浙江省温州市兴港高级中学高中数学直线的一般式方程课件新人教A版必修

1、目标：目标： 1.掌握直线方程的一般式掌握直线方程的一般式.2.能根据条件熟练地求出直线的方程能根据条件熟练地求出直线的方程.名 称 几 何 条 件 方程 适用范围 bkxy)(00 xxkyy211211xxxxyyyy1byax复习回顾（二）填空（二）填空1 1过点过点(2,1)(2,1)，斜率为，斜率为2 2的直线的方程的直线的方程_ 2 2过点过点(2,1)(2,1)，斜率为，斜率为0 0的直线方程是的直线方程是_ _ 3 3过点过点(2,1)(2,1)，斜率不存在的直线的方程，斜率不存在的直线的方程_ _ y-1=2(x-2)y=1x=2思考思考1 1：以上三个方程是否都是二元一次方

2、程：以上三个方程是否都是二元一次方程? ?所有的直线方程是否都是二元一次方程？所有的直线方程是否都是二元一次方程？上述四种直线方程，能否写成如下统一形式？上述四种直线方程，能否写成如下统一形式？? x+ ? y+ ? =011()yyk x xykxb112121yyxxyyxx1xyab0) 1(11 kxyykx0) 1( bykx0)()()()(1212112112 xxyyyxyxxxyy0)( abaybx上述四式都可以写成直线方程的一般形式：上述四式都可以写成直线方程的一般形式： Ax+By+C=0, A、B不同时为不同时为0。新课讲解Ax+By+C=0Ax+By+C=0（A A

3、，B B不同时为不同时为0 0） 在方程在方程Ax+By+C=0中，中，A，B，C为何值为何值时，方程表示的直线为：时，方程表示的直线为： 平行于平行于x轴轴 (2)平行于平行于y轴轴 (3)与与x轴重合轴重合 (4)与与y轴重合轴重合A=0 即即 By+C=0B=0 即即 Ax+C=0A=0 且且C=0 即即 y=0 B=0 且且C=0 即即 x=0例例1 1、已知直线经过点、已知直线经过点A A（6 6，- 4- 4），斜率为），斜率为 ， 求直线的点斜式和一般式方程求直线的点斜式和一般式方程. .3 34 4 对于直线方程的一般式，一般作如下约定：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x

4、 x的的系数为正，系数为正，x,yx,y的系数及常数项一般不出现分数，一般按的系数及常数项一般不出现分数，一般按含含x x项，含项，含y y项、常数项顺序排列项、常数项顺序排列. .根据下列条件根据下列条件, ,写出直线的方程写出直线的方程, ,并把它化并把它化成一般式成一般式(1)(1)经过点经过点A(8,-2),A(8,-2),斜率是斜率是 ; ;(2)(2)经过点经过点B(4,2),B(4,2),平行于平行于x x轴轴; ;(3)(3)在在x x轴轴,y,y轴上的截距分别是轴上的截距分别是 ,-3.,-3.12 32例例2:求直线求直线l:3x+5y-15=0的斜率以及它的斜率以及它在在

5、x轴轴,y轴上的截距轴上的截距,并画图并画图.练习：求直线练习：求直线3x+2y+6=0的斜截式和截的斜截式和截距式方程距式方程巩固训练（二）巩固训练（二）设直线设直线l的方程为的方程为Ax+By+c=0（A，B不同时为不同时为零）零）根据下列各位置特征，写出根据下列各位置特征，写出A，B，C应满足的应满足的关系：关系：直线直线l过原点过原点:_直线直线l过点过点(1,1):_直线直线l平行于平行于 轴轴:_直线直线l平行于轴平行于轴:_C=0A+B+C=0A=0,B=0,C=0A=0,B=0,C=0例例3：设直线：设直线l的方程为（的方程为（m2-2m-3）x+（2m2+m-1）y=2m-6

6、根据下列条件确定根据下列条件确定m的值（的值（1）l在在x轴上的轴上的截距是截距是-3；（；（2）斜率是）斜率是-1。解解：（：（1）由题意得）由题意得332622 mmm 623322 mmm353 mm或或解解得得032,32 mmm时时而而当当35,3 mm2)由题意得由题意得1323222 mmmm0) 12(3222 mmmm341 mm或或解解得得巩固训练（三）巩固训练（三）1、若直线（、若直线（2m2-5m-3)x-(m2-9)y+4=0的倾的倾斜角为斜角为450，则，则m的值是的值是 （ ）（A）3 （B） 2 （C）-2 （D）2与与32、若直线、若直线(m+2)x+(2-m

7、)y=2m在在x轴上的截轴上的截距为距为3，则，则m的值是的值是_B-6例例4：利用直线方程的一般式，求过点（：利用直线方程的一般式，求过点（0，3）并且与坐标轴围并且与坐标轴围 成三角形面积是成三角形面积是6的直线方程。的直线方程。解：设直线为解：设直线为Ax+By+C=0，直线过点（直线过点（0，3）代入直线方程）代入直线方程得得3B= -C， B= C/3A=C/4又直线与又直线与x，y轴的截距分别为轴的截距分别为x= -C/A ,y= -C/B由三角形面积为由三角形面积为6得得122 ABC方程方程为034 CyCxC所求直线方程为所求直线方程为3x-4y+12=0或或3x+4y-12

8、=0 xOy3名称名称已知条件已知条件标准方程标准方程使用范围使用范围ykxb 00()yyk xx112121yyxxyyxx 1xyab0AxByC 000(,)P xy111(,)P x y222(,)P xy0( , )a0( , )b斜截式斜截式点斜式点斜式两点式两点式截距式截距式一般式一般式斜率斜率k和和y轴轴上的截距上的截距b斜率斜率k和一点和一点点点 和和点点 在在x轴上的截轴上的截距距a,即点即点 在在y轴上的截轴上的截距距b,即点即点A,B不同时为零不同时为零不包括过原点不包括过原点的直线以及与的直线以及与坐标轴平行的坐标轴平行的直线直线不包括坐标轴不包括坐标轴以及与坐标轴

9、以及与坐标轴平行的直线平行的直线不包括不包括y轴及与轴及与y轴平行的直线轴平行的直线不包括不包括y轴及平轴及平行于行于y轴的直线轴的直线例例5.已知已知A（2,2）和直线）和直线l:3x+4y-20=0求：（求：（1）过点）过点A和直线和直线l平行的直线方平行的直线方程程 （2）过点）过点A和直线和直线l垂直的直线方程垂直的直线方程变式训练变式训练:已知三直线已知三直线l1:2x-4y+7=0,l2:x-2y+5=0,l3:4x+2y-1=0,求证求证:l1l2,l1l3.证明证明:把把l1、l2、l3的方程写成斜截式得的方程写成斜截式得1231212123131317:;2415:;221:

10、2.2175,242/ .2,1,.lyxlyxlyxkkbbllkk kll 例例6:已知两条直线方程已知两条直线方程l1:mx+2y+8=0,l2:x+my+3=0,当当m为何为何值时值时:(1)两直线互相平行两直线互相平行;(2)两直线互相垂直两直线互相垂直.解解:(1)当当m=0时时,l1:y+4=0,l2:x+3=0,显然显然l1与与l2不平行不平行;,213,.13,2.2,4./ ,(,2).mmmmmm 11122212121212m0lkyblkybllkkbb4mmll当时的斜率在 轴上的截距的斜率在 轴上的截距且否则两直线重合即且综上知 当时与 互相平行(2)由由(1)知

11、知,当当m=0时时,显然有显然有l1l2;当当m0时时,若若l1l2,则有则有此时此时m不存在不存在.综上知综上知,当当m=0时时,l1与与l2互相垂直互相垂直.1()1,2mm 练练1.(福建高考福建高考)已知两条直线已知两条直线y=ax-2和和y=(a+2)x+1互相垂直互相垂直,则则a等于等于( )A.2B.1C.0D.-1解析解析:由题意得由题意得a(a+2)=-1,即即(a+1)2=0,a=-1.答案答案:D练练2.(上海高考上海高考)已知两条直线已知两条直线l1:ax+3y-3=0,l2:4x+6y-1=0,若若l1l2,则则a=_.11221222,33:lklkl /l ,a2

12、332.a2.aaa 解析的斜率的斜率验证知适合题意2直线方直线方程程位置位置关系关系重重 合合平平 行行垂垂 直直相相 交交111222:lyk xblyk xb1111222200:lA xB yClA xB yC 1212kkbb 且1212kkbb 且121k k 12kk 12211221 00ABA BACA C且12211221 00ABA BACA C且12120A AB B12210ABA B 题型三题型三 综合问题综合问题例例3:求证求证:不论不论m取什么实数取什么实数,直线直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5总总过某一定点过某一定点.分析分析:由题意知由题意知,不论不

13、论m取什么值取什么值,直线总是通过定点直线总是通过定点,也就是也就是说与说与m的取值无关的取值无关,因此可将方程变形为因此可将方程变形为m的方程的方程,令令m的系的系数为数为0,解方程组得出定点坐标解方程组得出定点坐标.证明证明:方法方法1:把原方程变形得把原方程变形得(x+2y-1)m-(x+y-5)=0,此式对于此式对于m的任意实数都成立的任意实数都成立,x+2y-1=0,x+y-5=0.x=9,y=-4.即直线过定点即直线过定点(9,-4).1) -kx变：已知（k-1)y-2k=0为直线l的方程，求证：不论k为何实数，直线l必过定点，并求出定点坐标2、 设直线设直线 l 的方程为的方程

14、为(a(a1)x1)xy y2 2a=0(aR)a=0(aR) （1 1）若）若 l 在两坐标轴上的截距相等，求在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程；的方程； （2 2）若）若 l 不经过第二象限，求实数不经过第二象限，求实数a a的取值范围的取值范围 10.已知已知ABC在第一象在第一象限限,A(1,1),B(5,1),A=60,B=45,求求:(1)AB所在直线的方程所在直线的方程;(2)AC和和BC所在直线的方程所在直线的方程;(3)AC,BC所在直线与所在直线与y轴的交点间的距离轴的交点间的距离.分析分析:求求AB的方程时的方程时,先观察两点坐标易得先观察两点坐标易得,AC,BC通过

15、画图通过画图易求其斜率易求其斜率,然后点斜式写出即可然后点斜式写出即可.解解:(1)因为因为kAB= =0,所以所以AB所在直线方程为所在直线方程为y=1.(2)kAC=tan60= ,所以所以AC所在直线方程为所在直线方程为y-1= (x-1),即即 x-y+1- =0,又又kBC=tan(180-45)=-tan45=-1,所以所以BC所在直线方程为所在直线方程为y-1=-(x-5),即即x+y-6=0.(3)由直线由直线AC的方程的方程令令x=0,则则1 15 133333130,xy 13.y 由直线由直线BC的方程的方程x+y-6=0,令令x=0,则则y=6.所以两交点间的距离为所以两交点间的距离为|6 13