电磁场的相对论变换20151024

1、一、问题的提出电流是电荷的定向流动，而静止或运动都是相对于特定的参考系而言的。很自然地可以想到，若在一个参考系 S中静止的电荷，在 S系中观察只存在电场，在相对于S系匀速运动的S'系中观察则同时存在电场和磁场；同样，在S系中静止的两个电荷间只存在静电力，而在S'系中这两个电荷间不仅存在电的相互作用，还存在磁的相互作用。经典电磁学中感应电动势分为感生和动生两种， 只具有相对意义。例如一个磁铁和一个线圈，当磁铁静止、线圈运动时，因线圈切割磁感应线而在 其中产生动生电动势，此电动势是由磁场产生的洛伦兹力引起的；若线圈静止、磁铁运动时，线圈 中因磁通量变化而产生感生电动势，此电动势是由

2、涡旋电场引起的。上述两种情形是同一物理过程 在两个不同参考系中观察的结果，得到不同的描述，这个问题也正是1905年爱因斯坦创立狭义相对论的那篇论文论动体的电动力学中一开始就提岀的。物理现象不应随参考系而异。在不同参考系中，电磁规律的形式为何不同？已建立的电磁规律是相对于哪个参考系的？不同参考系中得到的电磁规律之间有什么相互关系？电磁学中，无论速度多么低，伽利略变化都不再适用，解决这些问题要靠相对论。1、洛伦兹变换设有两个惯性系 S系和S'系，其对应的坐标轴互相平行,、相对论力学的相关结论间中的时空四矢量，洛伦兹变换为xxi wxx iwyyyyzzzzwwi xww ix式中i为虚数单

3、位，V1c为真空中的光速。若(Ax,Ay,Az,At)与(x,y,z,w) 一样地c12服从洛伦兹变换，即AAxi AAxAxi AtAAyAyAyAAzAzAzAAt iAxAtAti AxS'系相对S系以速度V沿x轴正方向运动，在t=t'=0时刻两个参考系的原点重合。把时间写成虚变量w=ict，以(x,y,z,w)为闵可夫斯基空则它也是个时空四矢量。2、四维速度相对于粒子静止的时钟所显示的时间间隔d t=丫称为它的固有时，固有时是洛伦兹变换中的不变量。四维速度(Ux,Uy,Uz,Ut)定义为dxdx dtdtUxddt dVxduy或dyVydtddt dddzdz dtd

4、tUzddt dVzddwdw dticdtUtddt dd四维速度是时空四矢量，它仍服从洛伦兹变换3、四维动量四维动量是由三维动量ppx, Py , Pz和能量W组成的四维矢量 mO为静质量PxmoUxPymoUyPzmoUz.WPtim°UtcUxUxi UtUyUyUzUzUtUti UxUxUx i UtUyUyUzUzUtUti Uxmo为静质量。四维动量是时空四矢量，它仍服从洛伦兹变换PxPxi PtPxPxi PtPyPyPyPyPzPzPzPzPtPt iPxPtPt ii Px三、电荷不变性与洛伦兹力公式的协变性在参考系变换时，物理量一般是变化的，规律的协变性要求规

5、律中的物理量协同变换，而保持规律的形式不变。许多事实表明，一个物体中的总电荷量不因物体的运动而改变。例如实验测定速度为 v的带电粒子的荷质比满足,r2"m m0c2而质量随速度变化的相对论公式为比较这两个公式，暗示着带电体的电量q不随运动速度而改变。又例如质子所带的正电量与电子所带的负电量精确相等。由于物体运动时，在其运动方向上长度将收缩，物体的体积也将收缩，故带电体的电荷密度不是不变量。若在某一参考系中观察到一个静止的带电体的电荷密度为p，在另一参考系中观察到带电体的运动速度为 U，其电荷密度为 p，则p '= Y P相对性原理要求电磁学的基本方程在洛伦兹变换下要具有协变性

6、。经典电磁学中的洛伦兹力公式F qv B只包含磁场力，不可能具有协变性，普遍的洛伦兹力公式应包含电场力，即F q E v B这里的电场既包含库仑场，也包含涡旋场。四、电磁场的相对论变换公式t的导数在相对论力学中四维动量是时空四矢量，服从洛伦兹变化；但它对时间即由力的三个分量（fx,fy,fz）和功率 说在上述四个量上乘以竺d就变成服从洛伦兹变换的时空四矢量dpx"dTdPy"dTdpz"dT dptdtduxmo药dUyFduz mo药 i dWc dtp的组合并不构成时空四矢量。若把FxFyFzFtf虫fxd详fzr丄PdtcFxFxi FtFxFxFyFyFy

7、FyFzFzFzFzFtFti FxFtFtq受到的洛伦兹力和功率为fxq ExVyBzVzByfy <C Ey VzBxVxBzfzq EzVxByVyBx-P c-q VxEx cVyEyVzEzFx qiUt Ex cUy BzUzByFy C-UtEycUzBxUxBzFz qI 丄 UtEz cUxByUyBxFt丄q UxEx UyfEy UzEzc电磁学中电荷乘以虫，得ddt换成固有时间隔FtFx根据洛伦兹变换下的协变性要求，从惯性系S变换到惯性系S',上式应该具有的形式为d t或者Fxqut Ex cuy BzuzByFyqutEy cuzBxuxBzFzqutE

8、zuxByuyBxcFt qUxExUyEyUzEzc利用S系到S'系的洛伦兹变换，有FxFxi Ft把上式中的ux、uy、Uz、iq -cut作洛伦兹反变换，化简后得到utExuyBzuzBy丄q uxExuyEyuzEzcFx 2cEx®qBz ；EyuyByEz uzc由于上式对任意速度都成立，令其中u't、u'y、u'z的系数与FxtEx uyBz uzBy中u't、U'y、u'z的系数对应相等，得到ExExBxBxByBzBy 2EzcBV EBz 2 EycByBzByBz乂 Ec2 yByBy EzcBzBzEyc

9、同样的方法运用到其他分量，得到电磁场的洛伦兹变换公式为ExExExExEyEy V BzEyEy V BzEzEz V ByEzEz V ByBxBx五、运动的点电荷的电场考虑一个电量为q的点电荷静止于S'系的原点，它在所产生的电场为q r3r其分量为ExEyEzq4 0q4 q4x3ry30 rz3 0 r式中 r . x 2 y 2 z 2现设参考系S'系相对S系以速度t=t'=0时刻两个参考系原点重合，则 变换公式，得s系中不存在磁场，即Bx ByBz 0v沿x轴正方向运动，两个参考系对应的对比澳洲相互平行且在S系中的电场E就是所求的运动的点电荷的电场。利用洛伦兹

10、考虑t=0时刻，有ExEyEzqxqx vt4 0r34 02 . 2x vt2y3z 2qyqy4 0r34 02 . 2x vt2y3尹qzqz4 0r34 02 . 2x vt2 y3EyExEz也就是说，电场强度方向沿着以点电荷的瞬时位置为起点的径矢方向 考虑电场强度大小的分布Ex： Ey： Ez x: y : zE与坐标轴之间的夹角等于径矢与坐标轴之间的夹角，或者说电场强度E的E22 2 2ExEyEz2 2X2 2X2z_2 2 3y z2 2 322222 y zx y z 1222x y zEt0y2z21q4 °r2 132 - 2 2sin 2此结果表明，运动的点

11、电荷的电场强度的大小除了与r2成反比外，还依赖于径矢与运动方向之间的夹角e以及电荷的运动速率 v,电场强度的大小不是各向均匀的 。运廿tlS的电煩巍介审谜卄肯曲电坊n直耳"0的負就随着电荷的运动，电场强度的这种分布以同一速度向前运动。当点电荷速度v较小，p <<1而可忽略时，电场近似为库仑场。电荷的速度越大，电场线在yOz平面附近的密集越高，在 B-1的极限情形下，极强的电场局限在yOz平面，运动电荷携带这样的电场高速运动。六、运动的点电荷的磁场ByBz爲Ezc巴E2 yc根据电磁场的洛伦兹变换公式，可得点电荷匀速运动时空间的磁感应强度为Bx氏0弓Ezc工E2 yc写成矢

12、量表达式为1B 2 v Ec该式表明，点电荷匀速运动时，空间的磁场也是随时间变化的，它总是垂直于速度矢量和电场矢量 所决定的平面。磁感应线是一些以电荷运动轨迹为轴的同心圆。在t=0时刻点电荷恰好处于 S系原点时，磁感应强度的大小为d 2 qv 1sinBto/23or c2 12 sin22电场与磁场是相互联系的，真空介电常数so与真空磁导率之间的关系为1o o c于是Do qv 1sinB t o,342 .2.2r 1si n 2与电场线的分布对应，磁感应线也在 yOz平面附近较为密集。电荷的速度越大，磁感应线在yOz平面附近的密集程度越高。随着电荷的运动，磁感应强度的这种分布以同一速度向前运动。cB/g当电荷运动速度较小，沪1而可忽略时，磁感应强度的分布为o qvsin写成矢量表达式为Bto0 qv r4r2这就是低速