动点例题解析及答案

1、动点例题解析及答案初中数学动点问题及练习题附参考答案所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点 , 它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目 . 解决这类问题的关键是动中求静 , 灵活运用有关数学知识解决问题 . 关键 : 动中求静 .数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查。从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养

2、学生解决问题的能力图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。 在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路 , 这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等从数学思想的层面上讲： （1）运动观点；（ 2）方程思想；（ 3）数形结合思想；（ 4）分类思想；（5）转化思想等研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和

3、命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点专题一：建立动点问题的函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律, 是初中数学的重要内容 . 动点问题反映的是一种函数思想 , 由于某一个点或某图形的有条件地运动变化 , 引起未知量与已知量间的一种变化关系 , 这种变化关系就是动点问题中的函数关系 . 那么 , 我们怎样建立这种函数解析式呢 ?下面结合中考试题举例分析 . 一、应用勾股定理建立函数解析式。二、应用比例式

4、建立函数解析式。三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。专题二：动态几何型压轴题动态几何特点 -问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。 ）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。一、以动态几何为主线的压轴题。（一）点动问题。（二）线动问题。二、解决动态几何问题的常见方法有:（三）面动问题。1、特殊探路，一般推证。 2、动手实践

5、，操作确认。 3、建立联系，计算说明。三、专题二总结，本大类习题的共性：1代数、几何的高度综合 （数形结合）；着力于数学本质及核心内容的考查 ; 四大数学思想：数学结合、分类讨论、方程、函数2以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究特殊情况下的函数值。专题三：双动点问题点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题.它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题 . 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点，现采撷几例加以分

6、类浅析，供读者欣赏.1 以双动点为载体，探求函数图象问题。2 以双动点为载体，探求结论开放性问题。3 以双动点为载体，探求存在性问题。4 以双动点为载体，探求函数最值问题。双动点问题的动态问题是近几年来中考数学的热点题型. 这类试题信息量大 ,对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高 ; 解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题 , 挖掘运动、变化的全过程 , 并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系 , 动中取静 , 静中求动。专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题专题五：以圆为载体的动点问题动点问题是初中数学的一个难点，中考经常考察，有一类动点问题，题中未说到圆，却与圆有关

7、，只要巧妙地构造圆，以圆为载体，利用圆的有关性质，问题便会迎刃而解；此类问题方法巧妙，耐人寻味。例 1. 如图，已知在矩形 ABCD中，AD=8，CD=4，点E 从点 D 出发，沿线段 DA以每秒 1 个单位长的速度向点 A方向移动，同时点 F 从点 C出发，沿射线 CD方向以每秒 2 个单位长的速度移动，当B，E，F 三点共线时，两点同时停止运动设点 E 移动的时间为 t （秒）（ 1）求当 t 为何值时，两点同时停止运动；（ 2）设四边形 BCFE的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式，并写出 t 的取值范围；（ 3）求当 t 为何值时，以 E，F，C 三点为顶点的三角形是等腰三角

8、形；（ 4）求当 t 为何值时， BEC=BFCAEOB例 2. 正方形 ABCD 边长为 4，M 、N 分别是 BC 、CD 上的两个动点， 当 M 点在 BC 上运动时，保持 AM 和MN 垂直，（ 1）证明： Rt ABM RtMCN ；（ 2）设 BM x ，梯形 ABCN 的面积为 y ，求 y 与 x 之间的函数关系式；当 M 点运动到什么位置时，四边形 ABCN 面积最大，并求出最大面积；（3）当 M 点运动到什么位置时Rt ABM Rt AMN ，A求此时 x 的值DFCDNB MC. 如 图，在 梯 形ABCD中，例3AD BC，AD 3， DC5， AB4 2，B 45动点

9、 M 从 B点出发沿线段 BC 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 C 运动；动点 N 同时从 C 点出发沿线段 CD 以每秒1 个单位长度的速度向终点 D 运动设运动的时间为 t 秒（09 年济南中考）（1）求 BC 的长。AD（ 2）当 MN AB 时，求 t 的值（ 3）试探究： t 为何值时， MNC 为等腰三角BM形例 4. 如图，在 RtAOB中，AOB90，OA3cm，OB4cm，以点 O 为坐标原点建立y坐标系，设 P、Q分别为 AB、OB边A上的动点它们同时分别从点A、OMP向 B 点匀速运动，速度均为1cm/OQP Qtt4）秒，设 、 移动时间为 （0NCBx（1）求 A

10、B的长，过点 P 做 PMOA于 M，求出 P 点的坐标（用 t 表示）2（2）求 OPQ面积 S（cm），与运动时间 t （秒）之间的函数关系式，当 t 为何值时，S 有最大值？最大是多少？（3）当 t 为何值时， OPQ为直角三角形？（4）若点 P 运动速度不变，改变 Q 的运动速度，使 OPQ为正三角形，求 Q点运动的速度和此时t 的值 .例 5：如图 1, 在半径为 6, 圆心角为 90的扇形OAB的弧 AB上, 有一个动点 P,PHOA,垂足为 H, OPH的重心为 G.(1) 当点 P 在弧 AB上运动时 , 线段 GO、GP、GH中, 有无长度保持不变的线段 ?如果有 , 请指出

11、这样的线段 , 并求出相应的长度 .(2) 设 PH x ,GP y , 求 y 关于 x 的函数解析式， 并写出函数的定义域 ( 即自变量 x 的取值范围 ).(3) 如果 PGH是等腰三角形 , 试求出线段 PH的长 .BP解 :(1)当点 P 在弧 AB 上运动yx时,OP 保持不变 , 于是线段 GO、GP、N GOM H AGH中, 有长度保持不变的线段， 这图条线段是221GH= NH=2 OP=2.33(2) 在 RtPOH中,OHOP 2PH 236 x2 ,MH1 OH136x2 .22在 Rt MPH中,MPPH 2MH 2x 291x21363x 242.213x2(0

12、x 6). y =GP= MP= 3633(3) PGH是等腰三角形有三种可能情况:GP=PH时,136 32, 解得x6. 经检验,3xxx 6 是原方程的根 , 且符合题意 .GP=GH时,136 3x22 , 解得 x 0 .经检验 ,3x 0是原方程的根 , 但不符合题意 .PH=GH时, x 2 .综上所述 , 如果 PGH是等腰三角形 , 那么线段 PH的长为 6 或 2.例 6. 如图 2, 在 ABC中,AB=AC=1,点 D,E 在直线BC上运动 . 设 BD=x, CE=y .(1) 如果 BAC=30, DAE=105 , 试确定 y与 x 之间的函数解析式；(2) 如果

13、 BAC的度数为 , DAE的度数为 ,当 ,满足怎样的关系式时 ,(1)中与之间的yxA函数解析式还成立 ?试说明理由 .解:(1) 在 ABC中, AB=AC, BAC=30,EDBC ABC= ACB=75 , ABD=图ACE=105. BAC=30, DAE=105, DAB+CAE=75,又 DAB+ADB=ABC=75, CAE=ADB, ADB EAC,ABBD,CEAC1x ,y1 .y1x(2) 由于DAB+CAE=, 又DAB+ADB=ABC=902,且函数关系式成立, 902 =,整理得290 .当90 时,函数解析式y1成立.2x例 7. 如图 , 在 ABC中, B

14、AC=90,AB=AC=2 2 , A的半径为 1. 若点 O在 BC边上运动 ( 与点 B、AC不重合 ), 设 BO=x , AOC的面积为 y .(1)求 y 关于 x 的函数解析式 ,(2)以点 O为圆心 ,BO长为半径作圆 BO,求当 OCOH与A相切时 ,图AOC的面积 .解:(1) 过点 A 作 AHBC,垂足为 H. BAC=90,AB=AC=,12BC=4,AH= BC=2.22OC=4-x . S AOC 1 OC AH , y x4( 0 x 4 ).2(2) 当 O与 A外切时 ,在Rt AOH 中 ,OA= x 1,OH= 2x,( x 1) 222(2 x) 2 .

15、解得 x7 .6此时 , AOC的面积=717y466 .当 O与 A 内切时 ,在Rt AOH 中 ,OA= x 1,OH= x2,( x 1) 22 2( x 2) 2 .解得 x7 .2此时 , AOC的面积=71y422 .综上所述 , 当 O 与 A 相切时 , AOC的面积为 17或 1.62动点练习题答案例 1.解：（1）当 B，E，F 三点共线时，两点同时停止运动，如图2 所示（ 1 分）F由AEDt -4 ，FC= 2 t 题意可知： ED=t ，BC=8，FD= 2BCED EDBC， FED FBC FD图 2FCBC2t 4t解得 t =42t8当 t =4 时，两点同

16、时停止运动；（3 分）（ 2） ED=t，CF=2t， S=S BCE+ S BCF=1 824+12t t =16+ t 22即 S=16+ t 2 （ 0 t 4）； （ 6 分）（ 3）若 EF=EC时，则点 F 只能在 CD的延长线上，EF2=(2 t4)2t 25t 216t16 ，216 ， 5t 216t 16 =t 2 16 t =4EC=42t 2t2或 t= 0（舍去）；222，若 EC=FC时，EC=42t 2t 216 ，FC=4t t216 =4t 2 t34 3；若 EF=FC时， EF2=(2t4)2t 25t 2 16t16 ，22，FC=4t 5t 2 16t

17、 16=42 t 1=1683 （舍去），tt 2=1683 当 t的值为 4，4 3，168 3时，以 E，3F， C 三点为顶点的三角形是等腰三角形；（9分）（4）在 RtBCF和 Rt CED中， BCD=CDE=90， BC CF2 ，CDED Rt BCF Rt CED BFC= CED（ 10 分）ADBC， BCE=CED若 BEC=BFC，则 BEC=BCE即 BE=BC2BE=t 2 16t 80 ， t 2 16t 80 =64t 1=16 8 3 （舍去），t 2=16 8 3 当 t = 16 8 3 时 ， BEC= BFC （12分）例 2.解：（1）在正方形 AB

18、CD 中，AB BCCD4，BC，AD90AMMN ，AMN，90N，CMNAMBC90BM在中，Rt ABMMABAMB，90CMNMAB，Rt ABM RtMCN ，（2） Rt ABM Rt MCN ，ABBM ，4x ，MCCN4 xCN2x 4x ， CN1x24x122x 812，y S梯形 ABCN44 4xx 210222当 x 2 时， y 取最大值，最大值为 10（3） B AMN 90，要使 ABM AMN ，必须有 AMAB，MNBM由（ 1）知 AMAB，MNMCBMMC ，当点 M 运动到 BC 的中点时， ABM AMN ，此时x2 例 3. 解：（1）如图，过

19、A、D 分别作 AKBC 于 K ，DHBC 于 H ，则四边形ADHK 是矩形KH AD3在 Rt ABK 中， AKAB sin 45 4 2 242BK AB cos45244 22在 RtCDH 中，由勾股定理得， HC52 42 3BC BK KH HC43310ADADNBKHCBGMC（图）（图）（2）如图，过 D 作 DGAB 交 BC于 G 点，则四边形 ADGB 是平行四边形 MN AB MN DG BGAD3 GC1037由题意知，当 M 、 N 运动到 t 秒时，CNt，CM102t DGMNNMCDGC又CC MNC GDC CN CM CD CG即 t10 2t57解得， t5017（3）分三种情况讨论：当 NCMC 时，如图，即t102t t 1