第二章系统的数学模型

1、第二章 系统的数学模型本章内容提纲2.0 基本概念2.1 系统的微分方程2.2 Laplace 变换与反变换2.3 系统的传递函数2.4 系统的传递函数方框图及其简化2.5 反馈控制系统的传递函数2.6 相似原理2.0 2.0 基本概念基本概念1)1)建立数学模型的意义建立数学模型的意义( (1)1)可可定性定性地了解系统的工作原理及其特性地了解系统的工作原理及其特性; ;(2)(2)更能更能定量定量地描述系统的动态性能地描述系统的动态性能; ;(3)(3)揭示系统的内部结构、参数与动态性能之间的关系揭示系统的内部结构、参数与动态性能之间的关系。2)2)系统数学模型的形式系统数学模型的形式（1

2、 1）最基本形式是微分方程）最基本形式是微分方程, ,它在时域中描述系它在时域中描述系统统( (或元件或元件) )动态特性；动态特性；（2 2）传递函数形式，它极有利于对系统在复数）传递函数形式，它极有利于对系统在复数域及频域进行深入的研究、分析与综合域及频域进行深入的研究、分析与综合 。3) 3) 数学模型的建立方法数学模型的建立方法 建立系统数学模型有两种方法：建立系统数学模型有两种方法：分析法和实验法分析法和实验法, ,本章仅本章仅就分析法进行讨论。就分析法进行讨论。(1)(1)分析法分析法: :根据系统和元件所遵循的有关定律来推导出数根据系统和元件所遵循的有关定律来推导出数学表达式，从

3、而建立数学模型。学表达式，从而建立数学模型。(2)(2)实验法实验法: :对于复杂系统，需要通过实验，并根据实验数对于复杂系统，需要通过实验，并根据实验数据，据，拟合拟合出比较接近实际系统的数学模型。出比较接近实际系统的数学模型。2.1 2.1 系统的微分方程系统的微分方程一用分析法（解析法）一用分析法（解析法）列写微分方程的一般方法列写微分方程的一般方法(1)(1)确定系统或各元件的输入、输出变量确定系统或各元件的输入、输出变量。系统的给定输入量或扰动输。系统的给定输入量或扰动输入量都是系统的输入量，而被控制量则是输出量；入量都是系统的输入量，而被控制量则是输出量；(2)(2)进行适当的简化

4、，忽略次要因素；进行适当的简化，忽略次要因素；(3) (3) 从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理定理，的物理定理，列写出在运动过程中的各个环节的动态微分方程；列写出在运动过程中的各个环节的动态微分方程；注意：负载效应，非线性项的线性化。注意：负载效应，非线性项的线性化。(4)(4)消除中间变量消除中间变量，写出只含有输入、输出变量的微分方程；，写出只含有输入、输出变量的微分方程；(5)(5)标准化。标准化。整理所得微分方程，整理所得微分方程，输出量降幂排列输入量降幂排列输出量降幂排列输入量降幂排列一般将与输出量

5、有关的各项放在方程左侧，与输入量有关的各项一般将与输出量有关的各项放在方程左侧，与输入量有关的各项放在方程的右侧，各阶导数项按降幂排列。放在方程的右侧，各阶导数项按降幂排列。 例例2.1 2.1 图示为图示为RCRC电路串联滤波网电路串联滤波网络，试写出以输出电压和输络，试写出以输出电压和输入电压为变量的滤波网络的入电压为变量的滤波网络的微分方程。微分方程。 解：列写系统微分方程解：列写系统微分方程输入输入: :电压电压 输出输出: :电压电压 中间变量中间变量简化简化根据基尔霍夫定律，可写出根据基尔霍夫定律，可写出下列原始方程式：下列原始方程式：1, 2i i2u1u222122111()i

6、 Ri dtiidtCC2221i dtuC (4) (4)消去中间变量消去中间变量 2221122112212212()(2.1.1)d uduR C R CR CR CR Cuudtdt1112111()i RiidtuC式（式（2.1.12.1.1）就是系统的微分方程。）就是系统的微分方程。 例2 图示为电枢控制式直流电机原理图，设 为电枢两端的控制电压， 为电机旋转角速度， 为折合到电机轴上的总的负载力矩。当激磁不变时，用电枢控制的情况下， 为给定输入， 为干扰输入， 为输出。系统中 为电动机旋转时电枢两端的反电势； 为电动机的电枢电流； 为电动机的电磁力矩。 auLMauLMaiMd

7、ede (1) 输入变量为电压 ；输出变量为电机旋转角速度 ;中间变量 ; (2)根据克希荷夫定律，电机电枢回路的方程为 式中，L，R分别为电感与电阻。当磁通固定不变时， 与转速 成正比，即 式中， 为反电势常数。这样（2.1.5）式为 根据刚体的转动定律，电动机转子的运动方程为aadadiLi Reudt(2.1.5)(2.1.5)ddekaadadiLi RkudtLdJMMdt(2.1.6)(2.1.6)(2.1.7)(2.1.7)deaLuM、adie、dk 式中，J为转动部分折合到电动机轴上的总的转动惯量。当激磁磁通固定不变时，电动机的电磁力矩与电枢电流成正比。即 式中，km为电动机

8、电磁力矩常数（3）消除中间变量将（2.1.8）式代入（2.1.7）式得上式略去了与转速成正比的阻尼力矩。应用（2.1.6）式和（2.1.9）式消去中间变量ia，可得令 ，则上式为 式（2.1.11）即为电枢控制式直流电动机的数学模型。由式可见，转速既由ua控制，又受ML影响。m aMk i(2.1.82.1.8)m aLdJk iMdt(2.1.92.1.9)221LaLdmdmddmdmdMddLJRJLRuMk kk kkk kk kdtdtdt (2.1.10)(2.1.10),(),1,admmddmmL RT RJk kTkC TJC22LammdamamLdMddT TTC uC

9、TC Mdtdtdt (2.1.11)(2.1.11)二微分方程的增量化表示二微分方程的增量化表示 前面从数学角度讨论了系统的模型。下面是考虑工程实际进一步讨论模型。 (1)电动机处于平衡状态，变量各阶导数为零，微分方程变为代数方程： 此时，对应输入输出量可表示为： 则有平衡点： 这就是系统的稳态。 damLC uC M（2.1.122.1.12） 0aauu0LLMM0000damLC uC M（2.1.132.1.13） （2）系统的稳态并不能长期稳定，闭环控制系统的任务就是要系统工作在稳态。当输入量发生变化时，输出量相应变化，输入输出量可以记为： 则式（2.1.11）可记为： 考虑到 ，

10、上式可变为 2.14 式的意义是：对于定值控制系统，总是工作在设定值即稳态或平衡点附近，将变量的坐标原点设在该平衡点，则微分方程转换为增量方程。它同样描述了系统的动态特性，但它由于不考虑初始条件，求解及分析时方便了许多。 000damLC uC M22LammdamamLd MddT TTCuC TCMdtdtdt (2.1.14)(2.1.14)20000002()()()()()()LLa mmdaam amLLddd MMTTTC uuCTC MMdtdtdt0aaauuu0LLLMMM0三非线性微分方程的线性化三非线性微分方程的线性化 某些非线性系统，可以在一定条件下，进行线性化。下图

11、是一个液压伺服系统，下面通过它讨论线性化问题。 (1)输入变量为阀心位移x；输出变量为活塞位移y;中间变量 (2)按照液压原理建立动力学方程 负载动力学方程为 流量连续性方程为 q与p一般为非线性关系 mycyAppq、qAy( , )qq x p(2.1.15)(2.1.15) (2.1.16)(2.1.16) (2.1.17) (2.1.17)（3）线性化处理 将(2.17)在工作点领域做泰勒展开，当偏差很小时，可略去展开式的高阶项，保留一次项，并取增量关系，有： 式中 则(2.18)可以写成 当系统在预定工作条件 ， ， 下工作 即分别为q,x,p,故（2.1.19）可以写为0000(

12、, )(,)()()oox xx xppppqqqq x pq xpxpxp (2.1.18)(2.1.18)0 xxx 0ppp qcqKxKp (2.1.192.1.19)00(,)0q xp00 x 00p ,qxpqcqK xK p (2.1.202.1.20) （4）消除中间变量 由(2.20)可得 整理后可得线性化后的动力学方程为：1()qcpK xqK2()qccAKAmycyxKK(2.1.21)(2.1.21)(2.1.22)(2.1.22) 图图2.1.4 q,p,x2.1.4 q,p,x三者线性关系三者线性关系 小偏差线性化时要注意以下几点： （1）必须明确系统工作点，因

13、为不同的工作点所得线性化方程的系数不同。本题中参数在预定工作点的值均为零 （2）如果变量在较大范围内变化，则用这种线性化方法建立的数学模型，在除工作点外的其它工况势必有较大的误差。所以非线性模型线性化是有条件的，即变量偏离预定工作点很小。 （3）如果非线性函数是不连续的（即非线性特性是不连续的），则在不连续点附近不能得到收敛的泰勒级数，这时就不能线性化。 （4）线性化后的微分方程是以增量为基础的增量方程。 2.2 拉普拉斯变换与反变换 拉氏变换定义 设函数f(t)满足 t0时，f(t)分段连续 则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作 拉氏变换基本定理n线性定理 n位移定理 n延迟定理 n终值定

14、理 dtetfst0)(dtetftfLsFst0)()()()()()()(22112211sFasFatfatfaL)()(asFtfeLat)()(sFetfLs)(lim)(lim0ssFtfst )(lim)(lim0ssFtfst)0()()(fssFdttdfL)0()0()()(222fsfsFsdttfdLsfssFdttfL)0()()(102012212)()0()()0()0()0()()(ttdttffdttffsfsfssFdttfL10111011.( )( ),( ).mmmmnnnnb sb sbsbB sF smnA sa sa sasb).()().()(

15、)()()(2121nmpspspszszszsKsAsBsF niiinnPSAPSAPSAPSASF12211. 2121PSPSASASF nnrrrrrPSAPSAPSAPSAPSASF11001002001.多项式多项式分解因式分解因式下列三种形式下列三种形式1、A(S)=0无重极点无重极点2、A(S)=0含有共轭极点含有共轭极点3、A(S)=0有重极点有重极点 拉氏反变换（部分分式法）拉氏反变换（部分分式法）1、A(S)=0无重极点无重极点 niiinnPSAPSAPSAPSASF12211. niiiPSAPSASFPS2111 111PSSFPSA iPSiiSFPSA tPn

16、iiniiiieAPSALSFLtf1111 3422SSSSF 3131221SASASSSSF例例210：求：求 的反拉氏变换的反拉氏变换解解21312111SSSSSA21312332SSSSSA tteetf32121、A(S)=0含有共轭极点含有共轭极点 nnPSAPSAPSPSASASF.332121 112133212121.PSnnPSPSPSPSAPSAPSPSASAPSPSSF设设P1、P2为一对共轭极点，将为一对共轭极点，将F（）展开成下列形式：（）展开成下列形式： 令两边实部和虚部分别相等，可解出、令两边实部和虚部分别相等，可解出、 112121PSPSASAPSPSS

17、F2121PSPSPSPS或，并令两边同乘 112SSSSSF例例211：求：求 的反变换的反变换解解:三个极点分别为三个极点分别为 11122102SSASASASSSSSF866. 05 . 003 , 20jSS111020SSSSSSA21866. 05 . 022866. 05 . 0111AjASSSSSSjS21866. 05 . 0866. 05 . 0866. 05 . 0AjAjj866. 05 . 0866. 05 . 0866. 05 . 021jAjAj2121866. 0866. 0866. 05 . 05 . 05 . 0AAAA 866. 05 . 0866.

18、05 . 01jSjSSSSF0121AA tetetftt866. 0sin57. 0866. 0cos15 . 05 . 022866. 05 . 01SSS866. 05 . 03 , 2jS222222866. 05 . 0866. 057. 0866. 05 . 05 . 01866. 05 . 05 . 05 . 01SSSSSSS、A(S)=0有重极点有重极点 nnrrrrrPSAPSAPSAPSAPSASF11001002001. 0001PSrPSSFA 0020rSPdAF SSPds设设A(S)=0有有r个重极点，将个重极点，将F（）展开成下列形式：（）展开成下列形式：

19、00110!11PSrrrrPSSFdsdrA tpretrPSLtfr011!1101 1232SSSSF例例212：求：求 的反变换的反变换 122302201SASASASF 1212322201SSSSSA 2212322022SSSSSdsdA将将F（）展开成下列形式：（）展开成下列形式： 21123123SSSSSA ttttteeteetetf2222222 1222212SSSSF常用拉普拉斯变换用拉氏变换解线性常微分方程步骤：1.将系统的微分方程进行拉氏变换，得到以s为变量的代数方程，又称变换方程；2.解变换方程，求出系统输出变量的象函数的表达式；3.将输出变量的象函数表达式

20、展开成部分分式；4.对部分分式进行拉氏反变换，得到微分方程的全解。222222( )56 ( )6 (0)2, (0)2, ( ). 6( )(0)(0)5( )(0)6( )(0)2, (0)22126154( )(56)23( )1 5td x tdxx tdtdtxxx ts X ssxxsX sxX ssxxssX ss sssssx te 并设求系统的输出解 对微分方程进行拉氏变换得将代入上式，并整理得对上式拉氏反变换，得 34te例：已知系统的微分方程 传递函数是经典控制理论最基本的数学工具。1.微分方程转化传递函数：将实数域中的微分、积分运算化为复数域中的代数运算，简化了分析、设

21、计中的计算工作量。2.传递函数导出频率特性：在频域对系统进行分析和设计. 一. 定义定义 输入、输出的初始条件为零，线性定常系统（环节或元件）的输出 的Laplace变换 与输入 的Laplace变换 之比，称为该系统（环节或元件）的传递函数G(S)。( )ix t0( )Xs0( )x t( )iX s2.3 系统的传递函数系统的传递函数 数学说明数学说明：线性定常系统微分方程如下：线性定常系统微分方程如下： 输入、输出的初始条件均为零时，作输入、输出的初始条件均为零时，作LaplaceLaplace变换可得：变换可得： 由定义可得：由定义可得： 将式（将式（2.2.32.2.3）画成方框图

22、，如图）画成方框图，如图2.2.12.2.1所示。所示。 图2.2.1 系统框图 则： ( 2.2.4)( 2.2.4)1111011011()( )() ( ),nnmmnnomminnmmddddddaaaax tbbbb x tdtdtdtdtdtdt(2.2.1)(2.2.1)111100110()( )()( )nnmmnnmmia sasa saXsb sbsb sbX s(2.2.22.2.2)110101110( )( )( ),. ( )( )mmmmsnniinnsL x tb sbsbbXsG snmL x tX sa sasaa(2.2.32.2.3)( )G s( )

23、iX s( )oXs( )( )( )iXsG s X s二二. .传递函数的特点传递函数的特点n传递函数是关于复数变量s的复变函数；n传递函数的分母反映系统本身与外界无关的固有特性，传递函授的分子反映系统与外界的联系；n当输入确定时，系统的输出完全取决于系统的传递函数 （零初始条件）n物理性质不同的系统，可以具有相同的传递函数（相似系统）。)()()()(11sXsGLsXLtxioo三三. . 零点、极点和放大系数零点、极点和放大系数 G(s)G(s)因式分解因式分解： K为常数当 时，均能使G（s）=0,故称 为G(s)G(s)的零点的零点。当 时，均能使G（s）取极值： 故称 为为G(

24、s)G(s)的极点的极点 1.G(s)的分母系数与微分方程左边系数是一致的，是系统的本质参数；2.极点方程与微分方程的特征方程是一致的，极点即微分方程的特征根；3.当系统输入信号一定时，系统的零、极点决定着系统的动态性能。1212()().()( )( ),( )()().()mink szszszXsG snmX sspspsp(1,2,.,)jszjm(1,2,.,)jzjm(1,2,., )isp inlim( )ispG s (1,2,., )ip in放大系数放大系数为为G(0)G(0)，是系统稳态时输出与输入之比是系统稳态时输出与输入之比。当输入为单位阶跃函数当输入为单位阶跃函数

25、由终值定理可求得系统稳态输出为：由终值定理可求得系统稳态输出为： G(0)G(0)分别由定义及分解式得：分别由定义及分解式得：，它由微分方程的常数项决定。，它由微分方程的常数项决定。 系统响应：系统响应：已知输入的情况下，可由微分方程求解；可由传已知输入的情况下，可由微分方程求解；可由传递函数求出输出的拉氏变换，再进行拉氏反变换求得。递函数求出输出的拉氏变换，再进行拉氏反变换求得。( )1ix t ( )1/iX ss则有000lim( )lim( )lim( )( )lim( )(0)ooitsssx tsXssG s X sG sG001212()().()(0)()().()bmankz

26、zzGppp四典型环节的传递函数四典型环节的传递函数典型环节：典型环节：比例环节、惯性环节、微分环节、积分环节，比例环节、惯性环节、微分环节、积分环节，振荡环节和延时环节。系统总可以分解为典型环节组振荡环节和延时环节。系统总可以分解为典型环节组成。成。 下面介绍这些环节的传递函数及其推导下面介绍这些环节的传递函数及其推导： 1比例环节（或称放大环节，无惯性环节，比例环节（或称放大环节，无惯性环节，零阶环节零阶环节）输出不失真也不延迟而按比例反映输入的环节输出不失真也不延迟而按比例反映输入的环节称为比例环节，其动力学方程为：称为比例环节，其动力学方程为：K K为环节的放大系数或增益。其传递函数为

27、为环节的放大系数或增益。其传递函数为：( )( ),ix tkx t( )( ).( )iX sG sKX s （2.2.52.2.5） KzzsNsNsGio21)()()(KRRsUsUsGio12)()()(z1z2ni(t)no(t)齿轮传动副R2R1ui(t)uo(t)运算放大器 2. 2. 惯性环节（或一阶惯性环节）惯性环节（或一阶惯性环节） 动力学方程为一阶微分方程动力学方程为一阶微分方程 的环节为惯性环节，其传递函数为：的环节为惯性环节，其传递函数为： 式中，式中，K K为放大系数；为放大系数；T T为惯性环节时间常数，惯性环节的方框图如图为惯性环节时间常数，惯性环节的方框图如

28、图2.2.42.2.4所示。所示。iTxxKx( ),1KG sTs（2.2.62.2.6） 图2.2.4惯性环节)()()(tKxtKxdttdxCiooKCTTskCsKsG,11)(如：弹簧-阻尼器环节xi(t)xo(t)弹簧-阻尼器组成的环节KC3 3微分环节微分环节 具有输出正比于输入的微分，即具有具有输出正比于输入的微分，即具有 的环节称为微分环节，显然，其传递函数为：的环节称为微分环节，显然，其传递函数为： 式中，式中，T T为微分环节的时间常数为微分环节的时间常数( )( )oix tTx t( )( )( )oiXsG sTsX s（2.2.72.2.7）图2.2.7微分环节

29、在物理系统中微分环节不独立存在，而是和在物理系统中微分环节不独立存在，而是和其它环节一起出现。其它环节一起出现。RCui(t)uo(t)i(t)无源微分网络无源微分网络 RtituRtidttiCtuoi)()()()(1)(RCTTsTsRCsRCssG,11)(显然，无源微分网络包括有惯性环节和微分环节，称之为惯性微分环节。 微分环节的输出是输入的导数，即输出反映了输入信号的变化趋势，从而给系统以有关输入变化趋势的预告。因此，微分环节常用来改善控制系统的动态性能。4.积分环节积分环节 具有输出正比于输入对时间的积分，即具有具有输出正比于输入对时间的积分，即具有 的环节称为积分环节，显然，其

30、传递函数为：的环节称为积分环节，显然，其传递函数为： 式中，式中，T T为积分环节的时间常数，积分环节的方框图如图为积分环节的时间常数，积分环节的方框图如图2.3.132.3.13所示。所示。1( )( )oix tx t dtT( )1( )( )oiXsG sX sTs图2.2.13 积分环节（2.2.82.2.8） AtTAdtTtxto11)(0积分环节特点： 输出量取决于输入量对时间的积累过程。 且具有记忆功能； 具有明显的滞后作用。积分环节常用来改善系统的稳态性能。如当输入量为常值 A 时，由于：输出量须经过时间T才能达到输入量在t = 0时的值A。5.5.振荡环节（或称二阶振荡环节）振荡环节（或称二阶振荡环节） 振荡环节是二阶环节，其传递函数为振荡环节是二阶环节，其传递函数为： 或写成 为无阻尼固有频率；为无阻尼固有频率；T T为