数学北师大版选修11变化率与导数 单元测试2

1、(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知函数f(x)，则f(x)等于()A B0C. D.解析：选B.f(x)，f(x)()0.2已知某质点的运动规律为st23(s的单位：m，t的单位：s)，则该质点在t3 s到t(3t)s这段时间内的平均速度为()A(6t)m/s B(6t)m/sC(3t)m/s D(t)m/s解析：选A.平均速度为(6t)m/s.3函数f(x)x3x1，则 ()A1 B4C5 D0解析：选B.由已知得f(1)3，故 f(1)3x21|x14，故选B.4已知函数yf(x)

2、的图像如图，则f(xA)与f(xB)的大小关系是()Af(xA)f(xB)Bf(xA)f(xB)Cf(xA)f(xB)D不能确定解析：选B.由图像可知，f(xA)f(xB)5下列求导运算中正确的是()A(x)1 B(lg x)C(ln x)x D(x2cos x)2xsin x解析：选B.(x)1，故A错；(ln x)，故C错；(x2cos x)2xcos xx2sin x，故D错，故选B.6已知y2x3cos x，则y等于()A6x2xsin x B6x2xsin xC6x2xsin x D6x2xsin x解析：选D.y(2x3)(x)(cos x)6x2xsin x.7已知曲线yx31与

3、曲线y3x2在xx0处的切线互相垂直，则x0的值为()A. B.C. D.解析：选D.因为yx31y3x2，y3x2yx，由题意得3x·(x0)1，解得x，即x0，故选D.8已知函数yf(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数yf(x)的图像如图所示，则该函数的图像是()解析：选B.从导函数的图像可以看出，导函数值先增大后减小，x0时最大，所以函数f(x)的图像的变化率也先增大后减小，在x0时变化率最大A项，在x0时变化率最小，故错误；C项，变化率是越来越大的，故错误；D项，变化率是越来越小的，故错误B项正确9在函数yx38x的图像上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数

4、是()A3 B2C1 D0解析：选D.由于y(x38x)3x28，由题意，得03x281，x23，解得x，x，所以整数x不存在，故不等式的整数解有0个10定义方程f(x)f(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”，若函数g(x)2x，h(x)ln x，(x)x3(x0)的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为()Aabc BcbaCacb Dbac解析：选B.g(x)2，h(x)，(x)3x2(x0)解方程g(x)g(x)，即2x2，得x1，即a1；解方程h(x)h(x)，即ln x，在同一坐标系中画出函数yln x，y的图像(图略)，可得1xe，即1be；解方程(x)(x

5、)，即x33x2(x0)，得x3，即c3.所以cba.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在题中横线上)11已知f(x)x33xf(0)，则f(1)等于_解析：f(x)x23f(0)，令x0得f(0)3f(0)，f(0)0，f(x)x2，f(1)1.答案：112正弦曲线ysin x上切线斜率等于的点的横坐标为_解析：ycos x，令cos x，x2k±，kZ.答案：2k±，kZ13f(x)x3x2bxc的图像存在与直线y1平行的切线，则b的取值范围是_解析：由题意知，存在x使f(x)3x2xb0，故112b0，得b.答案：(，14已知a为实数，f(x)(

6、x24)(xa)，且f(1)0，则a_解析：f(x)x3ax24x4a，f(x)3x22ax4，f(1)32a40，a.答案：15对正整数n，设曲线yxn(1x)在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和的公式为_解析：由yxn(1x)得ynxn1(1x)xn(1)，f(2)n·2n12n.又切点为(2，2n)切线方程为：y2n(n·2n12n)(x2)令x0，得an(n1)·2n.则数列的通项公式为2n，由等比数列前n项和公式求得其和为2n12.答案：2n12三、解答题(本大题共5小题，共55分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16(本小题满

7、分10分)求下列函数的导数：(1)f(x)ln(8x)；(2)f(x)x(x1)(x2x1)；(3)f(x).解：(1)f(x)2ln 2ln x，f(x)(2ln 2)(ln x).(2)f(x)x(x1)(x2x1)x(x31)x4x，f(x)4x31.(3)法一：f(x).法二：因为f(x)1，所以f(x).17(本小题满分10分)某物体按照s(t)3t22t4的规律作直线运动，求物体运动4 s时的瞬时速度解：由于s3(tt)22(tt)4(3t22t4)(26t)t3(t)2.26t3t，所以当t趋于4s时，即t趋于0时，平均变化率趋于26，s(4)26 m/s.导数s(4)表示当t4

8、 s时物体运动的瞬时变化率，即运动的瞬时速度18(本小题满分10分)求曲线y和yx2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积解：由得x1，y1.即交点为(1，1)，y()，y(x2)2x，y|x11，y|x12，过交点的切线为y1(x1)和y12(x1)令y0分别得x2和x，即它们与x轴的交点分别为(2，0)和(，0)，三角形面积S×1×|2|.19(本小题满分12分)设yf(x)是二次函数，方程f(x)0有两个相等的实根，且f(x)2x1.求yf(x)的函数表达式解：f(x)2x1，f(x)x2xc(c为常数)，又方程f(x)0有两个相等的实根，即x2xc0有两个相等的实根，124c0，即c，f(x)的表达式为f(x)x2x.20(本小题满分13分)已知函数f(x)ax2(a2)xln x.(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)当a1时，求证：当x1，e时，f(x)0，其中e为自然对数的底数解：(1