空间曲线及其方程

1、一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影空间曲线及其方程空间曲线及其方程 四、四、曲线的一般方程与参数方程互化曲线的一般方程与参数方程互化一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组其一般方程为方程组0),(0),(zyxGzyxF2SL0),(zyxF0),(zyxG1S例如例如, ,方程组方程组632122zxyx表示圆柱面与平面的交线表示圆柱面与平面的交线 C. xzy1oC2又如又如, ,方程组方程组表示上半球

2、面与圆柱面的交线表示上半球面与圆柱面的交线C. 022222xayxyxazyxzao二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程将曲线将曲线C上的动点坐标上的动点坐标x, y, z表示成表示成参数参数t 的函数的函数: :称它为空间曲线的称它为空间曲线的 参数方程参数方程. .)(txx 例如例如, ,圆柱螺旋线圆柱螺旋线vbt,令bzayaxsincos,2 时当bh2taxcostaysin t vz 的参数方程为的参数方程为上升高度上升高度, 称为称为螺距螺距 .)(tyy )(tzz A MM t xyzo三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线设空间曲线

3、C 的一般方程为的一般方程为消去消去 z 得投影柱面得投影柱面则则C 在在xoy 面上的投影曲线面上的投影曲线 C 为为消去消去 x 得得C 在在yoz 面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程消去消去y 得得C 在在zox 面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程0),(0),(zyxGzyxF,0),(yxH00),(zyxH00),(xzyR( , )00T x zy zyxCCzyxC1o例如例如, ,在在xoy 面上的投影曲线方程为面上的投影曲线方程为222200 xyyz 2222221:(1)(1)1xyzCxyz zxyo1C又如又如, ,所围的立体在所围的立体在 xoy 面上的投影区

4、域为面上的投影区域为: :上半球面上半球面和锥面和锥面224yxz)(322yxz0122zyx在在 xoy 面上的面上的投影曲线投影曲线)(34:2222yxzyxzC二者交线二者交线.0, 122zyx所围圆域所围圆域:二者交线在二者交线在xoy 面上的投影曲线所围之域面上的投影曲线所围之域 .例例1. 将下列曲线化为参数方程表示将下列曲线化为参数方程表示:6321) 1 (22zxyx0)2(22222xayxyxaz解解: (1) 根据第一方程引入参数根据第一方程引入参数 , txcostysin)cos26(31tz(2) 将第二方程变形为将第二方程变形为,)(42222aayx故所

5、求为故所求为得所求为得所求为txaacos22tyasin2tazcos2121)20( t)20( t四、四、曲线的一般方程与参数方程互化曲线的一般方程与参数方程互化内容小结内容小结 空间曲线空间曲线三元方程组三元方程组或参数方程或参数方程 求投影曲线求投影曲线 (如如, 圆柱螺线圆柱螺线) (2)ozyxo121x2y(1)224yxz0 xyxzyo2展示空间图形展示空间图形(3)zxyo oaoa222azx222ayxozy15 xy3 xy15 xy3 xyyz2x3思考思考: :yb 对平面对平面交线情况如何交线情况如何?3,b 当时当时交线情况如何交线情况如何?3,b 当时当时

6、19422yx3y022zaxyx0)0,0(222yzxazxyxzaoyxzao补充补充: : 空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影. .空间立体空间立体曲面曲面例例.,)(34,2222面上的投影面上的投影求它在求它在锥面所围成锥面所围成和和由上半球面由上半球面设一个立体设一个立体xoyyxzyxz 解解半球面和锥面的交线为半球面和锥面的交线为 , )(3,4:2222yxzyxzC, 122 yxz 得投影柱面得投影柱面消去消去面面上上的的投投影影为为在在则则交交线线xoyC . 0, 122zyx一个圆一个圆,面面上上的的投投影影为为所所求求立立体体在在 xo

7、y. 122 yx,0 r,20 . z附：附：柱面坐标柱面坐标 的柱面坐标的柱面坐标就叫点就叫点个数个数，则这样的三，则这样的三的极坐标为的极坐标为面上的投影面上的投影在在为空间内一点，并设点为空间内一点，并设点设设MzrrPxoyMzyxM,),( 规定：规定：xyzo),(zyxM),(rPr .,sin,coszzryrx 柱面坐标与直角柱面坐标与直角坐标的关系为坐标的关系为为常数为常数r为常数为常数z为常数为常数 如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxM),(rPrzxyzo球面坐标球面坐标来确定来确定，三个有次序的数三个有次序的数可用可用为空间内一点，则点为空间内一点，则点设设 rMzyxM),( .cos,sinsin,cossin rzryrx球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为如图，如图，Pxyz