与直线和圆有关的最值问题理

1、圆锥曲线专题突破一：与直线和圆有关的最值问题典例剖析I题型一有关定直线、定圆的最值问题例1已知x,y满足x+2y-5=0,贝U(x1)2+(y-1)2的最小值为.破题切入点直接用几何意义一一距离的平方来解决，另外还可以将x+2y-5=0改写成x=5-2y,利用二次函数法来解决.解析方法一(x1)2+(y1)2表示点P(x,y)到点Q1,1)的距离的平方.由已知可知点P在直线l:x+2y-5=0上，所以PQ的最小值为点Q到直线l的距离，即d=n+：12可-=，所以(x1)2+(y1)2的最小值为d2=£.寸+225，5方法二由x+2y-5=0,得x=5-2y,代入(x1)2+(y1)2

2、并整理可得(52y-1)2+(y-1)2=4(y-2)2+(y-1)2=5y2-18y+17=5(y-项)2+4,所以可得最小值为4.555题型二有关动点、动直线、动圆的最值问题例2直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正方向和y轴的正方向于A、B两点.当O/VOB最小时，O为坐标原点，求l的方程.破题切入点设出直线方程，将OA+OB表示出来，利用基本不等式求最值.解依题意，l的斜率存在，且斜率为负，设直线l的斜率为k,贝Uy4=k(x-1)(k<0).4令y=0,可得A(1-r,0);令x=0,可得巳0,4k).,.4(k+k)=5+(-k+当>5+4=9.-kk4.O碍O序(1-

3、)+(4k)=5-kl的方程为2x+y6=0.4-所以，当且仅当一k=r且k<0,即k=2时，O碍OB取最小值.这时k题型三综合性问题圆中有关元素的最值问题例3由直线y=x+2上的点P向圆C:(x-4)2+(y+2)2=1引切线PT(T为切点)，当PT的长最小时，点P的坐标是破题切入点将PT的长表示出来，结合圆的几何性质进行转化.解析根据切线段长、圆的半径和圆心到点P的距离的关系，可知PAPC-1，故PT最小时，即PC最小，此时PCy=x+2,垂直于直线y=x+2,则直线PC的方程为y+2=(x4),即y=x+2,联立方程解得点P的坐标y=x+2,为(0,2).(2)与其他知识相结合的范

4、围问题例4已知直线x+yk=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B,O是坐标原点，且有|O薄OB>g3AE|,那么3k的取值范围是.破题切入点结合图形分类讨论.解析QA,B三点为等腰三角形的三个顶点，其中O任QBZAQB120°,从而圆心。到,又直线与圆x2+y2=4存在两交点,直线x+y-k=0（k>0）的距离为1,此时k=寸2;当k寸时，|0商0日>亲|届3故k<2季，综上，k的取值范围是寸2,2骞）.【总结提高】（1）主要类型： 圆外一点与圆上任一点间距离的最值. 直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最值. 过圆内一定点的直线被圆截得的

5、弦长的最值. 直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线段长的最小值问题. 两圆相离，两圆上点的距离的最值._,.,.一，.ax+by,已知圆上的动点Qx,y）,求与点Q的坐标有关的式子的最值，如求ax+by,六军或等的最值'转化为直线与圆的位置关系.解题思路：数形结合法：一般结合待求距离或式子的几何意义，数形结合转化为直线与直线或直线与圆的位置关系求解.函数法：引入变量构建函数，转化为函数的最值求解.（3）注意事项： 准确理解待求量的几何意义，准确转化为直线与直线或直线与圆的相应的位置关系；涉及切线段长的最值时，要注意切线，圆心与切点的连线及圆心与切线段另一端点的连线组成一个直角三角

6、形.精题狂练1.假设动点A,B分别在直线li：x+y-7=0和l2：x+y5=0上移动，则AB0勺中点M到原点的距离的最小值为解析依题意知，AB的中点M的集合是与直线l1：x+y-7=0和I2：x+y-5=0距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.设点M所在直线的方程为l:x+y+昨0,根据平行线间的距离公式得皿牛弥=2|g5|匝？|时7|=|时5|?g6,即l:x+y-6=0,根据点到直线的距离公式,得M到原点的距离的最小值为=3寸2.2. 2已知点M是直线3x+4y2=0上的动点，点N为圆（x+1）2+（y+1）2=1上的动点，贝UMN勺最小值是.|342|9解析圆

7、心（一1,1）到点M的距离的最小值为点（1,1）到直线的距离d=-,故点N到点M的距离554的取小值为d-1=5.已知P是直线l:3x-4y+11=0上的动点，PAPB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线，C是圆心，那么四边形PACES积的最小值是.答案寸3解析如下列图，圆的标准方程为(x1)2+(y1)2=1,圆心为C(1,1)，半径为r=1.根据对称性可知四边形PAC痢积等于2Sap-2X：PAr=PA故PA最小时，四边形PACE勺面积最小，由于PkPC1,故PC最小时，PA最小，此时，直线CP垂直于直线l:3x4y+11=0,的距离d=|34+11|3T7=105f所以pa=pC

8、1=瞻一1=寸3.故四边形PACE®积的最小值为'3.故PC的最小值为圆心C到直线l：3x4y+11=0O为坐标原点，当AOB勺面积取最(2013江西改编)过点(寸，0)引直线l与曲线y=.1x2相交于AB两点,大值时，直线i的斜率为.答案一Y33解析S*咛扣OBsinZAOB=：sinZAO匡2.2当/AO序5时，Seb面积最大.此时O到AB的距离d=%设AB方程为y=k(x一寸2)(k<0)，即kxy一寸2kd=|=乎，得k=一急.过点P(1,1)的直线，将圆形区域(x,y)|x2+y2<4分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为.答案x+v2

9、=0解析由题意知，当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件.圆心O与P点连线的斜率k=1,所以直线OP垂直于x+y-2=0.y>0,26.已知Q=x,yr2，直线y=m2m和曲线y=寸4x?有两个不同的交点，它们围成的平面区y<4-x，一，,、丸一2、，.一.,域为M向区域Q上随机投一点A,点A落在区域M内的概率为P(M),假设P(M£，1,则实数m的取值范围2兀是.答案0,1解析画出图形，不难发现直线恒过定点(一2,0),圆是上半圆,直线过(一2,0),(0,2)时，向区域Q上随机投一点A点A落在区域M内的概率为RM,_兀一2此时RM)=,2兀当直线与x轴重合时，

10、P(M)=1,故直线的斜率范围是0,1.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+寸一8x+15=0,假设直线y=kx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，贝Uk的最大值是解析可转化为圆C的圆心到直线y=kx2的距离不大于2.圆C的标准方程为(x4)2+y2=1,圆心为(4,0).由题意知(4,0)到kxV2=0的距离应不大于2,|4k2|即*2<2.1一24整理，得3k2-4kv0,解得0Vk<-.3故k的最大值是4.3直线l过点(0,-4)，从直线l上的一点P作圆C:x2+寸2y=0的切线PAPE(A,B为切点)，假设四边形PACB面积的最小值为2,

11、则直线l的斜率k为.答案±2解析易知圆的半径为1,因为四边形PACB勺最小面积是2,此时切线段长为2,圆心(0,1)到直线y=kx-4的距离为5g,即J2=J5,解得k=±2.7. 冲寸1+kY假设直线ax+by=1过点A(b,a),则以坐标原点O为圆心，OM为半径的圆的面积的最小值是.答案兀解析,直线ax+by=1过点A(b,a),1.ab+ab=1.ab=2.又O任，a2+b2,.以O为圆心，OA为半径的圆的面积为S=兀,oA=(a2+b2)兀a2ab兀=兀，.面积的最小值为兀.10.与直线xy4=0和圆A:x2+y2+2x2y=0都相切的半径最小的圆C的方程是答案(x

12、1)2+(y+1)2=2解析易知所求圆C的圆心在直线y=一x上，故设其坐标为C(c,c),又其直径为圆A的圆心A-1,1)到直线xy4=0的距离减去圆A的半径，即2r=金-也=2例r=保即圆心C到直线xy-4=0的距离等于<2,故有|J.2=也?c=3或c=1,结合图形当C=3时圆C在直线xy4=0下方，不符合题意，故所求圆的方程为(X1)+(y+1)=2.11. 已知点Rx,y)是圆(x+2)2+y2=1上任意一点.求点P到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；(2)求y2的最大值和最小值.x1一一、一|3X2+4X0+12|6解(1)圆心C(2,0)到直线3x+4y+12=

13、0的距离为d=寸开矛1=5,-,611所以点P到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为d+r=-+1=,55最小值为dr=-1=-.55,c、ny2(2)设k=x-1则直线kxy-k+2=0与圆(x+2)2+y2=1有公共点,|3k+21,3-J3,kVl*'4,3+皿13娘kmax=,kmin=.44即g的最大值为哼3最小值为攵4也(2014-苏州模拟)已知圆M的方程为x2+寸2x2y-6=0,以坐标原点。为圆心的圆。与圆M相切.求圆。的方程；圆。与x轴交于E,F两点，圆。内的动点D使得DEDODF成等比数列，求DbDF勺取值范围.解(1)圆M的方程可整理为(x1)2+(y1)2=8,故圆心M(1,1)，半径R=2寸2.圆。的圆心为O(0,0)，因为M&牌<2寸2,所以点O在圆M内，故圆O只能内切于圆M设圆O的半径为r,因为圆O内切于圆M所以M&Rr，即吏=2也一r,解得r=吏.所以圆O的方程为x2+y2=2.不妨设E(m,0),F(n,0)，且n<n.故E(-