专题探究课四

1、高考导航1.立体几何是高考考查的重要内容，每年的高考试题中基本上都是“一大一小”两题，即一个解答题，一个选择题或填空题，题目难度中等偏下；2.高考试题中的选择题或填空题主要考查学生的空间想象能力及计算能力，解答题则主要采用“论证与计算”相结合的模式，即首先是利用定义、定理、公理等证明空间的线线、线面、面面平行或垂直，再利用空间向量进行空间角的计算，重在考查学生的逻辑推理能力及计算能力，热点题型主要有平面图形的翻折、探索性问题等；3.解决立体几何问题要用的数学思想方法主要有：（1）转化与化归（空间问题转化为平面问题）；（2）数形结合（根据空间位置关系利用向量转化为代数运算）.热点一空间点、线、面

2、的位置关系及空间角的计算（教材VS高考）空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明，一般出现在解答题的第（1）问，解答题的第（2）问常考查求空间角，一般都可以建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标运算求解.【例1】（满分12分）（2019全国II卷）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为1一等边二角形且垂直丁底面ABCD,AB=BC=AD,ZBAD=ZABC=90,E是PD的中点.（1）证明：直线CE/平WPAB;点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角MAB一D的余弦值.教材探源本题源丁教材选修2-1P109例4,在例4的基础上进行了改造，删去了例

3、4的第（2）问，引入线面角的求解.满分解答（1）证明取PA的中点F,连接EF,BF,因为E是PD的中点，所以EF/AD,EF=；AD,1分（得分点1）由ZBAD=ZABC=900得BC/AD,一一1、，一乂BC=AD,所以EF统BC,四边形BCEF是平行四边形，CE/BF,3分(得分点2)乂BF?平面PAB,CE?平面PAB,故CE/平面PAB.4分(得分点3)解由已知得BA±AD，以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，|AB|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,贝UA(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,“),PC=(1,0,-V3),A

4、B=(1,0,0).设M(x,y,z)(0<x<1),则BM=(x1,y,z),PM=(x,y-1,z-g).6分(得分点4)因为BM与底面ABCD所成的角为45°,而n=(0,0,1)是底面ABCD的一个法向量,x=1-写由，解得3=1,2.z=(舍去)，3=1,z=学所以|cosBM,n>|=sin45°,所以mS-零，i,普从而前=.华1,普8分（得分点5）设m=（x0,y0,Z0）是平面ABM的法向量，贝UmAM=°，即J（2一艘）xo+2yo+寸6z0=0,mAB=。，询=0所以可取m=（0,一唇2）.10分（得分点6）于是cosm,m

5、n10n=xn|m|n|因此二面角MABD的余弦值为12分（得分点7）?得步骤分：抓住得分点的解题步骤，“步步为赢”，在第（1）问中，作辅助线T证明线线平行T证明线面平行；第（2）问中，建立空间直角坐标系T根据直线BM和底面ABCD所成的角为450和点M在直线PC上确定M的坐标t求平面ABM的法向量t求二面角MAB-D的余弦值.?得关键分：（1）作辅助线;（2）证明CE/BF;（3）求相关向量与点的坐标；（4）求平面的法向量；（5）求二面角的余弦值，都是不可少的过程，有则给分，无则没分.?得计算分：解题过程中计算准确是得满分的根本保证，如（得分点4）,（得分点5）,（得分点6）,（得分点7）.

6、构建模根、利用向量求空间角的步骤第一步：建立空间直角坐标系第二步：确定点的坐标.第三步：求向量值线的方向向量、平面的法向量）坐标.第四步：计算向量的火角（或函数值）.第五步：将向量火角转化为所求的空间角第六步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范【训练1】（2019长沙模拟）在四棱锥PABCE中，PAL底面ABCE,CD±AE,AC平分ZBAD,G为PC的中点，PA=AD=2,BC=DE,AB=3,CD=23,F,M分别为BC,EG上一点，且AF/CD.(1) 求MG的值，使得CM/平面AFG;求直线CE与平面AFG所成角的正弦值.解(1)在RtAADC中，ZADC为直角，tanZ

7、CAD=卒=寸，则ZCAD=60°,乂AC平分ZBAD,二ZBAC=60°,.AB=3,AC=2AD=4,.在zABC中，由余弦定理可得BC=寸13,.DE=13.连接DM,当涝=DA=号时，AG/DM,乂AF/CD,AFAAG=A,平面CDM/平面AFG,乂CM?平面CDM,CM/平WAFG.分别以DA,AF,AP为x,y,z轴的正方向，A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz,如图所示，则A(0,0,0),C(2,2/3,0),D(-2,0,0),P(0,0,2),E(2-依,0,0),可得G(-1,寸3,1),则AG=(-1,>/3,1),CD=(0,2伯，0),

8、CE=(-辰-2y/3,0).设平面AFG的法向量为n=(x,y,z),-AF/CD,AGn=0,CD-n=0,日眠-x+V3y+z=0，即厂-2佝=0,令x=1,得平面AFG的一个法向量为n=(1,0,1).直线CE与平面AFG所成角的正弦值为|cosCt,n>|=而正=呼.寸13+12寸210热点二立体几何中的探索性问题此类试题一般以解答题形式呈现，常涉及线、面平行、垂直位置关系的探究或空问角的计算问题，是高考命题的热点，一般有两种解决方式：(1)根据条件作出判断，再进一步论证;(2)利用空间向量，先假设存在点的坐标，再根据条件判断该点的坐标是否存在【例2】如图所示，四棱锥P-ABC

9、D的底面是边长为1的正方形，RA±CD,FA=1,PD=塞,E为PD上一点，PE=2ED.求证：FAL平面ABCD;(2)在侧棱PC上是否存在一点F,使得BF/平面AEC?若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由.(1)证明.PA=AD=1,PD=瞻,PA2+AD2=PD2,即FAXAD.乂PALCD,ADACD=D,AD,CD?平面ABCD,PAL平面ABCD.解存在.以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为火x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.则A(0,0,0),B(1,0,/：0),C(1,1,0),P(0,0,1),r21)r2n4%E。3,3J，所以AC=(

10、1,1,0),AE=Q,3,3).设平面AEC的法向量为n=(x,y,z),AC=0,AE=0,即x+y=0,、2y+z=0,令y=1,则n=(1,1,-2).假设侧棱pc上存在一点f,且CF=;Cp(0强i),使得BF/平面AEC，贝面-n=0.乂.BF=BC+CF=(0,1,0)+(一入一入入)=(一入1一入入)，BF-n=计1入一2日0,入=2，存在点F,使得BF/平面AEC,且F为PC的中点.探究提高(1)对丁存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解,是否有规定范围内的解”等.(2)对丁位置探究型问题，通

11、常借助向量，引进参数，综合已知和结论歹0出等式,解出参数.【训练2】(2019河北“五个一”名校二模)如图，在梯形ABCD卜中，AB/CD,AD=DC=CB=1,ZBCD=120°，四边形BFED:p是以BD为直角腰的直角梯形，DE=2BF=2,平面BFED1T面ABCD.求证：ADL平面BFED;在线段EF上是否存在一点P,使得平面PAB与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为5§?若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由.28(1)证明在梯形ABCD中，.AB/CD,AD=DC=CB=1,ZBCD=120°,AB=2,在/XDCB中，由余弦定理得BD2=DC2+

12、BC22DCBCcosZBCD=3,AB2=AD2+BD2,aBD±AD.平面BFEDL平面ABCD,平面BFEDA平面ABCD=BD,AD?平面ABCD,ADL平面BFED.解存在.理由如下：假设存在满足题意的点P,.ADL平面BFED,aAD±DE,以D为原点，DA,DB,DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(1,0,0),B(0,J3,0),E(0,0,2),F(0,3,1),则EF=(0,也-1),届=(-1,修0),AE=(-1,0,2),设P是线段上一点，则存在欢0,1,使得昂=存，则吊=薛=X0,V3,1),在

13、/AEP中，AP=Afe+EP=AE+存=(1,0,2)+X0,V3,1)=(1,V3入，22).取平面ADE的一个法向量为n=(0,1,0),设平面PAB的法向量为m=(x,y,z),ABm=0,，x+V3y=0,由i、得'，、，一、cAPm=0,Lx+寸3"(2fz=0,令y=2-入WJm=（寸3（22-入3（1-；）为平面PAB的一个法向量，.二面角A-PDC为锐二面角，、Imn|5专口、1cosm，n=问"啃，解得入=3，故P为线段EF上靠近点E的三等分点.热点三立体几何中的折叠问题将平面图形沿其中一条或几条线段折起，使其成为空间图形，这类问题称为立体几何中

14、的折叠问题，折叠问题常与空间中的平行、垂直以及空间角相结合命题，考查学生的空间想象力和分析问题的能力.【例3】（2019全国II卷）如图，菱形ABCD的对角线AC与5BD交丁点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD上，AE=CF=切，EF交BD丁点H.#ADEF沿EF折到DEF的位置，OD'=yflO.(1) 证明：DHL平面ABCD;求二面角B-DA-C的正弦值.(1) 证明由已知得AC±BD,AD=CD.乂由AE=CF得徵=芸;，故AC/EF.ADCD因此EF±HD,从而EF±DH.由AB=5,AC=6得DO=BO=AB2AO2=4.OHAE

15、1由EF/AC侍况=Ad=4.所以OH=1,DH=DH=3.丁是DH2+OH2=32+12=10=DO2,故DHJ_OH.乂DH±EF,而OHnEF=H,所以D'HL平面ABCD.解如图，以H为坐标原点，HF的方向为x轴正方向，招了建立空间直角坐标系H-xyz则H(0,0,0),A(3,1,0),q苻洗iB(0,5,0),C(3,1,0),D'(0,0,3),AB=(3,-4,0),AC=(6,0,0),A=(3,1,3).设m=(x1,y，Z1)是平面ABD的法向量，mAB=0,3xi4y1=0,则5即mAD'=0,Sx1+y1+3z1=0,所以可取m=(4

16、,3,-5).设n=(x2,y2,Z2)是平面ACD'的法向量,nAC=0,naD'=0,6x2=0,3x2+y2+3z2=0,所以可取n=(0,3,1).一14工曰,一一、mn-14A/5jcosm，n=mn康E法./-2.95sin<m,n=25.因此二面角B-D'A-C的正弦值是誓.探究提高立体几何中的折叠问题，关键是搞活翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况，一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化.【训练3】(2019衡水中学调研)如图(1)所示，在直角梯形ABCD中，AD/BC,/BAD=-2,AB=BC=1

17、,AD=2,E是线段AD的中点，O是AC与BE的交点.将/ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图(2)所示.(1) 证明：CDL平面A1OC;若平面A1BEL平面BCDE,求直线BD与平面A1BC所成角的正弦值.证明在题图(1)中，连接CE,因为AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点，ZBAD=W，所以四边形ABCE为正方形，四边形BCDE为平行四边形，所以BEXAC.在题图(2)中，BEXOA1,BEXOC,乂OAnOC=O,OA1,OC?平面AQC,从而BEL平面AiOC.乂CD/BE,所以CDL平面AiOC.解由(1)知BEXOA1,BEXOC,所以ZAiOC为二面角Ai-BEC的平面

18、角，乂平面AiBEL平面BCDE,所以ZAiOC=言，所以OB,OC,OAi两两垂直.如图，以O为原点，OB,OC,OAi所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，m2222则B(,0,0),E(-为，0,0),Ai(0,0,*),C(0,旅。)，得BC=（-乎,号,。）,屁=（0,夸,一乎），由命=能=（-羽，0,0）,得D（一牌，乎，0）.所以Bb=（平,0）.设平面AiBC的法向量为n=（x,y,z）,直线BD与平面AiBC所成的角为9,nBC=0,nA?C=0,/曰x+y=0,3z=0,取x=1,得n=(1,1,1).从而sinM|cosBD,n>|=空15，即直线BD与

19、平'面A1BC所成角的正弦值为淳015（2019成都诊断）如图所示，四棱锥PABCD中，FAL底面ABCD,PA=2,ZABC=900,AB=3,BC=1,AD=20,ZACD=60°,E为CD的中点.求证：BC/平面FAE;(2)求直线PD与平面PBC所成角的正弦值.(1)证明.AB=V3,BC=1,ZABC=900,AC=2,ZBCA=60°.在/XACD中，.AD=2衣AC=2,ZACD=60。，.由余弦定理得：AD2=AC2+CD22ACCDcosZACD,解得CD=4,AC2+AD2=CD2,ACD是直角三角形.1乂E为CD的中点，aAE=§CD

20、=CE,乂ZACD=60°,二AACE是等边三角形，.ZCAE=60°=ZBCA,.BC/AE.乂AE?平面PAE,BC?平面PAE,BC/平面PAE.(2)解由(1)可知ZBAE=90°,以点A为原点，以AB,AE,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，WJP(0,0,2),B(鹏，0,0),C(也1,0),D(-黄,3,0),PB=破，0,-2),PC=应,1,-2),而=(-V3,3,-2).设n=(x,y,z)为平'面PBC的法向量，贝UnPB=0,V3x2z=0,nPC=0,例+V2z=0，设x=1,贝Uy=0,z=乎，

21、n=1,c°sn兄-，兄2*_恒-cos、n,pd/仁一一,|n|PD|寸7据直线PD与平面PBC所成角的正弦值为暮.(2019郑州调研)在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,点E为AD中点，沿BE将/ABE折起至ZXPBE,如图所示，点P在平面BCDE的射影。落在BE上.(1) 求证：BP±CE;求二面角B-PC-D的余弦值.(1) 证明由条件，点P在平面BCDE的射影。落在BE上，平面PBEL平面BCDE,且在BCE中，BE2+CE2=BC2,:BE2=2,CE2=2,BC2=4,aBEXCE,乂平面PBEn平面BCDE=BE,CE?平面BCDE,CEL平面PBE,乂B

22、P?平面PBE,aBP±CE.(2) 解以O为坐标原点，以过点O且平行丁CD的直线为x轴，过点O且平行丁BC的直线为y轴，直线PO为z轴，建立如图所示空间直角坐标系.则B(2,一；,0),C(1,3,0),D(-2,3,0),P(0,0,当，ni-CD=0,IniCP=0,即n2-PB=0,则n2BC=0,r即:X2y2寸2斐0,B0,设平面PCD的法向量为ni=(xi,yi,zi),xi=0,、xi+3yi李z=0,令zi=aJ2,可得ni=p,3,牌!，设平面PBC的法向量为n2=(x2,y2,z2),令z2=y/2,可得n2=(2,0,寸2),剪33ni,n2=,.，|ni|-

23、|n2|ii结合图形判断二面角B-PC-D为钝二面角，则二面角B-PC-D的余弦值为一雄.1. (20i9西安模拟)如图在直角梯形BBiCiC中，ZCCiBi=90°,BBi/CCi,CCi=BiCi=2BBi=2,D是CCi的中点，四边形AAiCiC可以通过直角梯形BBiCiC以CCi为轴旋转得到，且二面角Bi-CCi-A为i20°.若点E是线段AiBi上的动点，求证：DE/平面ABC;(2)求二面角B-ACAi的余弦值.(1) 证明连接DAi,DBi,vCD/AAi且CD=AAi,四边形AAiDC是平行四边形，AC/AiD,同理BC/DBi,AiD/平面ABC,DBi/

24、平面ABC,乂AiDnDBi=D,AiD,DBi?平面DAiBi,.平面DAiBi/平面CAB,乂DE?平面DAiBi,DE/平面ABC.解在平面AiBiCi内，过Ci作CiF±BiCi,由题知CCi±CiBi,CCi±AiCi,.CCi。面AiBiCi.分别以CiF,CiBi,CiC为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系Cixyz,第i2页则Ci(0,0,0),A(0,1,1),C(0,0,2),B(0,2,1),所以CiA=(史,一1,1),C1C=(0,0,2),AC=(-3,1,1),BC=(0,2,1),设平面A1AC的法向量为m=(x,y,z),平

25、'面BAC的法向量为n=(a,b,c),C?Cm=0,:c1Am=02z=0,.V3xy+z=0,可取m=(3,3,0),BCn=0,ACn=0则2b+c=0,、一3a+b+c0,可取n=(寸3,1,2),cosm,n>一=_J晅lmllnI寸3+9寸3+1+44所以二面角B-ACA1的余弦值为平.(2019武汉模拟)如图，四边形ABCD是正方形，四边形BDEF为矩形，ACXBF,G为EF的中点.(1)求证：BFL平面ABCD;.BF二面角CBG-D的大小可以为60°吗，若可以求出此时讶的值，若不可以，BC请说明理由.(1)证明.四边形ABCD是正方形，四边形BDEF为

26、矩形，BF±BD,乂.ACLBF,AC,BD为平面ABCD内两条相交直线，BFL平面ABCD.解假设二面角CBG-D的大小可以为60°,由(1)知BFL平面ABCD,以A为原点，分别以AB,AD为x轴，y轴建立空间直角坐标系，如图所示，不妨设AB=AD=2,BF=h(h0)，则A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),C(2,2,0),EF的中点G(1,1,h),BG=(1,1,h),BC=(0,2,0).设平面BCG的法向量为n=(x,y,z),BGn=0,bC-n=0,即x+y+hz=0,2y=0,取n=(h,0,1).由于AC±BF,AC

27、7;BD,2hnACj_|n|AC|=咛4+4'ACL平面BDG,平面BDG的法向量为AC=(2,2,0).由题意得cos60°=BF1解得h=1,此时=-BC2.BF1.当BF1时，二面角C-BG-D的大小为60BC2(2019湘中名校调研)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB/DC,AD±DC,PDL平面ABCD,E,F,M分别是棱PD,PC和BC上的点，且=N是PA上一点，AD=PD.EPFPMIB2AN(1)求当NP为何值时，平面NEFL平面MEF;1一在(1)的条件下，若AB=2DC=2,PD=3,求平面BCN与平面MEF所成锐二面角的

28、余弦值.解(1)在AD上取一点G,使得GJ=2,连接EG,MG,.DGDECM1GA=EP=MB=2'EG/PA,MG/CD.PDL平面ABCD,aPD±CD,.AD±CD,.CDL平面PAD,.蚩=备，.EF/DC，则EFL平面PAD.平面NEFL平面MEF,二ZNEG=90°,在RtAPAD中，AD=PD,.PA=/2PD,2在/XPNE中，由正弦定理得PN=%PD.当NP=2时，平面NEFL平面MEF.(2)以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(3,0,0),B(3,2,0),C(0,4,0),P(0,0,3),N(1,0,2),NB=(2,2,-2),CB=(3,-2,0),PA=(3,0,-3),AB=(0,2,0),设平面BCN的法向量n=(x,y,z),nNB=0,则nCB=0,2x+2y-2z=0,即73x2y=0,令y=3,则x=2,z=5,.n=(2,3,5),.EF/AB,FM/PB且EFAFM=F,平面MEF/