小学奥数-几何五大模型(鸟头模型)

1、三角形等高模型与鸟头模型模型二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角( 相等角或互补角) 两夹边的乘积之比如图在 ABC 中， D , E 分别是 AB , AC 上的点如图(或 D 在 BA的延长线上， E 在 AC 上如图 2)，则 SABC : S ADE ( ABAC): (ADAE )ADADEEBCBC图图【例1】如图在 ABC 中， D ,E 分别是 AB, AC 上的点，且 AD : AB 2:5， AE:AC4:7 ， S ADE16 平方厘米，求 ABC 的面积AADDEEBCBC【解析】 连接 BE ， S ADE

2、: S ABEAD:AB2 :5(24): (54) ，S ABE : S ABCAE: AC4 :7(45) :(75)，所以S ADE : S ABC(2 4):(75)，设 S ADE8 份，则 S ABC35份， S ADE16平方厘米，所以1份是2 平方厘米，35 份就是 70平方厘米， ABC 的面积是 70平方厘米 由此我们得到一个重要的定理，共角定理： 共角三角形的面积比等于对应角( 相等角或互补角 ) 两夹边的乘积之比【巩固】如图，三角形ABC中， AB是 AD 的 5倍， AC 是 AE 的 3 倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形 ABC 的面积是多少？AADE

3、DEBCBC【解析】 连接 BE EC3AES ABC3S ABE又 AB5ADS ADES ABE5 S ABC 15 ，S ABC15S ADE 15 【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲 ( 阴影部分 ) 、乙两部分， BDDC 4， BE3， AE6 ，乙部分面积是甲部分面积的几倍？AAE甲B【解析】 连接 AD BE3，AE 6 AB3BE ， S ABD乙E乙甲CBCDD3S BDE又 BDDC 4，S ABC2S ABD ，S ABC 6S BDE ， S乙5S甲 【例2】如图在 ABC 中， D 在 BA的延长线上， E 在 AC 上，且 AB : AD 5: 2，AE:EC

4、3: 2 ， SADE12 平方厘米，求 ABC 的面积DDAAEEBCBC【解析】 连接 BE ， S ADE : S ABEAD:AB2 :5(23): (53)S ABE : S ABC AE : AC3: (32)(35): (32) 5，所以 S ADE : S ABC(32): 5(32)6 : 25 ，设 SADE6 份，则 S ABC25 份， S ADE 12 平方厘米，所以 1 份是 2平方厘米，25份就是50 平方厘米， ABC 的面积是 50 平方厘米由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角( 相等角或互补角 ) 两夹边的乘积之比【例3】如图所

5、示，在平行四边形ABCD 中， E 为 AB 的中点， AF2CF ，三角形 AFE( 图中阴影部分 ) 的面积为 8 平方厘米平行四边形的面积是多少平方厘米？DCFAEB【解析】 连接 FB三角形 AFB 面积是三角形CFB 面积的2 倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的 2倍，所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的 3 倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2 倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE面积的（3 2）6 倍因此，平行四边形的面积为8 6 48( 平方厘米 ) 【例4】已知 DEF 的面积为 7 平方厘米，BECE, AD2 BD ,CF3AF ，求

6、ABC 的面积AFDBCE【解析】 S BDE : S ABC(BDBE) : (BA BC)(11): (23)1: 6，S CEF : S ABC(CECF ) : (CB CA)(13) :(24)3:8S ADF : S ABC( ADAF ): (AB AC)(21) :(34) 1:6设 S ABC 24份，则 S BDE 4份， S ADF4 份， S CEF9 份， S DEF2444 9 7份，恰好是 7平方厘米，所以 S ABC 24 平方厘米【例5】如图，三角形 ABC 的面积为3 平方厘米，其中AB:BE2:5 ， BC:CD3: 2，三角形 BDE 的面积是多少？AB

7、EABECCDD【解析】 由于ABCDBE180 ，所以可以用共角定理，设AB 2份， BC3份，则 BE 5 份，BD 3 2 5 份，由共角定理S ABC : S BDE( ABBC):(BEBD) (23):(55) 6:25，设S ABC6 份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5 平方厘米，25 份就是250.512.5平方厘米，三角形 BDE 的面积是 12.5平方厘米【例6】 ( 2007 年”走美”五年级初赛试题 ) 如图所示，正方形 ABCD 边长为 6 厘米， AE1 AC ，CF1BC 三角形 DEF 的面积为 _ 平方厘米33ADEBFC【解析】 由题意知 AE1AC、C

8、F1 BC ，可得 CE2 AC 根据”共角定理”可得，333S CEF : S ABC(CF CE) : (CBAC )12: (33) 2:9；而 SABC 6 6 218 ；所以 S CEF 4 ；同理得， S CDE : S ACD2:3 ;，SCDE183212 ， SCDF 6故 S DEF S CEFS DECS DFC412610 (平方厘米 )【例7】如图，已知三角形ABC面积为 1，延长 AB 至 D ，使 BDAB；延长 BC 至 E，使 CE2BC ；延长CA至 F ，使 AF3AC，求三角形 DEF 的面积FFACEAECBBDD【解析】 ( 法 1) 本题是性质的反

9、复使用连接 AE、 CD S ABC11，S ABCS DBC1S DBC1 同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18( 法 2 ) 用共角定理在ABC 和 CFE 中，ACB 与FCE 互补，S ABCACBC111 S FCEFCCE428又SABC1 ，所以SFCE 8同理可得SADF6，SBDE3 所以 S DEFS ABCS FCESADF SBDE 1 8 6 3 18【例8】如图，平行四边形 ABCD ， BEAB，CF2CB ， GD 3DC ， HA4AD ，平行四边形ABCD 的面积是 2 ， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比HHABEABEGDCGDCF

10、F【解析】 连接 AC 、 BD 根据共角定理在 ABC 和 BFE 中，ABC 与FBE 互补，S ABCABBC111BEBF133S FBE又 S ABC1 ，所以 S FBE3 同理可得S GCF8 ， SDHG15 ， S AEH 8所以 SEFGHS AEH S CFG S DHG S BEF SABCD 8 8 15+3+2 36 SABCD21所以3618SEFGH【例9】如图，四边形 EFGH 的面积是 66 平方米， EAAB ，CBBF ，DCCG ，HDDA ，求四边形 ABCD的面积HHDCGDCGABFABFEE【解析】 连接 BD 由共角定理得S BCD : S

11、CGF(CD CB ) : (CGCF ) 1: 2 ，即 SCGF2S CDB同理 S ABD : S AHE1: 2 ，即 S AHE 2 S ABD所以 S AHESCGF2( SCBD S ADB )2S四边形 ABCD连接 AC ，同理可以得到S DHGS BEF2S四边形 ABCDS四边形 EFGHS AHES CGFS HDGS BEFS四边形 ABCD5S四边形 ABCD所以 S四边形 ABCD66513.2 平方米【例10】如图，将四边形ABCD 的四条边 AB 、 CB 、 CD 、 AD 分别延长两倍至点E、F、G、H，若四边形 ABCD 的面积为5，则四边形 EFGH

12、的面积是FFEBAEBAGCGCDDHH【解析】 连接 AC 、 BD 由于 BE2AB， BF2BC ，于是 S BEF4S ABC ，同理 S HDG 4S ADC 于是 S BEFS HDG4S ABC4S ADC4 SABCD 再由于 AE3AB ，AH 3AD ，于是 S AEH9S ABD ，同理 S CFG9S CBD 于是 S AEHS CFG9S ABD9S CBD9SABCD 那么 SEFGHS BEFS HDGS AEHS CFGSABCD4SABCD9SABCDSABCD 12SABCD 60 【例11】如图，在 ABC 中，延长 AB 至 D ，使 BDAB ，延长

13、BC至 E，使 CE1BC，F是AC的中点，若 ABC 的面积是2 ，则 DEF 的面积是多少？2AFBCED【解析】 在 ABC 和 CFE 中，ACB 与FCE 互补， S ABCACBC224S FCEFCCE111又SABC 2，所以 SFCE0.5同理可得 S ADF2 ， SBDE3 所以 S DEFS ABCS CEFS DEB S ADF 2 0.5 3 2 3.5【例12】如图， S ABC1， BC 5BD ， AC4EC ， DG GSSE， AF FG 求 S FGS AFGEBSCD【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两

14、个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况 最后求得 SFGS 的面积为 S FGS432111 5432210【例13】如图所示，正方形ABCD边长为 8 厘米， E 是 AD 的中点， F 是 CE 的中点， G 是 BF 的中点，三角形 ABG的面积是多少平方厘米？AEAEDDFFGGCBCB【解析】 连接 AF 、 EG 因为1216 ，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积S BCF S CDE84比等于夹这个角的两边长度的乘积比”S AEF8， S EFG8 ，

15、再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时， 这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到 S BFC 16 ， SABFE32 ，S ABF24 ，所以 S ABG12平方厘米【例14】四个面积为 1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积FH AEBGCD【解析】 如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF，则AGF与CEH都是正三角形假设正六边形的边长为为a ，则AGF与CEH的边长都是4a ，所以大正三角形DEF的边长为4 217 ，那么它的面积为单位小正三角形面积的49 倍而一个正六边形是由6 个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为1 ，三角形 DEF 的面积为

16、 49 66由于 FA4a， FB 3a ，所以AFB 与三角形 DEF 的面积之比为4312 7749同理可知BDC 、 AEC 与三角形 DEF 的面积之比都为12 ，所以ABC 的面积占三角形DEF 面积49的 112313 ，所以 ABC 的面积的面积为491313 49496496【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形ABCDE 的面积是EADBC【解析】 从图中可以看出，虚线AB 和虚线CD 外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积； 虚线BC 和虚线DE外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线AE 外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的1 ，所以虚线外图形的面积等于131123，所以五边形的面积是10316266333清代 “红顶商人 ”胡雪岩说：“做生意顶要紧的是眼光，看得到一省，就能做一省的生意；看得到天下，就能做天下的生意；看得到外国，就能做外国的生意。希望和梦想，决定了他的人生暗淡或辉煌。”可见，一个人的心胸和眼光，决定了他志向的短浅或高远；一个人的人生能有几回搏，有生不搏待何时！所有的机遇和成功，都在充满阳光，充满希望的大道之上！我们走过了黑夜，就迎来了黎明；走过了荆棘，