动力学的临界和极值问题

1、精品文档动力学的临界和极值问题教学目标：教学重点、难点：新课引入：教学过程：一、临界和极值在应用牛顿定律解决动力学问题中，当物体运动的加速度不同时，物体有可能处于不同的状态，特别是题目中出现“最大” 、“最小”、“刚好”等词语时，往往会有临界现象。此时要采用极限分析法，看物体在不同加速度时，会有哪些现象发生，尽快找出临界点，求出临界条件。在某些物理情境中，物体运动状态变化的过程中，由于条件的变化，会出现两种状态的衔接，两种现象的分界，同时使某个物理量在特定状态时，具有最大值或最小值。这类问题称为临界问题。在解决临界问题时，进行正确的受力分析和运动分析，找出临界状态是解题的关键。1、相互接触的物

2、体，它们分离的临界条件是：它们之间的弹力N0 ，而且此时它们的速度相等，加速度相同。【例】如图，在竖直立在水平面的轻弹簧上面固定一块质量不计的薄板，将薄板上放一重物，并用手将重物往下压，然后突然将手撤去，重物即被弹射出去，则在弹射过程中，（即重物与弹簧脱离之前） ，重物的运动情况是（）A、一直加速B 、先减速，后加速FC、先加速、后减速D、匀加速.精品文档答案： C【例】如图所示，劲度系数为k 的轻弹簧竖直固定在水平面上，上端固定一质量为 m0 的托盘，托盘上有一个质量为 m的木块。用竖直向下的力将原长为 l0 的弹簧压缩后突然撤去外力，则 m 即将脱离 m0 时的弹簧长度为（ ）A 、 l0

3、B、 l0m0 m gkC、 l0mgD 、l 0m0 gkk.精品文档答案： A【例】如图所示，一细线的一端固定于倾角为45 的光滑楔形滑块A 的顶端 P 处，细线的另一端拴一质量为m 的小球。当滑块至少以加速度 a_ 向左运动时，小球对滑块的压力等于零。当滑块以a2g加速度向左运动时，线的拉力大小F_ 。P的aA45.精品文档答案： g 、5mg【例】一个质量为 0.2kg 的小球用细线吊在倾角53 的斜面顶端，如图，斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计摩擦，当斜面以10m / s2 的加速度向右做加速运动时，求绳的拉力及斜面对小球的弹力。.精品文档答案： 2.83N 、0【例】

4、如图所示，在倾角为的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块A 、B 。它们的质量分别为 mA 、 mB ，弹簧的劲度系数为 k ,C 为一固定挡板。系统处于静止状态。现开始用一恒力 F 沿斜面方向拉物块A 使之向上运动，求物块 B刚要离开 C 时物块 A 的加速度 a 和从开始到此时物块A 的位移 d ，重力加速度为g 。.精品文档答案： aFmAmB g sin ；mAmAmBg sind。k【例】如图所示，一根劲度系数为k 质量不计的轻弹簧，上端固定，下端系一质量为 m 的物体 A 。手持一质量为 M 的木板 B ，向上托 A ，使弹簧处于自然长度。现让木板由静止开始以加速度a （ ag

5、）匀加速向下运动，求：（1）经过多长时间 A 、 B 分离。（2）手作用在板上作用力的最大值和最小值。.精品文档答案： t2m ga ；ka最大： FM m ga ；最小： F m g a 。解：分离时弹力为0，而且加速度为 a ；开始运动时力最大：对系统：Mm gFMm a ；AB 分离时力最小：对 B ： mg F ma【例】如图所示，木块A 、 B 的质量分别为 m1 、 m2 ，紧挨着并排放在光滑的水平面上， A 与 B 间的接触面垂直于图中纸面且与水平面成角，A 与 B 间的接触面光滑。 现施加一个水平力 F 作用于 A ，使 A 、B 一起向右运动且 A 、B一不发生相对运动，求

6、F 的最大值。.精品文档答案：Fm1 m1 m2 g tanm2【例】如图所示，一质量为m的物块 A 与直立轻弹簧的上端连接，弹簧的下端固定在地面上，一质量也为m的物块 B 叠放在 A 的上面， A 、 B 处于静止状态。若 A 、 B 粘连在一起，用一竖直向上的拉力缓慢上提B ，当拉力的大小为 0.5mg 时， A 物块上升的高度为 L ，此过程中，该拉力做功为 W ；若 A 、B 不粘连，用一竖直向上的恒力 F 作用在 B 上，当 A 物块上升的高度也为 L 时， A 与B 恰好分离。重力加速度为g ，不计空气阻力，求恒力F 的大小。BA.精品文档答案： 1.5mg解：静止时，对 AB ：

7、x2mg ；k粘连时，缓慢地提：对 AB ： FkxL2mg ；又 F 0.5mg不粘连，分离时： N0 ；对 B ： F mg ma ；对 A ： kxLmgma ；由以上各式可得： F1.5mg 。【例】如图所示，质量m10kg 的小球挂在倾角为37 的光滑斜面的固定铁杆上，当小球与斜面一起向右以： （重力加速度为 g10m / s2 ）（ 1） a1 0.5g 时，绳子拉力和斜面的弹力大小；（ 2） a2 2g 时，绳子拉力和斜面的弹力大小。.精品文档答案： 100N50N ； 100 5N02、绳子的张紧和松驰也会存在着临界问题，此时绳子的张力：T0 。【例】如下图所示，两绳系一个质量

8、为m0.1kg 的小球，两绳的另一端分别固定于轴的A 、 B 两处，上面绳长L2m , 两绳都拉直时与轴夹角分别为30 和 45 。问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧？.精品文档答案： 2.40rad / s3.16rad / s【例】如图所示，两细绳与水平的车顶面的夹角为60 和 30 ，物体的质量为 m。当小车以大小为 2g 的加速度向右匀加速运动时，绳1 和绳 2 的张力大小分别为多少？.精品文档答案： 05mg 。3、由运动情况造成的临界和极值问题，此时题目中将会出现“最大”、“最小”、“刚好”、“恰好”等词语。【例】物体 A 的质量 M1kg ，静止在光滑水平面上的平板车B 的质

9、量为m0.5kg 、长 L1m。某时刻 A 以 v04m/ s 向右的初速度滑上木板B 的上表面，在 A 滑上 B 的同时，给 B 施加一个水平向右的拉力。忽略物体A 的大小，已知 A 与 B 之间的动摩擦因数0.2 ，取重力加速度 g10m / s2 。试求 :（ 1）若 F 5N ，物体 A 在小车上运动时相对小车滑行的最大距离；（ 2）如果要使 A 不至于从 B 上滑落，拉力 F 大小应满足的条件。.精品文档答案： 0.5m； 1NF3N 。解：由牛顿第二定律：对 A ： Mg Ma1 ；对 B ： FMgma2 ；此后，物体 A 将做减速运动，而 B 将加速，直到达到共速；有： v共

10、v0 a1ta2t得： t0.25s此时，相对位移 S相SASB0.5m 1m之后， A 将从 B 的左端滑下。当 F 较小时， A 将从 B 的右端滑下，临界条件是：A 到达 B 的右端时， A 、 B 具有共同的速度。当 F 较大时， A 将从 B 的左端滑下，临界条件是：达到共同速度时， A 、 B 相对静止。此时： f 滑 f m 。【例】一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。桌布的一边与桌的 AB 边重合，如图。已知盘与桌布间的动摩擦因数为 1 ，盘与桌面间的动摩擦因数为 2 。现突然以恒定加速度 a 将桌布抽离桌面，加速度的方向是水平的且垂直于AB 边。若圆盘最后未从桌

11、面掉下，则加速度a 满足的条件是什么?( 以 g 表示重力加速度 ).精品文档答案： a1221 g2解：圆盘的运动应该是先在桌布上加速，后在桌子上做匀减速运动，如果圆盘未从桌面上掉下来（设从桌布上掉下来时的速度为v ，末速度为0），则有：对圆盘： S加S减L ；2加速阶段：1mgma1 ； S加v2；2a1减速阶段：2 mgma2 ； S减v2；2a2设桌布从盘下抽出所经历时间为t ，在这段时间内桌布移动的距离为 S 。对桌布： S1 at 2 ；2由运动情况： SS加L；S加1 a1t 2 。22由以上各式得： a1221 g 。2【例】如图所示，一质量m500kg 的木箱放于质量M200

12、0kg 的平板车的后部，木箱到驾驶室的距离l1.6m ，已知木箱与木板间的动摩擦因数0.484 ，平板车运动过程中所受的阻力是车和箱总重的0.2 倍。平板车以v022m / s的恒定速率行使，突然驾驶员刹车，使车做匀减速运动，为了不让木箱撞击驾驶室，试求：.精品文档（ 1）从刹车开始到平板车完全停止至少要经过多长时间？（ 2）驾驶员刹车时的制动力不能超过多少？答案： 4.4s； 7.42103 N 。解：设箱的位移为S1 ，车的位移为 S2 ；车的加速度为 a 。箱子如果不与车相碰，则有：S1S2l由牛顿定律，对箱：mgma1 ；2由运动学公式，对箱：S1v0 ；2a1对车： S2v02；2a

13、由以上各式有： a 5m / s2 ，所以 tv04.4s 。a设汽车的制动力为 F ，由牛顿第二定律：mgF k Mm gMa得： F7.42103 N【例】一木箱可视为质点，放在汽车水平车厢的前部，如图所示，已知木箱与汽车车厢底板之间的动摩擦因数为 。初始时，汽车和木箱都是静止的。现在使汽车以恒定的加速度 a0 开始启动沿直线运动。当其速度达到 v0 后做匀速直线运动。要使木箱不脱离车厢，距汽车车厢尾部的距离应满足什么条件？.精品文档【例】如图所示，在光滑桌面上叠放着质量为 mA2.0kg 薄木板 A 和质量为 mB3.0kg 的金属块 B 。 A 的长度 L 2.0m 。 B 上有轻线绕

14、过定滑轮与质量为 mC1.0kg 的物块 C 相连。 B 与 A 之间的滑动摩擦因数0.10，最大的静摩擦力可视为等于滑动摩擦力。忽略滑轮质量及与轴间的摩擦。起始时令各物体都处于静止状态，绳被拉直，B 位于 A 的左端（如图所示），然后放手，求经过多长时间后 B 从 A 的右端脱离（设 A 的右端距滑轮足够远）（ g10m / s2 ）。【例】一圆环 A 套在一均匀圆木棒B 上， A 的高度相对 B 的长度来说可以忽略不计。 A 和 B 的质量都等于 m ， A 和 B 之间的滑动摩擦力为 f （ f mg ）。开始时 B 竖直放置，下端离地面高度为 H ， A 在 B 的顶端，如图所示。让它

15、们由静止开始自由下落，当木棒与地面相碰后，木棒以竖直向上的速度反向运动，并且碰撞前后的速度大小相等。设碰撞时间很短， 不考虑空气阻力，问：在 B 再次着地前，要使 A 不脱离 B ， B 至少应该多长？.精品文档8m2 g 2答案： L2 H ；mgf解：开始释放后，A 、 B 一起做自由落体运动，设其到达地面前瞬间的速度为v1 。由机械能守恒： 2mgH1 mv12 ；2B 与地面撞击后，环 A 将做加速运动（设其加速度为 a1 ），而 B 将做减速运动（设其加速度为 a2 ），当 B 的速度减为 0 后，反向又以 a2 加速，直到 B 再次落地，由对称性可知：此时 B 的速度依然为 v1 。由牛顿第二定律，对 A ： mg f ma1；对 B ： mgfma2 ；故它们运动的时间为：t2v1 ；a2此时：棒运动的位移为0，环相对于棒运动的位移，对环：有： S v1t1 a1t 2 ；2棒的长度： L8m2 g 2S，即 L2 H 。mgf.精品文档4、最大静摩擦力也会造成临界和极值问题，此时有：ff mf滑 。【例】如图所示，质量分别为m和 2m的两物体 A 、 B 叠放在一起，放在光滑的水平地面上，已知A 、 B 间的最大摩擦力为A 物体重力的倍，若用