专题八平面向量线性运算及综合应用问题

1、专题八平面向量线性运算及综合应用问题I真题体验IBA=(2,3),CA=(4,7)，则B0=().A.(-2,-4)B(2,4)C.(6,10)答案：AC.a=2bD.aIIb且a|=|b|D.(6,10)抓住向量的起点与终点，用终点坐标减去起点坐标即可.由于2. CA=(4,7),那么BC=BA+AC=(2,3)+(-4,-7)=(2,-4).ab设a,b都是非零向量.下列四个条件中，使音=舌成立的充分条件是（）.答案：C对于A,注意到当a=b时，昌乒对于B,注意到当a/b时，亡与#可|a|b|a|b|能不相等；对于C,当a=2b时，言=蠢=备对于D,当a/b,且|a|=|b|时，可能有a=

2、,ab一.ab-b,此时商乒甘综上所述，使商=齿成立的充分条件是a=2b.3.设a,b是两个非零向量，下列选项正确的是（）.A.若|a+b|=a|b|,则aJ_bB.若ab,则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=a|b|,则存在实数入使得b=冶D.若存在实数入使得b=a,贝U|a+b|=|a|-|b|答案：C对于A,可得cosa,b=1,因此ab不成立；对于B,满足ab时,a+b|=|a|b|不成立；对于C,可得cosa,b=1,因此成立，而D显然不一定成立.4.已知向量a,b夹角为45。，且|a|=1,|2ab|=而，则|b|=解析依题意，可知|2ab|2=4|a|2-4ab+|b|

3、2=4-4|a|b|cos45+|b|2=4-R2|b|+|b|2=10,即|b|22|b|6=0,22+V32厂.|b|=2=32(负值舍去).答案32向量的垂直、平移、I高考定位I1. 高考一般会以客观题的形式重点考查向量的线性运算及其应用,夹角和模的运算，向量的几何运算等.2. 平面向量作为工具在考查三角函数、平面解析几何等内容时常用到，属于中等偏难题.II应对策略I要理解平面向量具有两个方面的特征：几何特征和代数特征，可以认为平面向量是联系几何图形和代数运算的纽带，因此复习时要抓住平面向量的核心特征.由于平面向量在三角函数、平面解析几何中的工具作用，所以备考时要熟练掌握平面向量的基础知

4、识.*jeiBEUHISMIFANGFAU1*必备知识方法必考必包!教学相垢必备知识向量的概念(1)零向量模的大小为0,方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为三.|a|(3) 方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量).(4) 如果直线l的斜率为k,则a=(1,k)是直线l的一个方向向量.(5) 向量的投影：|b|cosa,b叫做b在向量a方向上的投影.向量的运算(1) 向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础，应熟练掌握其运算规律.平面向量的数量积的结果是实数，而不是向量，要注意运算数量积与实数运算律的差异，平面向量的数量积不满足

5、结合律与消去律.ab运算结果不仅与a,b的长度有关而且与a与b的夹角有关，即ab=|a|b|cosa,b.两非零向量平行、垂直的充要条件若a=(x，y)，b=(x2,Y2),则a/b?a=出，a/b?x1y2x2y=0.ab?ab=0,ab?xx2+yy2=0.可利用它处理几何中的两线平行、垂直问题，但二者不能混淆.必备方法IMN=ON当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量OM(其中O为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量.1. 根据平行四边形法则，对于非零向量a,b

6、,当|a+b|=|a-b|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a+b|=|a-b|等价于向量a,b互相垂直，反之也成立.两个向量夹角的范围是0,兀,在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或兀的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线.U2*热点命题角度权威透折：职点襄破平面向量的概念及线性运算常考查平面向量的基本概念、线性运算、加减运算等基础知识.同时，要加强三角形法则、平行四边形法则应用技巧的训练和常用结论的记忆，难度以中低档为主.【例1】已知ABC和点M满足IMA+MB+MC=0,若存在实数m使得AB+AC

7、=mAM成立，贝Um=().A.2B.3C.4D.5审题视点听课记录、一、一，rrr一，一，一审题视点由MA+MB+MC=0,可知M是MBC的重心.BIMA+而+MC=0,点M是AABC的重心.AB+AC=3AlM.m=3.互密斑义在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量.(2)有的问题可以采用坐标化解决更简单.【突破训练1】如图，平面内有三个向量6A,(Ob,OC,其中oa与OB的夹角为120,6A与OC的夹角为30,rl,r且|OA|=|OB|=1,|OC|=2若OC

8、=OA+QB(入，於R),贝U沛祯勺值为.解析法一如图,工土.W.-OC=OB1+OA1,|OBi|=2,一一，一二一三一|OA|=|BC|=4,.OC=4OA+2OB.X+四=6.法二以O为原点，OA为x轴建立直角坐标系，则A(1,0),C(2J3cos30,2寸3sin30),B(cos120,sin120).即A(1,0),C(3,V3),B2，乎.,C由OC=OA+QB得，1卜2叶3，.=2,4厂5-M-i=6.乎7,D=4，答案6平面向量的数量积数量积是平面向量最易考查的知识点，常考查：直接利用数量积运算公式进行运算；求向量的夹角、模，或判断向量的垂直关系，试题较容易.也常常与解析几

9、何结合命制解答题.【例2】如图，ABC中，/C=90,且AC=BC=3,点M满足BM=2lMA,则ClMcB=().A.2B.3C.4D.6审题视点听课记录、一、一.一，Ir,一审题视点用向量CA、CB表示.bcMCB=(CB+bM)Cb=CB2+Cb2bA=CB2+2CB(cA-CB)=1CB2=3.333直基奁平面向量问题的难点就是把平面向量的几何运算与数量积运算的结合，这里要充分利用平面向量的几何运算法则、平面向量的共线向量定理、两向量垂直的条件以及平面向量数量积的运算法则，探究解题的思想.【突破训练2】设x,yR,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,4),且ac,b/c,则|

10、a+b|=().A5B.iOC.2宙D.10|x=2,解得故a+b=(3,1),|a+b|y=2,2x4=0,答案：B由题意可知，5一42y=0,=拆，选B.平面向量与三角函数的交汇在近年高考中，三角函数与平面向量相结合来命制综合问题是高考考查的热点，三角函数的变换与求值、化简及解三角形等问题常以向量为载体，复习时应注意解题的灵活性，难度不大.【例3】已知向量a=(sinx,1),b=cosx,3/(1) 当a/b时，求cos2x3sin2x的值；(2) 求f(x)=(a+b)b的最小正周期和单调递增区间.审题视点听课记录审题视点(1)由向量平行列方程解出tanx的值，所求式子转化成正切单角名

11、称的三角代数式，代入可求解；(2)进行向量坐标形式的数量积运算得到f(x)的解析式，转化为y=Asin(wx+时+b的函数结构.解(1)由aIIb,得3sinx+cosx=0,即tanx=&23-cos2x3sin2x=cos2x：6sinxcosxsinx+cosx16tanx451+tan2x13.(2)因为a=(sinx,-八.31),b=cosx,2,a+b=sinx+cosx1一，2f(x)=(a+b)b3=(sinx+cosx)cosx+415=2(sin2x+cos2x)+4兀5in2x+4+4,所以最小正周期为兀.由2kTt一乔2x+42k兀+；,得k兀一章2xk兀+故单调递增

12、区间为ku-亲k京kZ).方法锦百互平面向量与三角函数结合的这类题目的解题思路通常是将向量的数量积与模经坐标运算后转化为三角函数问题，然后利用三角函数基本公式求解.【突破训练3】在ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,且满足cos*=，ABaC=3.5(1) 求左ABC的面积；(2) 若b+c=6,求a的值.解(1)因为cosA=马525所以cosA=2cos2A1=3,sinA=5,又由ABAC=3，得bccosA=3,所以bc=5,1一一一所以&abc=2bcsinA=2.(2)对于bc=5，又b+c=6,所以b=5,c=1或b=1,c=5,由余弦定理得，a2=b2+c22bc

13、cosA=20,所以a=2席.03*阅卷老师叮咛注重地节：力争松突破平面向量的得分障碍近几年高考对平面向量的考查突出了“创新性”与“灵活性”，其实质可以归源于平面向量的几何特征和代数特征.试题常以选择、填空的形式考查，难度较大.平面向量问题的难点就是平面向量的几何运算与数量积运算的结合，这里要充分利用向量的几何运算法则、共线向量定理，下面举例说明.【示例1】已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点，贝UDECB的值为；DEdC的最大值为.解析以AB,AD为基向量，设AE=AB(01?晚0,p2：|a+b|1?p3：|a-b|1?晚0,3);P4：|a-b|1?Kg其中的真命题是().

14、A.P1,P4B.P1,P3C.P2,P3D.P2,P4答案：A.|a|=|b|=1,且姬0,ajo1-cos0=|.=abc,|a|b|2可，若|a+b|1，则(a+b)21,.a2+2ab+b21,-0C0,3f；若|ab|1,同理求得abv.cos0=abv2，.簇盘，故pi,p4正确，应选A.【示例2】若a,b,c均为单位向量，且ab=0,(ac)(bc)0,则|a+bc|的最大值为().A.仍1B.1C.V2D.2解析设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),贝Ux2+y2=1,ac=(1x,y),b-c=x,1y)，则(ac)(bc)=(1x)(x)+(y)(1y)=x2+y2xy=1xy1.又a+bc=(1x,1y),|a+b-c|=寸1-xf+(1-y2=亦-12+(y-12,P点到AB上点的距离,法一如图，c=(x,y)对应点在AB上，而式的几何意义为其最大值为1.法二a+bc|=y/(x-12+(y-1f=寸2+y2-2x-2y+2=寸3+2(-xy3-2(x+y)由x+y1,.-.|a+b-c|v3-2=1,最大值为1.答案B老师叮咛：解决本题的关键是将向量坐标化，利用向量的坐标运算解决问题.其中，不