第二章 误差的基本性质与处理

1、误差理论与数据处理误差理论与数据处理 2013.8本章分别详细阐述随机误差、系统误差、粗大误差三类误差的来源、性质、数据处理的方法以及消除或减小的措施。特别是在随机误差的数据处理中，分别掌握等精度测量和不等精度测量的不同数据处理方法。通过学习本章内容，能够根据不同性质的误差选取正确的数据处理方法并进行合理的数据处理。零部件变形及其不稳定性，信号处理电路的随机噪声等。温度、湿度、气压的变化，光照强度、电磁场变化等。瞄准、读数不稳定，人为操作不当等。oLilioiiLl )2/(2221)(ef)(f)(FdeF)2(2221)(54)(|df21)(df326745.00)(dfEdf)(22图

2、2-1为正态分布曲线以及各精度参数在图中的坐标。（标准差）值为曲线上拐点A的横坐标，（平均误差）值为曲线右半部面积重心B的横坐标，（或然误差）值的横坐标线则平分曲线右半部面积。 对某量进行一系列等精度测量时，由于存在随机误差，因此其获得的测量值不完全相同，此时应以算术平均值作为最后的测量结果。 (一)算术平均值的意义 设 为n次测量所得的值，则算术平均值为: niinlnnlllx1211nlll,21三、算术平均值三、算术平均值 当测量次数无限增加时，算术平均值必然趋近于真值Lo。（证明略） 由此我们可得出结论：如果能够对某一量进行无限多次测量，就可得到不受随机误差影响的测量值。但由于实际上

3、都是有限次测量，因此，我们只能把算术平均值近似地作为被测量的真值。 一般情况下，被测量的真值为未知，不可能按式（2-1）求得随机误差，这时可用算术平均值代替被测量的真值进行计算。此时的随机误差称为残余误差，简称残差：(2-9) xlii四、测量的标准差四、测量的标准差12222nn符合正态分布的随机误差分布密度如式（2-2）所示。)2/(2221)(ef标准差的数值小，该测量列相应小的误差就占优势，任一单次测得值对算术平均值得分散性就小，测量精度就高。 标准差不是测量列中任何一个具体测得值的随机误差， 的大小只说明，在一定条件下等精度测量列随机误差的概率分布情况。12222nn12nvi定义式

4、定义式贝塞尔公式贝塞尔公式2231ivn2451ivn（二）测量列算术平均值的标准差（二）测量列算术平均值的标准差 在多次测量的测量列中，是以算术平均值作为测量结果，因此必须研究算术平均值不可靠的评定标准。 如果在相同条件下对同一量值作多组重复的系列测量，各个测量列的算术平均值围绕着被测量的真值有一定的分散，而算术平均值的标准差则是表征同一被测量的各个独立测量列算术平均值分散性的参数。 nx 当n愈大，算术平均值越接近被测量的真值，测量精度也愈高。 由图可知, 一定时，当n10以后， 的减小很 慢。因此一般情况下取n=10以内较为适宜。nxx 例例2-4 2-4 用游标卡尺对某一尺寸测量10次

5、，假定已消除系统误差和粗大误差，得到数据如下(单位为mm)：75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.08 。求算术平均值及其标准差。 解：本例题中的测量数据与表2-3中的测量数据一样，表中的算术平均值为:0,045.751niivmmxmmmmTx0076. 00096. 07979. 07979. 0mmmmRx0065.00096.06745.06745.0mmmmnvnii0303. 011000825. 0112mmmmnx0096. 0100303. 0（一）标准差的其他计算方法nnvniii1221niiniivnn12

6、121111nnvniiniiniiniivnnn11)1(1253. 17979. 011.2533(1)ivn n例例2-52-5 用别捷尔斯法求得表2-3的标准差。 解：计算得到的值分别填于表中，因此有mmmmmmmmz0104. 011010250. 0253. 10330. 011010250. 0253. 1)(mmli)(mmvimmx045.750101iiv序号1234567891075.0175.0475.0775.0075.0375.0975.0675.0275.0575.080.0350.0050.0250.0450.015+0.045+0.015-0.025+0.00

7、5+0.0350.0012250.0000250.0006250.0020250.0002250.0020250.0002250.0006250.0000250.0012252101200825. 0mmvii)(2mmvi32表(2-28)nxxx,21maxxminxminmaxxxnnndn2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 201.13 1.69 2.06 2.33 2.53 2.70 2.85 2.97 3.08 3.17 3.26 3.34 3.41 3.47 3.53 3.59 3.64 3.69 3.74nd42表08.

8、309. 000.7509.7510minmaxdmmmmmmllnmmmmdn0292.008.309.010(2-31)(2-32)max|1inKmax|1invKnKnK10nmmvi045. 0max57.0110KmmmmKvi0256. 0045. 057. 010max 例例 2 - 72 - 7 某 激 光 管 发 出 的 激 光 波 长 经 检 定为 ，由于某些原因未对次检定波长作误差分析，但后来又用更精确的方法测得激光波长 ，试求原检定波长的标准差。 解：因后测得的波长是用更精确的方法，故可认为其测得值为实际波长(或约定真值)，则原检定波长的随机误差 为： 故标准差为：

9、m63299130. 0m63299144. 0mmm8101463299144. 063299130. 025. 111KmmK7811075. 1101425. 1 贝塞尔公式的计算精度较高，但计算麻烦，需要乘方和开方等，其计算速度难于满足快速自动化测量的需要； 别捷尔斯公式最早用于前苏联列宁格勒附近的普尔科夫天文台，它的计算速度较快，但计算精度较低，计算误差为贝氏公式的1.07倍； 用极差法计算，非常迅速方便，可用来作为校对公式，当n10时可用来计算，此时计算精度高于贝氏公式； 用最大误差法计算更为简捷，容易掌握，当n50）用3准则最简单方便，虽然这种判别准则的可靠性不高，但它使用简便，

10、不需要查表，故在要求不高时经常使用；30n50情形，用格拉布斯准则效果较好；3n30情形，用格拉布斯准则适于剔除一个异常值，用狄克逊准则适于剔除一个以上异常值。当测量次数比较小时，也可根据情况采用罗曼诺夫斯基准则 。 在较为精密的实验场合，可以选用二、三种准则同时判断，当一致认为某值应剔除或保留时，则可以放心地加以剔除或保留。当几种方法的判断结果有矛盾时，则应慎重考虑，一般以不剔除为妥。因为留下某个怀疑的数据后算出的只是偏大一点，这样较为安全。另外，可以再增添测量次数，以消除或减少它对平均值的影响。三、防止与消除粗大误差的方法三、防止与消除粗大误差的方法 对粗大误差，除了设法从测量结果中发现和

11、鉴别而加以剔除外，更重要的是要加强测量结果者的工作责任心和以严格的科学态度对待测量工作；此外，还要保证测量条件的稳定，或者应避免在外界条件发生激烈变化时进行测量。如能达到以上要求，一般情况下是可以防止粗大误差产生的。 在某些情况下，为了及时发现与防止测得值中含有粗大误差，可采用不等精度测量和互相之间进行校核的方法。例如对某一测量值，可由两位测量者进行测量、读数和记录；或者用两种不同仪器、或两种不同测量方法进行测量。以上三节分别讨论了三类测量误差，它们的特点各异，因而处理的方法也有较大差别。现简单归纳如下： 随机误差具有抵偿性，这是它最本质的特性，算术均值和标准差是表示测量结果的两个主要统计量；

12、系统误差则违背抵偿性，因而会影响算术均值，变化的系统误差还影响标准差；粗大误差则存在于个别的可疑数据中，也会影响算术均值和标准差。 随机误差服从统计规律，是无法消除的，但通过适当增加测量次数可提高测量精度；系统误差则是有确定性规律，在掌握这个规律后，可以采取适当的措施消除或减小它；粗大误差既违背统计规律，又违背确定性规律，可用物理或统计的方法判断后剔除。 为处理一组测量数据，往往先找出个别可疑数据，经统计判断确认无粗大误差后，再用适当的方法检验数据中是否含有明显的系统误差，如确认已无系统误差，最后处理随机误差，统计算术平均值、标准差及极限误差，以正确的表达方式给出测量结果。 分两种情况：等精度

13、直接测量列测量结果的数据处理实例和不等精度直接测量列测量结果的数据处理实例。一、等精度直接测量列测量结果的数据处理实例例：对恒温箱的保温性进行研究，等精度测量某一温度点的值20 次，测得值如下：（单位：）25.53 25.52 25.50 25.52 25.53 25.53 25.50 25.49 25.49 25.5125.53 25.52 25.49 25.38 25.50 25.52 25.54 25.47 25.48 25.51 已知温度计的系统误差为-0.05,除此以外不含有其它的系统误差，试判断该测量列是否含有粗大误差，求当置信概率为99.73%时该温度点的测量结果。 解：由于测量

14、温度计的系统误差为-0.05,除此以外不再含有其它的系统误差，故这里不考虑系统误差的辨别。1. 求算术平均值：2. 求残余误差：即v1=0.03,v2=0.02,v3=0,v4=0.02,v5=0.03,v6=0.03,v7=0,v8=-0.01,v9=-0.01,v10=0.01,v11=0.03,v12=0.02,v13=-0.01,v14=-0.12,v15=0,v16=0.02,v17=0.04,v18=-0.03,v19=-0.02,v20=0.01.（也可列表计算）3. 校核算术平均值及其残余误差： （略）4. 由于测量温度计的系统误差为-0.05,除此以外不再含有其它的系统误差，

15、故这里不考虑系统误差的辨别。如果需要在此步骤辨别系统误差。1510.0225.5020nioiTTCniivTT5. 求测量列单次测量的标准差：根据Bessel 公式，单次测量标准差为：210.0230.035119nioivCn1484.6825.5119nioiTTCn6. 判别粗大误差：用3准则判别粗大误差，判定第14 个测量值，即25.38为粗大误差，剔除。7. 重新计算算术平均值和单次测量的标准差为：210.00690.020118nioivCn 8. 再判别粗大误差，根据3 准则，发现此时测量列中不含有粗大误差。9. 求算术平均值的标准差：0.0200.00519oTCn10. 求

16、算术平均值的极限误差：由于给定置信概率为99.73%，按照正态分布，此时=0.27， ，算术平均值极限误差为：lim3 0.0050.015oTTtC 3at 11. 给出最后的测量结果（要减去已定系统误差）：lim0.0525.560.015oTTTC一、不等精度直接测量列测量结果的数据处理实例一、不等精度直接测量列测量结果的数据处理实例 不等精度测量结果如下表（假定不存在系统误差和粗大误差）不等精度测量结果如下表（假定不存在系统误差和粗大误差）1234:3:3:4:6pppp 解：1）求加权算术平均值首先根据测量次数确定各组的权，有12343,3,4,6pppp取则其加权算术平均值401041()3 0.033 04 0.026 0.038.028.0416iiiiip xxxxp 2）求残余误差并进行校核）求残余误差并进行校核 由公式由公式 得得iixx12340.01,0.02,0,0.01, 3）校核算术平均值及其残余误差：校核算术平