与抛物线有关的结论

1、与抛物线有结论之欧侯瑞魂创作yk（x?）2抛物线中有一些罕见、经常使用y2px的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。结论一：若AB是抛物线yiAFBFABABafIbfafbf"Tf号数）结论二：（1）若AB是抛物线寸2px（p0）的焦点弦，且直线AB的倾斜角为Pa,贝UAB慕5丰0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线2PXP。）的焦点弦（过焦点的弦），且A（xm,2P_郎&）,则：炳打，yypo卫证明：因为焦点坐标为F（2,0）,当AB不垂直于x轴时，可设直线AB的方程为:yk（x|）2,22由得：ky2pykp

2、0V1V2x1x22yi2p2V22p当ABLx轴时，直线AB方程为x?，则yip,y2p，二yiy2p2,211函函为定值同上也有：xx2膏。例：已知直线AB是过抛物线y22px（p0）焦点f,求证:a/r-）/、.AFx1BFx2证明：设A（xi，yi）,B（x2，y2）,由抛物线的定义知：12,22,2£AB222卫卫（ABp）Rp比4/巧4（常又|AF+BF=AB，所以xi+x2=AB.p，且由结论一知：g对称轴的弦）最短证明:y由y2(1)设A(x1-y1),B(X2,y2),设直线AB：yk(x)2£p2px得:,ky22pykp20.*y2T加2AB2&quo

3、t;12p1k2y2)4y1y21k2k2p(1k2)2p(1tar2)tan2Psino易验证，结论对斜率不存在时也成立。（2）由（1）:AB为通径时，90«sin2的值最大,例：已知过抛物线寸9x的焦点的弦AB长为12,则直线AB倾斜角为。9解：由结论二，12=sin2（其中劣为直线AB的倾斜角），.32sin则2,所以直线AB倾斜角为3或3。结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。2已知AB是抛物线y2px（p0）的过焦点F的弦，求证：（1）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。怦I为

4、膏径的圆N（2）分别过A、B做准线的垂线，垂足为MN,求证：以与直线AB相切。证明：（1）设AB的中点为Q,过A、QB向准线l作垂线P由抛物线定义：AMaf,bnBFP、N,连结AP、BPQP1(AMBN)-(AFBF)-AB222.以AB为直径为圆与准线l相切(2)作图如(1),取MN中点P,连结PF、MFNF,.AMAF,AWOF,./AMFWAFMZAMFWM./AFMNMFO同理，/BFNWNFQ1./MFN=2(/AFMyMFO%BFNkNFQ=90,xBMPNPFP1一MN./PFMNFMP./AFPWAFMVPFMWFMAVFMPNPMA=90,二FPLAB.以M眼直径为圆与焦点

5、弦AB相切。结论四：若抛物线方程为y2pXp0),过(2p,0)的直线与之交于A、B两点，则OMOB反之也成立。yk(x2p)证明：设直线AB方程为：yk(x2p),由y22px得，>0,x1x2kx1x2b.AO上BO,AO±BOx1x2y1y2x1x2(kx1b)(kx2b)(1k2koP玄tX2py上动点P坐标为(2pt，2pt),O为抛物线的顶点，显然2pt，即t的几何意义为过抛物线顶点O的动弦OP的斜率.例直线V2x与抛物线y22px(p0)相交于原点和A点，B为抛物线上一点,)x1x2kb(x1x2)b20将x2k,xgb代入得，b1。直线AB恒过定点(0,1)。.

6、当且仅当k=0时，saob取最小值1。x2pt,结论五(了解)：对于抛物线X22py(p。)，其参数方程为v2pt2,设抛物线0B和0A垂直,且线段AB长为5而，求P的值.解析：设点A八一-,2-,、一,2-,、-B分别为(2ptA,2ptA),(2ptB,2ptB),则1koA2Kdb2，p，(8p,4p)28pp(p4p)25而p练习:1.过抛物线y2,ax（a0）的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p，q,则p【解析：化为尺度方程,x2-y(a0)2pa,从而.取特殊情况，过焦点的弦PQ垂直于对称轴,PQ为通径，即PQ2P_1_q云，故2一_y2px（p0）的

7、焦点为F经过点F的直线交抛物线于B两占占C在抛物线的准线上，且BC/x轴.证明直线AC经过原点0.【证明：抛物线焦点为F卫,02.设直线AB的方程为my_p2,代入抛物线方程，得y22pmyp20若设A(xi,yi),B(X2,y2)，贝JV1V2BC/x车由，且点c在准线kcO2py1；又由2yi2pxi故kc0kA0，即直线AC经过原点田4apq,1）,准线方程是xy2。，求抛物线的方程以及顶点坐标和对称轴方程.【解：设P（x，y）是抛物线上的任意一点，由抛物线的定义得,(x1)2(y1)222整理，得xy2xy8x8y°,此即为所求抛物线的方程.抛物线的对称轴应是过焦点F(11)且与准线xy20垂直的直线，因此有对称轴方程Vx设对称轴与准线的交点为M,可求得M(，D,于是线段MF的中点就是抛物线的顶点，坐标是。0)】4.抛物线的顶点坐标是A(1,0),准线i的方程是x2y20,试求该抛物线的焦点坐标和方程.解：依题意，抛物线的对称轴方程为2xy设对称轴和准线的交点是M,M可以求得25.设焦点为F,则FM的_F-，-中点是A,故得焦点坐标为55再设P(x，"是抛物线上的任一点,根据抛物线的定义得4 2xy-5 5x2y2f,化简整理得22一_.一4xy4xy4x12y。，即为所求抛