别为疗C,BiG的中点，U001为正三棱台的

5、高，DDi为侧面梯形BCClbl的高，四边=顼打(奸平)=也所以此正三梭台的表面积5,=5值+S=3XX(3+6)X/3+X32+X62=9邸,"4(CUI形ODD0为直角梯形,侧棱，并注意两个直角梯形的应用：（1）高、侧棱、上下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形；（2）高、斜高、上下底面边心距所成的直角梯形【训练1】若正方体的棱长为边，则以该正方体各个面的中心为顶点的凹多面体的表面积为（）CfD?¥/以DDi=p00f+（OD-giDA2解析所求凹多面体的表面积是两个底面边长为1,高为平的四棱锥的侧面积之和，如图，四棱锥的侧棱长15=1,所以，以该正方体各个面的中心

6、为顶点的凹多面体的表面积S=8x|xiXlXsm60°=2A3.故选B.答案B题型二求棱柱、棱锥、棱台的体积求柱、锥、台体积的难点是求其高【例2】如图，己知A8CD-AIBICIDL是棱长为。的正方体，E为441的中点，尸为CCi上一点，求三棱锥Ai-DiEF的体积.解由V三AA1-D1EF=V三棱？F-A1D1E,112EA1AI=/"，乂三棱锥F-AiDiE的高为CD=a,?:V三佬F-A1DIE=AX护,规律方法求几何体体积的常用方法【训练2】设四棱锥的底面是对角线长分别为2和4的菱形，四棱锥的高为3,则该四棱锥的体积为解析由题意得四棱锥的底面积为5=2x|x2X2=

7、4.故四棱锥的体积V=|s/?=|x4X3=4.答案4题型三求组合体的表面积和体积【探究1】组合体有几种构成形式？提示简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.【探究2】如何求组合体的体积和表面积？提示求解组合体的表面积和体积，关键是弄清它的结构特征，从而转化为简单几何体的表面积和体积.【探究3】一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示（单位：米），浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝土（钢筋体积略去不计，精确到0.01立方米）？0.30.10.30.10.3解将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体.S

8、A=0.6X1.l-*X（0.5+0.3）X0.3=0.54（平方米）,V=S<-A=0.54X24.8A13.39（立方米）.故浇制一个这样的预制件需要约13.39立方米混凝土.规律方法求组合体的表面积或体积，首先应弄清它的组成,其表面有哪些底面和侧面,各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减.求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减.【训练3】如图，在棱长为d的正方体ABCD-AtBtCiDi中，截去三棱锥加一ABDf求剩余的儿何体AI8ICLDI-DBC的表面积.解由图可知4/D是边长为边"的等边三角形，其面积为尊P，故所求

9、几何体AiBiCiDi-DBC的表面积S=SA4”D+3S.RBC+3S正方形AiAiCiPi=A2-3XAXa2+3a2=AA-a2.2. I核心素养"全面提升II一、素养落地1?通过计算棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积，培养数学运算素养，通过求表面积和体积过程中对儿何体特征的判断，提升直观想象素养多面体的表面积为围成多面体各个面的面积之和.3. 对棱柱、棱锥、棱台体积公式及应用的说明：求台体的体积转化为求锥体的体积，根据台体的定义进行“补形”，还原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积.求三棱锥的体积可以通过转换底面的方法求解，即“等积法”二、素养训练1?长方体同一

10、顶点上的三条棱长分别是2,3,4,则该长方体的表面积是()36B.24C.52D.26解析S=2X(2X3+2X4+3X4)=52.答案C三棱锥的底面为直角边长分别是2和3的直角三角形，高为4,则该三棱锥的体积为()A.4B.6C.12D.24解析V=|S/J=|X|X2X3X4=4.答案A个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6,侧棱长为2,则其高为（）A*B.lC.y5解析依题意，正三棱台的高/I=A22-AX6-AX3）=1.答案B4?如图所示，己知正四棱锥的侧棱长为4,底面边长为4,求该四棱锥的体积.P/解如图连接AC,BD,设AC和交于0,则。为点P在平面ABCD内的投影，即P0为四棱

11、锥的高，在么P0C中，PC=4,0C=2逗，则P0=?-（2迈）2=2迈,故V=|s/z=jx16X2A2,2边一一3?课后作业巩固提高基础达标一、选择题正三棱锥的所有棱长均为0,则该三棱锥的表面积为（）A.3y3a2B.2萌/C.y3a2DAa2解析S=4XXJaXa=y3a2.答案C长方体过一个顶点的三条棱的棱长的比是1:2:3,体对角线长为2顾，则这个长方体的体积是（）A.6B.12C.24D.48解析依题意，设三条棱的长分别为x,3x,则寸工+（2A）?+（3x）2=2y/T气解得x=2，即三条棱长分别为2,4,6,于是体积V=2X4X6=48.答案D一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积

12、之比为2:3,则棱柱与棱锥的体积之比2cjD.3为（）积之比为答案B区一pT厂将一个正方体截去四个角后得到一个正四面体，这个正四面体的体积是正方体体积的（）解析设正方体棱长为则截去的每个角（三棱锥）的体积是|x|x?解析设棱柱的高为/?,底面积为S,则棱锥的高为力，底面积为劳，故二者的体=A3,故剩余正四1 IC1-6D1-43面体的体积是/一如欣4=如3,所以这个正四面体的体积是正方体体积的#.家案BB如图所示，三棱台ABC-AiBiCi中，AiBi:AB=1:2,则三棱锥一人向。与三棱锥B.l:3D.l:4Ai-ABC的体积比为（）A.1:2l:边解析三棱锥一41B1G与三棱锥At-ABC

13、的高相等，故其体积之比等于AiSC西HABC的面积之比，而AAiBiCi与'ABC的面积之比等于如属与AB比的平方，即1:4, 故选D.答案D:、填空题6?正二棱锥的底面边长为a,局为罟/则此棱锥的表面积为解析如图，在三棱锥S-ABC中,AB=a,SO=A-ay于是0£）于4疗“1】60AA-a2从而S"V（晋a）+伴a）故三棱锥的表面积S=3XAXaXA+AXA-aXa=-?安3+迈,苔案一cr7.如图，正方体ABCD-AiBiCiDi的棱长为1,E,尸分别为线段A4i,上的点，则三棱锥Di-EDF的体积为阿D!E=jDDiX1=2乂点尸到平面DDiE的距离为1,

14、'Ir所以V/M-DSE=§S.DO1eX1=-答案I&一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8cm和18cm,侧棱长为13cm,则其表面积为cn解析易知正四棱台侧面为等腰梯形，其高为仲二孑=12,所以正四棱台的表面积5=4X|X(8+18)X12+82+182=1012(cm2).答案1012二、解答题9?如图，在棱长为a的正方体ABCD-AAiCA中，求点4到平面AiBD的距离d.解在三棱锥Ai-ABD中，A如是三棱锥Ai-ABD的高，AB=AD=AAi=a,AiB=BD=AD=yla,:V慢nAI剧9=V三橙嫉A-A18D，二?X?X?X优1x平成d,

15、d耍QIJ.I?点4到平面Aled的距离为平ci.10.如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形,EF/AB,EF=2,“上任意一点到平面ABCD的距离均为3,求该多面体的体积EFI/A/?1j/zP/解如图，连接EB,EC,AC.ye-abcd=AX42X3=16.?:AB=2EF、EF/AB、Sieab=2Sabef?v三维f-ebc=V=?C-efb111=2Aac-abe=av三棱桂e-abc=四攸垓e-abcd=4?多面体的体积V=vGAe-abcdav三Ahf-ebc=16+4=20.则芬能力提升为力,P-ABC的体积为烟11?三棱锥P_ABC中，D,E分别

16、为P?PC的中点，记三棱锥D-ABE的体积解析如图，设点C到平面刊的距离为力,则点E到平面必D的距离为卯.gS/iDAB,二/?了XARAB0hasapab'h答案|12?如图所示，己知ABCD-AtBtCiDi是棱长为a的正方体,E,F分别为A4“CC1的中点，求四棱锥一EBFD1的体税解因为EB=BF=FD、=DE=号）=誓°,DF/EB,所以四边形EBFD是菱形.连接EF则山EFBA/EFDi.易知三棱锥Ai-EFB与三棱锥Al-efdi的高相等，故VA1-EBFD1=21-EFB=2VF-EBAI-乂因为，砂I=*E4M=*/2,贝UVF-EBAI=-A2（i所以Va1-EBFD1=2Vai-efb2VF-EBA1=£/?创新猜想13.（多填题）如图，己知正四棱锥底面正方形的边长为4cm,高与斜高的夹角为30。，则正四棱锥的侧面积与表面积分别为西?解析正四棱锥的高、斜高、底面边心距组成RtAPOE?0E=2cm,zope=30。,?斜高PE=晋H=f=4.2因此S?ttw=|x4X4X4=32(cnr),S伐站=32+16=48(cm?).答案32cm248cm214.在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为梯形，