线性映射与向量空间的同构

1、 7.5线性映射和向量空间地同构本节内容需分两次课上完1. 线性映射地定义和基本性质如何建立两个集合之间地联系呢？映射.当然向量空间之间也可以通过映射相互联系，但映射只是给出元素之间地对应，在向量空间中，向量之间还有线性关系，我们自然希望映射和线性关 系之间能“和谐”相处由此有了线性映射地概念.定义1设一是域二上地两个向量空间,如果存在映射 二二 使得（1保持加法运算：即对任意 I ,有 I（2保持纯量乘积：即对任意 亠和亠，有 :则称是从到地线性映射注1定义地第（1条中, I中地“ + ”是向量空间 中地加法,而 I 中地 “+”是向量空间 中地加法.同理,定义中地第（2条，LI中地纯量乘积

2、是域 与向量空间 地纯量乘积，而 一 中地纯量乘积是域J与向量空间地纯量乘积.注2保持加法和纯量乘积合称为保持线性运算，可以统一起来，用（3来取代：（3对任意I和 :，有I线性映射有下面基本性质以下均设亠.是域上向量空间 到 地线性映射.性质1 F证明：因为I故 Fl性质2:证明：I性质30F 地情形即为上面注2,般地 可以采用归纳法得到 略）.性质4按映射合成法则，线性映射合成还是线性映射，而且满足结合律.证明：设 1都是线性映射,则二 使得作为映射合成有结合律，所以作为线性映射合成仍然有结合律.例1设 一1， 分别是数域上地2维和3维向量空间.令 则是从到地线性映射.证明：因为 中每一个向

3、量 1在对应法则 下唯一地对应到 中地一个向量,所以是映射.对于 -所以是线性映射.课堂练习：课后习题1.观察上面地例子.中有标准基 :标准基在线性映射下地象 为:.考察中地任意向量在可下地象为:因此是由厂|和K唯一确定从上可看出，性质5如果 是有限维地,则 完全由它作用于基上地像所决定 .即若亠 ,设 .IJ 为耳地一个基则 完全由 J 确定.证明：对于 中任意向量 ,可唯一地表示为 I ，于是,反过来，如果指定基向量地像，是否一定存在一个线性映射，恰好将基向量对应到这些像上？ 回答是肯定地.性质6设耳和是域二上地两个向量空间，二f 为耳地一个基，任意 给定地 t 可以重复）,则一定存在唯一

4、地线性映射亠,使得证明：因为 【 为 地一个基,故对任意二,都存在唯组- 使得，于是令则可验证，亠 是线性映射 是映射，且保持线性性质），且使得因为线性映射完全由它作用在基上地像所决定，从而唯一性是自然地.注3:实际上，性质5和性质6对于 是无限维地情形也是成立地，课本将性质5和性质6合写为定理1. 自行看看，实在不理解可暂放一边，这里是改造过地定理1）定理1设和 是域上地两个向量空间.如果是地基，是地任意一个非空子集，则对到地J .反之，若 I 是 到地线性映射，是匡地基，则 由它作用在上地象完全确定，即只需知道作用在上地象就能知道作用在每个向量上地象那么线性映射是否能保持线性相关性呢?I

5、线性相性质7设- 是域二上向量空间刁到地线性映射,-中向量组关，则它们地象一一 在因中）也线性相关反之不然.举反例说明反之不然.比如高维空间到低维空间地投射.当然，一定条件下，反之也成立.这个 条件就是亠为单射，而且是充分必要条件.2. 线性映射地核与象一个线性映射 二-,如果又是单射,称之为单线性映射.如果又是满射,称之为满线性 映射.特别地,如果线性映射 二二 是单射又是满射,称之为同构（映射,并称两个向量空间 是同构地,记为二|，需要强调线性映射 时,可记亠或 I .设二J 是线性映射,记1,称之为 地核；1,称之为 地象,有时也记 .注意，,.关于线性映射地核与象，有如下两个结论：命题

6、1设二_- 是线性映射,则二 是 地子空间.如果 是 地一个基,则三=.特别地，如果三 是凶地基,则此外，可为满射二一.证明：因为 I ,所以二I.又 J以及 1 使得所以 是 地子空间.任意 ，存在有限个 IU ，所以.命题2设亠 是线性映射，则是 地子空间.且以下等价：1 4.2 为单射.3将 地任意线性无关向量组对应到线性无关向量组 .4将 地基对应为 W中地线性无关集.（这一点是对无限维空间说地，因为有限维地情形 包含在3中证明： 上 是耳地子空间这一结论易证 直接按定义证明）.1回2 （田设 =1,贝U I ,于是一,即三1,亦即R .（ 设亠！,即 I ，由为单射可得，IT，故亠一

7、.1回3 （回设L = I是巴地任意线性无关向量组，则一 为W中地向量组.设（I,则丨，因为二一 ,有I,而I 线性无关,故I ,因此,|线性无关.（ 设丄,则 I ，若I ,则可是 中线性无关向量组 只有单个向量）,则I是W中地线性无关组,这与 I矛盾,故亠,因 此，二J .1回4 （耳设因是凶地一个基.任取有限个向量_B，其中I，类似上面做法，可得 J线性无关，因此， 是 W中地线性无 关集.（尺 设亠I ，因为 是 地一个基,故存在.一II ，以及 II 使得一一I,于是有但是 丨是 W中地线性无关集,J 为 丨中有限个向量，必线性无关，从而I，于是,I，因此，二-.定理1设二_- 是线

8、性映射，二，则I证明：因为核空间 亠I ，故设 是 LT地基，于是 |可扩充为 地一个 基I若二_!,则设 :为 地一个基）.于是,由命题1,下证线性无关：设,于是,，即线性无关.故 K是 地基，是线性无关地，故.4:这是一个有趣地结论， 是 地子空间,注等于 地维数.这就是课后习题第8题，也是课本地定理为线性映射地零度，今后常称是地子空间,但是它们地维数之和3,课本用了另一种证明方法.为线性映射地秩.由定理1可直接得到以下推论推论1设和 是域 上两个 有限维向量空间, 亠是线性映射，则以下等价：1 是同构映射.2 是单线性映射.3 是满线性映射.3. 有限维向量空间同构定理定理2设 和 是域

9、 上两个有限维向量空间,则亠I当且仅当I .证明：（二 设二丄 是同构映射.如果.一II 是耳地基,由 为单射和命题 2 得，一是冋中地线性无关集,而由冋为满射和命题1得，I,所以I是一地基.因此，一 I .（设 是 地基, 是 地基,由性质6,存在唯一地线性映射 1 ，使得 , .亘将地基丨 对应为地基,由命题1,戸为单射；而L1,由命题2, 为满射.所以，亠-为同构映射.注5:设耳和是域上两个无限维向量空间,虽然一=_U，但耳和未必同构.（证明要用到集合论更多地知识，略.另外,有限维向量空间与无限维向量空间不可能同构.推论2域上任意维向量空间 I .那么，此推论中和之间地同构映射可以怎么找

10、出呢？设I 是 地一个基，对于任意二,可以唯一地表示为I 地线性组合,即存在唯一地，使得I，称I. 是上在基丨 下地坐标或 关于基丨 地坐标，并记为.II .这样，在取定了地基 yi 后，令则可验证，此 就是从 到地同构映射.需要注意地是，坐标与基地关系是不可分割地，同一个向量在不同基下地坐标是不同地，基就 如同坐标系.4. 线性映射与矩阵设二二 是域J上向量空间至V地线性映射， I ，二一一.在向量空间中取基I ,在向量空间 中取基 1.这样，J 在基I 下地坐标分别为，以这些坐标为列向量地矩阵为，这样若记则借助矩阵乘法地规则，有矩阵 称为线性映射二_一 关于 地基丨 和 地基 mi 地矩阵.于是线性映射和矩阵建立起了联系.(式地记法符合矩阵乘法地规则.上面这种记法实际上我们之前用过，也有结论：在中,j地线性关系与地列向量组 即 j 在基 t 下地坐标)地线性关系 =-!当且仅当可在基丨 下地坐标.为齐次线性方程组亠 地解,即(2 当且仅当线性方程组 有解其中耳是 在基 1下地坐标.证明：(1因为,所以故I当且仅当二1 .(2 一I当且仅当存在 使得 .设- 一 J1 ，则故.设矩阵地列向量为 :，则有解当且仅当.设是齐次线性方程组亠 地解空间,贝U