插值及Newton插值

1、实验报告实验项目插值法实验日期2016/9/30理论内容Lagrange插值与Newton插值授课日期实验室名称文理管203微机编号E1实验目的及要求： 1、了解多项式差值公式的存在唯一性条件及其余项表达式的推导。2、了解拉格朗日插值多项式的构造、计算及其基函数的特点，牛顿插值多项式的构造与应用，差商、差分的计算及基本性质。实验内容：编写Lagrange插值法及Newton插值法通用子程序，依据数据表0.320.340.360.3145670.3334870.352274构造一个抛物插值多项式及，计算的近似值并估计误差。实验步骤及程序：1、 Lagrange插值公式算法流程图开始输入xxi,y

2、i,i=0,1,n0y0k1tx-xjxk-xjttj=0,k-1,k+1,ny+tykyk=0?k+1k输出y结束Newton插值公式算法流程图调用函数ChaShang（）f=0;temp=0; i=0f=f+tempi<n+1返回i阶差商f调用函数Newton（） return=0外层循环因子i=0I阶差商f=ChaShang（i,X,Y）temp=1temp=tremp*x-Xj j:0iresult=result+f*tempi<X.Sie()返回结果resulti=i+1i=i+1<<2、Lagrange插值源程序import java.util.Scanne

3、r;/*拉格朗日插值*/public class Lagrange_interpolation /*拉格朗日插值法*/ private static double Lag_method(double X, double Y, double X0) int m = X.length;int n = X0.length; double Y0 = new doublen; for (int i1 = 0; i1 < n; i1+) /遍历X0 double t = 0; for (int i2 = 0; i2 < m; i2+) /遍历Y double u = 1; for (int i

4、3 = 0; i3 < m; i3+) /遍历X if (i2 != i3) u = u * (X0i1 - Xi3) / (Xi2 - Xi3); u = u * Yi2; t = t + u; Y0i1 = t; return Y0; public static void main(String args) /*输入插值点横纵坐标*/System.out.println("Input number of interpolation point:"); Scanner scan = new Scanner(System.in);int m = scan.nextIn

5、t();System.out.println("Input number of test point:");int n = scan.nextInt(); double X = new doublem; double Y = new doublem; double X0 = new doublen;System.out.println("Input the elements of X:");/已知插值点 for (int i = 0; i < m; i+) Xi = scan.nextDouble(); System.out.println(&qu

6、ot;Input the elements of Y:");/已知插值点的函数值 for (int i = 0; i < m; i+) Yi = scan.nextDouble(); System.out.println("Input the elements of X0:");/需要求的插值点的横坐标标值 for (int i = 0; i < n; i+) X0i = scan.nextDouble(); double Y0 = Lag_method(X, Y, X0);/使用拉格朗日插值法求解得到需求插值点的纵坐标值System.out.prin

7、tln("拉格朗日插值法求解得:"); for (int i = 0; i < n; i+) System.out.println(Y0i + " "); System.out.println(); Newton插值源程序import java.util.Scanner; public class Newton_interpolation /*拷贝向量*/ private static void copy_vector(double from,double to) int k=from.length; int k2=to.length; if(k!

8、=k2) System.out.println("the two vector's length is not equal!"); System.exit(0); for(inti=0;i<k;i+) toi=fromi; /*牛顿插值法*/ private static double Newton_inter_method(double X,double Y,double X0) int m=X.length; int n=X0.length; double Y0=new doublen; double cp_Y=new doublem; for(int i

9、1=0;i1<n;i1+)/遍历X0 double t=0; int j=0; copy_vector(Y, cp_Y); intkk=j; /*求各级均差*/ while(kk<m-1) kk=kk+1; for(int i2=kk;i2<m;i2+) cp_Yi2=(cp_Yi2-cp_Ykk-1)/(Xi2-Xkk-1); /*求插值结果*/ double temp=cp_Y0; for(int i=1;i<=m-1;i+) double u=1; intjj=0; while(jj<i) u*=(X0i1-Xjj); jj+; temp+=cp_Yi*u;

10、 Y0i1=temp; return Y0; public static void main(String args) /*输入插值点横纵坐标*/System.out.println("Input number of interpolation point:"); Scanner scan=new Scanner(System.in); int m=scan.nextInt(); System.out.println("Input number of test point:"); int n=scan.nextInt(); double X=new do

11、ublem; double Y=new doublem; double X0=new doublen; System.out.println("Input the elements of X:");/已知插值点 for(inti=0;i<m;i+) Xi=scan.nextDouble(); System.out.println("Input the elements of Y:");/已知插值点的函数值 for(inti=0;i<m;i+) Yi=scan.nextDouble(); System.out.println("Inp

12、ut the elements of X0:");/需要求的插值点的横坐标标值 for(inti=0;i<n;i+) X0i=scan.nextDouble(); double Y0 =Newton_inter_method(X, Y, X0);/使用拉格朗日插值法求解得到需求插值点的纵坐标值System.out.println("拉格朗日插值法求解得:"); for (int i = 0; i < n; i+) System.out.println(Y0i + " "); System.out.println(); 结果分析与讨论：拉格朗日插值法求解得:0.3303743620375牛顿法解得0.33037436203751、Lagrange插值法和Newton插值法解决实际问题中关于只提供复杂的离散数据的函数求值问题，通过将所考察的函数简单化，构造关于离散数据实际函数f（x）的近似函数P（x），从而可以计算未知点出的函数值，是插值法的基本思路。2、实际上Lagrange插值法和Newton插值法是同一种方法的两种变形，其构造拟合函数的思路是相同的，而实验中两个实际问题用两种算法计算出结果是相同的。3、实验所得结果精确度并不高，一方面是因为所给数据较少，另一方面也是主要方面在Win32中C+中数据类型dou