中值定理的应用方法与技巧

1、中值定理的应用方法与技巧中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分。微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，一般高等数学教科书上均有介绍，这里不再累述。积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。积分第一中值定理为大家熟知，即若f(x)在a,b上连续，则在a,b上至少存在一点b使得.af(x)dx=f(&)(ba)。积分第二中值定理为前者的推广，即若f(x),g(x)在a,b上连续，且g(x)在a,b上不变号，则在a,b上至少存在一点使得bbf(x)g(x)dx=f(勺(g(x)dx。一、微分中值定理的应用方法与技巧三大微分中值定理可应用丁含有中值的等式证明，也

2、可应用丁包等式及不等式证明。由丁三大中值定理的条件和结论各不相同，乂存在着相互关联，因此应用中值定理的基本方法是针对所要证明的等式、不等式，分析其结构特征，结合所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数，套用相应的中值定理进行证明。这一过程要求我们非常熟悉三大中值定理的条件和结论，并且掌握一定的函数构造技巧。例一.设平(x)在0,1上连续可导，且说0)=0，中(1)=1。证明：任意给定正整数a,b，必存在(0,1)内的两个数E,使得可*+=a+b成立。证法1:任意给定正整数a,令f,(x)=ax,f2(x)=%x)，则在0,1上对f1(x),f2(x)应用柯西中值定理得：存在(0,1),使得亩r(

3、"(0)=a。任意给定正整数b，再令g1(x)=bx,g2(x)=%x)，则在0,1上对gjx),g2(x)应用柯西中值定理得：存在n-(0,1)，使得杯当=b。：()'(1)-(0)两式相加得：任意给定正整数a,b，必存在(0,1)内的两个数5,使得成立。证法2:任意给定正整数a,b,令fQXax,f2(x)=%x)，则在0,1上对fi(x),f2(x)应用柯西中值定理得：存在，在(0,1),使得$*=a。再令gi(x)=(a+b)中(x)-成,g?(x)=%x)，则在0,1上对g(x),g?(x)应用柯西中值定理得：存在听金(0,1),使得(a+b)“b=(a*b)-b=

4、a。因此有ab+*(');：()'()'-(0)«=a+b-上，移项得:()():()分析：解1和解2都是应用了柯西中值定理。鉴丁所要证明的等式中含有两个中值，并且中值处的导数位丁分式中，因此考虑须用两次柯西中值定理。证法1和解2的不同之处是解1分别从亩，方出发构造相应的函数。而证法2正先将"T5()=a+b移项得:育a+b*,然后从两边出发构造相应的函数例二.设f(x)在a,b在(a,b)内可导且f(a),f(b)，试证明：存在&,nw(a,b)，使得学)证法1:根据条件，由拉格朗日中值定理，存在nw(a,b),使得f(b)-f(a)=f(

5、)(b-a)令g(x)=x2，在a,b上对f(x),g(x)应用柯西中值定理,得存在-e(a,b),使得f()f(b)-f(a)f()=22=。2b-aba证法2:令g(x)=x2,在a,b上对f(x),g(x)应用柯西中值定理，得存在匚在(a,b),使得f()_f(b)-f(a)2一b2-a2再令g(x)=(b+a)x,在a,b上对f(x),g(x)应用柯西中值定理，得存在f(b)-f(a)f(b)-f(a)-220(ba)b-(ba)ab-a综合两式得到存在n-(a,b),使得¥)-fC!分析：鉴丁所要证明的等式中含有两个中值，并且中值处的导数位丁分式中中，因此可考虑用两次柯西中

6、值定理，即证法2。也可用一次柯西中值定理后，分式中函数值差的部分改用拉格朗日中值定理进行进一步化简，即为证法1的基本思想方法。例三.设f(x),g(x)在a,b上二阶可导，并且g"(x)#0,f(a)=f(b)=0,g(a)=g(b)=0,试证：(1) 在(a,b)内，g(x)#0,在(a,b)内至少存在一点使旦分=±鱼。g()g()证明：(1)用反证法。假设存在点g(a,b)，使g(c)=0。分别在a,c,c,b上对g(x)运用罗尔定理,可得存在乌w(a,c),弓在(c,b),使彳g(&)=g咨)=0再在JT上应用罗尔定理，乂可得存在乌可&,使得g花3)=

7、0,这与题设矛盾。故在(a,b)内，g(x)/0。(2)即证f(勺g“(4g(勺f”(E)=0。为此作辅助函数：H(x)=f(x)g(x)-g(x)f(x)由丁f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，故H(a)=H(b)=0。在a,b上对H(x)应用罗尔定理得：在(a,b)内至少存在一点使H估)=f(&)g皿)g(M)f哂)=0,从而有f()g()分析：该题的证明主要运用了罗尔定理。由丁题设中出现了f(a)=f(b)=0,g(a)=g(b)=0，因此在(1)的证明中可考虑用反证法，通过反复运用罗尔定理导出g“(4)=。，从而推出矛盾，证得结论。而(2)的证明关键在丁首先要将欲证的等

8、式变形成某一函数在中值处的导数为零。从中选定一函数对其应用罗尔定理导出结论。例四.设f(x)在-a,a上连续，在x=0处可导，且f'(0)，0。x-x求证：mgggnmt)#"。静)虹义恤1(闻)(2)求lim9x)0x-x证明：(1)令F(x)=£f(t)dt+(f(t)dt，贝UF'(x)=f(x)f(x)。根据拉格朗日中值定理,V(0,a)，部e(0,1)，使得F(x)=F(x)-F(0)=FGx)(x-0)=xf(次)-f(-次)x-X即df(t)dt0f(t)dt=xf(冰)一f(-京)x_xf(t)dtf(t)dt(2)由丁理：02x2吧土L=f

9、(52x7ix_x而运用洛必达法则,lim0f(t)dt20f"=limf(x)(x)=1f(0)x02x2x.022x21因此lim8=-。x02分析：此题运用的知识点和方法较为综合。既用到了积分上限的函数特性，乂用到了拉格朗日中值定理另一种表达方式，以及洛必达法则、函数极限运算法则、导数概念等等。因此要求解题者需具备较扎实的微积分知识基础和一定的函数构造技巧。例五.证明下列不等式：(1)arctanaarctanb壬ab(2)当x1时，ex>ex证明:(1)令f(x)=aCnx,x在a,b,f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导,因此根据拉格朗日中值定理，有f(b)-f

10、(a)=f，(顷b-a),a<E<b。即<|a-b1arctanb-arctana=(b-a),a<-<b,故arctana-arctanb1(2)设f(x)=exex,由丁f(x)在1,x上连续，在(1,x)内可导，因此根据拉格朗日中值定理，有f(x)f(1)=f(顷x1)占杉(1,x)。即ex-ex=(/-e)(x-1)。由于毫-(1,x)，所以(一e)(x1)>0，从而当x>1时,xe>exo分析：本例是运用拉格朗日中值定理证明不等式的典型实例。利用拉格朗日中值定理证明不等式的一般步骤为：(1)从所欲证的不等式中找到含函数值差的表达式，从中

11、选定f(x)及一闭区间(2)运用拉格朗日中值定理得到一等式(3)利用此等式及a<£<b导出欲证的不等式。例六.设f(x)在0,1上三阶可导，且f(0)=-1,f(1)=0,f'(0)=0，试证：至少存在一点，在(0,1),使得f(x)=1+x2+x(：1)f心,xW(0,1)3!证明：即证至少存在一点X(0,1)，使得f(x)+1-x2()。令中(x)=f(x)+1x2，贝U中(0)=f(0)+1=0,(0)="(0)=0,中(1)=0。所以可令：中(x)=x2(x1)K(x),下证：K(xHf-)°3!令H(t)=f(t)+1t2t2(t1)

12、K(x),则H(0)=0,H(0)=0,H(1)=0,H(x)=0。根据罗尔定理，在H(t)的两个零点之间存在Ht)的一个零点，因此H，(t)在(0,1)内至少有三个零点。同理，H"(t)在(0,1)内至少有两个零点，而H"'(t)在(0,1)内至少有一个零点，记为匕,即H“(E)=f”(勺3!K(x)=0，从而K(x)=F。所以至少存在一点匚(0,1),使得f(x)=-1+x2+x以-Df的xw(0,1)3!分析：该题粗看貌似泰勒展开式的证明，但进一步分析发现并非泰勒展开式。其难点在丁形式x2(x°fg的导出。注意到此式中含有中值处的高阶导数，3!因此可

13、考虑反复用罗尔定理。证明的难点化解是通过将展开式移项、寻求函数零点，引进辅助函数等手段实现。例七.设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导且f(x)#0。试证存在f()eb-eaa.-,nu(a,b)，使侍f=e。f()b-a证明：由丁f(x),ex在a,b上满足柯西中值定理，故必有(a,b),使f(b)-f(a)f3因为f(x)在a,b上满足拉格朗日中值定理，所以存在bae-eeEw(a,b),使得f"f(a)=f'(E)。丁是有b-af(b)-f(a)eb-eaf()eb-eaf()一bae-eb-ab-a所以存在匚尸在(a,b),使得空2=Jle项。f()b-a分析

14、：该题的解题思路为先将欲证等式中的两处中值处导数拆开，得f估)=W)ee,在对其中上毕,可套用柯西中值定理得出ebae代匚况-伊)，因此只须再证顷)=f(b"(a),此式可由拉格朗日中值baee-eb-a定理导出。例八.设抛物线y=-x2+Bx+C与x轴有两个交点x=a,x=b,a<b。另有一函数f(x)在a,b上有二阶导数，且f(a)=f(b)=0,如果曲线y=f(x)与y=-x?+Bx+C在(a,b)内有一个交点，求证：在(a,b)内存在一点t,使得f花)=-2。证明：设曲线y=f(x)与y=-x2+Bx+C在(a,b)内的交点为c。作辅助函数：中(x)=f(x)-(-x2

15、+Bx+C)。由题设条件可知中(x)在a,b上有二阶导数，且9(a)=%c)=?(b)。在a,c,c,b上对x)应用罗尔定理，存在乌Wa,c),Wc,b),使叩3=(5)=0。在J&上再对如x)应用罗尔定理,存在匕在(,勺)u(a,S，使得甲花)=0，即f")+2=0。所以广(。=-2分析：此题证明的关键在丁先将欲证等式化为f修)+2=0。即证相应的函数Wx)=f(x)-(-x2+Bx+C)二阶导数有一个零点。根据题设条件，y=f(x)与y=-x2+Bx+C在三个点处有相等的函数值，因此两者的差甲(x)有三个零点。在其中两个零点构成的区间上分别应用罗尔定理，可得到甲(x)其导

16、数有两个零点，在这两个零点构成的区间上再应用罗尔定理，可得到中(x)其二阶导数有一个零点。而中(x)其二阶导数恰好为厂(x)+2。证明函数的高阶导数有零点，可采用如下常用方法：首先寻找函数的零点，然后在零点之间通过运用罗尔定理求得函数的高一阶导数的零点，在此基础上重复前一过程，最终可得到高阶导数的JH令点。例九.设f(x)在(a,E)内可导，且四(x)存在，证明：刎/6)=0。证明：在(a,危)内任取一点x,由题设条件知f(x)在x,x十1上连续、可导因此在x,x十1上对f(x)应用拉格朗日中值定理得到：存在t(x,x+1),使得f估)=Hx+D-f(X)=f(x+1)_f(x)。因为当J危时

17、，x+1t+",从而x1xxt+m,乂已知limf(x)存在，所以x_):limf()=xlimf(x1)一f(x)=Jimf(x1)一Jimf(x)=0所以limf(x)=0。x_二分析：此题乍看与中值定理联系不大,但通过对题设条件的分析,可以发现条件中含有与导数及函数值有关的信息，因此可以尝试用中值定理证明。而结论中出现了limf(x)，可在x,x+1上对f(x)应用拉格朗日中值定理，并使x_,xt+8。由此可导出结论。a1例十.设f(x)在0,a上连续，且f(0)=0,证明：£f(x)dx苴1Ma2其中，M=maxf'(x)。0宜曳1a一a一一一、.一证法1:

18、f(x)dx壬Jf(x)dx，而f(0)=0,所以网用拉格朗日中值正理得：f(x)-f(0)=f(x)=f()x,0：:x：a所以f(x)=|f'(E)x<Mx。丁是有证法2:因为f(0)=0,所以aaa12f(x)dxMJf(x)dx<M(xdx=§Ma。xf(x)=f(x)f(0)=f'(t)dt,0xa。而f(x)=)dfXo<(Jf(t)dt壬Mx，所以aof(X)aa12壬|f(x)dx主M(xdx=§Ma.分析：该题首先可利用a0f(x)dxa<0If(x)dx,将结论化成定积分问题。由于结论中含有导数，因此可考虑对被积函

19、数应用中值定理。再利用定积分性质导出积分值上界。二、积分中值定理的应用方法与技巧例十一.设f(x)在0,1上连续且递减，证明；当0兀<1时，有0f(x)dx-0f(x)dx证明：已知f(x)在0,1上连续且递减，利用积分第一中值定理，有.1,.1of(x)dx-K.if(x)dx=of(x)dx-f(x)dx-项;.f(x)dxZu1=(1-)of(x)dx-，f(x)dx=(1-)f(1)-(1-)f(2)=，(1-)f(1)-f(2)其中。苴九弓弓。由丁f(x)在0,1上连续且递减，所以f(h)f()占0,而当0君<1时，舄(1幻0。所以，f(x)dx舄ff(x)dx占0,1从

20、而f(x)dxN赤匕f(x)dx。分析：定积分的比较若积分区间相同，可考虑借助丁定积分关丁被积函数满足单调性来证明。若积分区间不相同，则可借助丁积分第一中值定理将定积分化成函数值与区间长度乘积，再作比较。例十二.设f"(x)在a,b上连续，证明存在一点na,b,满足3af(x)dx-f(a)f(b)f()证明：记点A(a,f(a),B(b,f(b)，容易发现史矣f(a)+f(b)即为线段AB,2直线x=a,x=b及x轴围成的梯形面积。由丁线段AB的代数方程为：y_f(a)=yM(x-a),所以b-ab-a2E)f(b)=abfG)K"a)dxf(b)-f(a)(xa)dx(

21、x-a)uxobbab从而f(x)dx-f(a)f(b)=f(x)-f(a)a2ab-a令R(x)=f(x)-f(a)-(x-a)b-a由丁R(a)=R(b)=0，故可设R(x)=(x-a)(x-b)K(x)。作辅助函数:H(t)=R(t)-(t-a)(t-b)K(x)，贝UH(t)有三个零点a,b,x。因此应用罗尔定理得H(t)有两个零点，再一次应用罗尔定理，H"(t)在a,b内有一个零点，记为匕,，与x有关。即H”(勺=R”(勺2!K(x)=f”(&)2!K(x)=0，所以K(x)=f"()2!从而R(x)=上旦段a)(xb)。丁是有2!bb_abbf()af(x)dxf(a)f(b)=aR(x)dx=a丫(x-a)(x-b)dx由丁(xa)(xb)在a,b上不变号,而已知f"(x)在a,b上连续，根据积分第二中值定理，存在一点听wa,b，使得bf()f()b(b-a)3.(2(x-a)(xb)dx=技a)(xb)dx=fC1),从而结论得证。分析：该题首先将欲证等式右端化为一个定积分，并导出被积函数的简明表达式，再利用积分第二中值定理得到左端表达式。证明技巧要求较高之处为被积函数的简明表达